Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 40 w Zespole Szkół nr 5 w Poznaniu ID grupy: 98/13_MF_G1 Opiekun: Hanna Rój-Pytel Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Ile kosztują konstrukcje geometryczne? Semestr III/rok szkolny 2010/2011

Konstrukcje geometryczne Twierdzenie Ponceleta-Steinera Konstrukcje elementarne KONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego - mówi, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Jest to najsilniejszy rezultat tego typu, przy pomocy samej linijki nie da się wyciągać pierwiastków kwadratowych. Nazwa twierdzenia pochodzi od Jeana Ponceleta, który postawił je jako hipotezę w roku 1822 oraz Jakoba Steinera, który udowodnił je w roku 1833. Za pomocą cyrkla i linijki Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.

Konstrukcja dwusiecznej kąta Narysuj dowolny kąt o wierzchołku B. Na ramionach kąta zakreśl dowolny łuk o środku w wierzchołku kąta B. Punkty przecięcia się zakreślonego łuku z ramionami kąta oznacz odpowiednio jako A i C. Następnie zakreśl dwa okręgi: jeden o środku w punkcie A i promieniu AC - drugi o środku C i promieniu CA. Przez punktu przecięcia się tych okręgów poprowadź półprostą o początku w wierzchołku kąta B. Tak narysowaną półprostą nazywamy dwusieczną kąta ABC.

KONSTRUKCJA

Konstrukcja symetralnej odcinka 1.Dany jest odcinek AB 2.Wybieramy r >1/2|AB| 3.Rysujemy okrąg o środku w punkcie A i wybranym promieniu. 4. Rysujemy okrąg o środku w punkcie B i 5. Otrzymujemy punkty C i D przecięcia tych okręgów 6. Rysujemy prostą b

Konstrukcja kwadratu Na dowolnej prostej zaznacz odcinek AB, który będzie bokiem kwadratu. Cyrklem zakreśl okrąg o środku w punkcie A i promieniu AB, punkt przecięcia się okręgu z prostą oznacz literą B' . Następnie skonstruuj symetralną odcinka BB' . Jeden z punktów przecięcia się symetralnej odcinka z narysowanym wcześniej okręgiem oznacz literą D. Teraz cyrklem narysuj dwa okręgi o promieniu  AB, jeden okrąg o środku w punkcie B i drugi okrąg o środku w punkcie D. Punkt przecięcia się tych dwóch okręgów - różny od punktu A - oznacz literą C. Po połączeniu punktów ABCD otrzymamy figurę o równych bokach i kątach prostych, którą nazywamy kwadratem.

Konstrukcja kwadratu

Konstrukcja ośmiokąta foremnego Rysujemy cyrklem dowolny okrąg o środku O, na obwodzie okręgu zaznaczamy dowolny punkt P, który będzie środkiem drugiego okręgu o tym samym promieniu (na rysunku kolor czarny). Łączymy odcinkiem punkty przecięcia się okręgów oznaczone literami A  i  N. Teraz rysujemy trzeci okrąg również o tym samym promieniu i środku w punkcie N (na rysunku kolor czerwony). Zaznaczamy literą  Q  punkt przecięcia się odcinka AN z narysowanym okręgiem o środku N. Następnie z punktu O rysujemy półprostą przechodzącą przez punkt  Q. Punkt przecięcia się tej półprostej z pierwszym narysowanym okręgiem oznaczamy literą H. Wyznaczony w ten sposób odcinek AH jest bokiem ośmiokąta foremnego, który może być wpisany w okrąg o środku O. Wyznaczony odcinek AH odkładamy cyrklem na obwodzie naszego wyjściowego okręgu otrzymując osiem wierzchołków ośmiokąta foremnego ABCDEFGH.

Konstrukcja ośmiokąta foremnego

Konstrukcja sześciokąta foremnego Narysuj cyrklem dowolny okrąg o środku A, następnie na jego obwodzie oznacz dowolny punkt B, który będzie środkiem drugiego okręgu o tym samym promieniu. Punkty przecięcia się okręgów wybierz jako środki kolejnych okręgów o tym samym promieniu. Postępując analogicznie narysuj następne okręgi w ten sposób aż na obwodzie pierwszego narysowanego okręgu uzyskasz sześć punktów B, C, D, E, F, G. Otrzymane punkty połącz odcinkami. Powstałą figurę BCDEFG nazywamy sześciokątem foremnym.

Konstrukcja sześciokąta foremnego

Konstrukcja trójkąta równobocznego o boku AB Na dowolnej prostej zaznacz dowolny odcinek AB, który ma być bokiem trójkąta. Następnie odmierz cyrklem długość odcinka AB i zakreśl dwa okręgi: jeden o środku w punkcie A i drugi o środku w punkcie B. Jeden z punktów przecięcia się okręgów oznacz literą C, drugi D Połącz odcinki AC i BC. W ten sposób powstały trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym. Połącz odcinki AD i BD. W ten sposób powstały trójkąt ABD jest trójkątem równobocznym.

Konstrukcja trójkąta równobocznego o boku AB

Pięciokąt foremny Każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę 108o Wszystkie boki są równe

Konstrukcja pięciokąta foremnego 1. Rysujemy okrąg i zaznaczamy jego średnicę. 2. Rysujemy promień OE prostopadły do średnicy. 3. Znajdujemy środek promienia (punkt B). 4. Wbijamy cyrkiel w punkt B i rysujemy łuk przechodzący przez punkt E. 5. Odcinek EC ma długość boku pięciokąta foremnego 6. Rysujemy pięciokąt.

Okrąg opisany na trójkącie Dany jest trójkąt ABC. Kreślimy symetralne boków AB i BC. Otrzymujemy punkt przecięcia S. Otrzymujemy równe odcinki SA, SB i SC. Kreślimy okrąg o środku S i promieniu R =½SA½= =½SB½ =½SC½

Okrąg Wpisany w trójkąt Dany jest trójkąt ABC Kreślimy dwusieczną kąta BAC. Kreślimy dwusieczną kąta ABC Otrzymujemy punkt przecięcia S. Prowadzimy odcinek z punktu S ^ AB. Kreślimy okrąg o środku S i promieniu r

Konstrukcje Mohra-Mascheroniego Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.

„trójkąta równobocznego wpisanego w dany okrąg o środku A” PRZYKŁAD KONSTRUKCJI Mascheroniego „trójkąta równobocznego wpisanego w dany okrąg o środku A” Opis konstrukcji Dany jest okrąg o środku A i promieniu r. Z wybranego punktu B okręgu zakreślamy okrąg o promieniu r. Otrzymujemy punkty przecięcia C i D tego okręgu z okręgiem danym. Zakreślamy okręgi o promieniu r i środkach C i D. Otrzymujemy punkty E i F (różne od B) przecięcia tych okręgów z okręgiem danym. Punkty B, E i F są wierzchołkami trójkąta równobocznego. B A r C D Szukany trójkąt E F

Symetria osiowa Drugi piesek jest odbity w lustrze. Takie przekształcenie nazywamy symetrią osiową, a potocznie odbiciem lustrzanym. Definicja Punkt P’ jest obrazem punktu P w symetrii osiowej względem prostej l, gdy punkty P i P’ leżą na prostej prostopadłej do prostej l , są w równych odległościach od prostej l i są po przeciwnych stronach prostej l. Jeżeli punkt leży na osi symetrii, to jego obraz jest tym samym punktem.

konstrukcja Z punktu A kreślimy łuk (okrąg) przecinający prostą k w dwóch punktach. Z obu otrzymanych punktów, nie zmieniając promienia, kreślimy po drugiej stronie prostej dwa przecinające się okręgi. Punkt przecięcia tych dwóch okręgów jest punktem symetrycznym do punktu A.

Oś symetrii Stare Miasto w Warszawie Zamek Królewski w Warszawie Oś symetrii ma wiele przedmiotów w naszym otoczeniu. Architekci projektują budowle, które mają oś symetrii. Podziwiamy symetryczne choinki. Podobają nam się symetryczne samochody.

A to ciekawe Na przykład odbicie zwierciadlane kwadratu względem jego osi symetrii zamienia miejscami jego wierzchołki, jednak kwadrat jako zbiór punktów pozostaje ten sam i dlatego jest uważany za osiowosymetryczny. Jeśli jednak oznaczymy jego wierzchołki literami i w ten sposób kwadrat po odbiciu będzie się różnił od kwadratu przed odbiciem, to taka figura (ściślej: przyporządkowanie, które wierzchołkom kwadratu przypisuje litery) z punktu widzenia matematyki nie będzie już symetryczna.

Symetria środkowa Punkty A i A’ są symetryczne względem punktu S, jeżeli punkt S jest środkiem odcinka łączącego te punkty. Aby znaleźć punkt A’ symetryczny do punktu A względem punktu S, wystarczy narysować półprosta AS i znaleźć na niej punkt A’ taki, że |AS|=|A’S|

Symetria środkowa Zauważmy że odcinki te przecinają się w jednym punkcie. Co więcej punkt przecięcia się odcinków jest środkiem każdego z nich. O takich figurach mówimy, że są do siebie symetryczne względem punktu.

Środek Symetrii

Twierdzenie Pitagorasa Twierdzenie Pitagorasa – twierdzenie geometrii euklidesowej dotyczące trójkątów prostokątnych, równoważne w istocie jest piątemu pewnikowi Euklidesa o prostych równoległych. W zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisuje się je żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.

Suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta

Twierdzenie Pitagorasa Jeżeli mamy trójkąt prostokątny: - o dwóch przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c to

Twierdzenie Talesa Twierdzenie Talesa – jedno z najważniejszych twierdzeń geometrii euklidesowej. Tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu. Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Twierdzenie Talesa Treść slajdu

Konstrukcyjny podział odcinka na n - równych części Mając dany odcinek AB poprowadź od punktu A półprostą  l  pod kątem ostrym do tego odcinka. Następnie cyrklem odznacz na tej półprostej n jednakowych odcinków o dowolnej długości zaczynając od punktu A.  n - określa liczbę części na jaką mamy podzielić dany odcinek AB - w naszym przykładzie to 8. Następnie połącz punkt ostatniego odznaczonego odcinka na półprostej l z końcem B danego odcinka AB. Teraz stosując przesunięcie równoległe narysuj proste równoległe do tego odcinka przechodzące przez końce odcinków odznaczonych na półprostej l. Narysowane proste równoległe podzielą dany odcinek AB na 8 jednakowych części.

Problemy starożytności Trzy słynne problemy starożytnej matematyki greckiej: trysekcja kąta (podział danego kąta na trzy równe części), podwojenie sześcianu (wyznaczenie boku sześcianu o objętości dwa razy większej niż sześcian dany) i kwadratura koła (konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła) nie mogą być rozwiązane przy pomocy cyrkla i linijki.

Konstrukcyjny podział odcinka na n - równych części

PODWOJENIE SZEŚCIANU ( problem delijski ) „Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż objętość danego sześcianu”. Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos (obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a , gdzie a jest długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba nie jest liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował przyrząd – mezolabium.

TRYSEKCJA KĄTA Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej Grecji. „Podzielić kąt na trzy równe części” Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < p/2 istnieje taka liczba c, że trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kp/n , gdzie k jest dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji kąta o mierze p/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta foremnego.

KWADRATURA KOŁA Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że: każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby trójkątów o rozłącznych wnętrzach można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch kwadratów Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach bliskich polu danego koła.

ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA Tok postępowania: rysujemy odcinek AB rysujemy prostopadłą do niego prostą x na prostej x wyznaczamy odcinek BC, który jest połową długości odcinka AB łączymy punkt A i C rysujemy łuk o środku w punkcie C i promieniu BC na odcinku AC zaznaczamy punkt D rysujemy łuk o środku w punkcie A i promieniu AD wyznaczamy na odcinku AB punkt E W ten sposób wyznaczyliśmy złotą proporcję odcinka AB (w punkcie E prosta AB podzielona jest według złotego podziału). Złoty podział innymi słowy to podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej.

ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA

CIEKAWOSTKI Najbardziej efektownym przejawem istnienia złotej proporcji w świecie zwierząt są zapewne muszle, których kształt układa się zgodnie z przebiegiem tzw. Spirali Fibonacciego. Aby matematycznie uzyskać taką spiralę należy przeprowadzić resekcję zgodnie ze złotym podziałem w dwóch wymiarach przestrzeni. Wyobraźmy sobie odcinek podzielony na dwa mniejsze w ten sposób, że mniejszy ma się tak do większego, jak większy do całości. Odcinek większy staje się bokiem kwadratu, który dorysowujemy, zaś odcinek mniejszy tworzy wraz z drugim bokiem tego kwadratu prostokąt. W efekcie otrzymujemy prostokąt, podzielony ma kwadrat i mniejszy prostokąt. Następnie dzielimy mniejszy prostokąt w identyczny sposób i postępujemy tak, aż do utraty rozdzielczości na kartce papieru. Teraz w każdym kwadracie zakreślamy ćwiartkę okręgu, o promieniu równym długości boku, a po połączeniu wszystkich ćwiartek otrzymujemy gotową spiralę. Przyglądając się tej spirali i muszli ślimaka, od razu zauważamy wyraźne podobieństwo. Złota spirala występuje w większości kształtów muszli ślimaków czy ostryg.

Złoty podział Złoty podział w pięciokącie foremnym. Przykład zastosowania złotego podziału

Ile kosztują konstrukcje geometryczne? Najtańszymi konstrukcjami są te , które wykonujemy przy użyciu darmowych programów , np. geogebry. Wliczamy tylko czas wykonania konstrukcji. Droższe to te, które wymagają wykorzystania przyborów. Należy doliczyć cenę dobrego cyrkla,linijki, ołówka i w zależności od złożoności konstrukcji, czas jej wykonania. Należy się ,według nas ,powołać na cenę projektów domów. Z informacji w Internecie wynika, że ceny projektów domu są różne od1500 zł do 25 000 zł. Wniosek: konstrukcje są drogie! Wymagają nie tylko zakupu przyborów , ale ogromnej wiedzy matematycznej i talentu wykonywania rysunków technicznych, co wpływa również na cenę.

Bibliografia Program Geogebra www.math.edu.pl Strony internetowe nauczycieli matematyki

Prezentację wykonali: Marta Głucińska Daria Małek Patryk Zasadziński Michał Grażyński Romuald Tumach Przemysław Sarnowski Paweł Piechura Piotr Nowacki Marcin Frąckowiak Mikołaj Andrzejak