Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwy szkół: Zespół Szkół w Barwicach, Zespół Szkół w Cielczy ID grup: 98/56_MF_G1, 98/53_MF_G1 Opiekun: Izabela Polewska, Dorota Dziecichowicz Kompetencja: Fizyczno - Matematyczna Temat projektowy: Logika matematyczna i rachunek zbiorów. Semestr/rok szkolny: Semestr II, rok szkolny 2010/2011

Teoria mnogości lub inaczej teoria zbiorów Dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzał wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań. Na przestrzeni lat język i metody teorii mnogości przeniknęły do wielu innych działów matematyki (na przykład w algebrze rozważa się obiekty teoriomnogościowe zwane ultrafiltrami). Teoria mnogości rozwijana jest także jako samodzielna dyscyplina.

Zbiór jako pojęcie pierwotne Każdy z nas, w jakiś charakterystyczny dla siebie sposób, rozumie czym jest zbiór. Można go utożsamiać z workiem ziemniaków, butlą wypełniona gazem, właściwie ze wszystkim, gdzie mamy wyróżniony kawałek przestrzeni i możemy do niego upakować jakiś elementy: ziemniaki do worka, cząsteczki wodoru do butli. Można zatem powiedzieć, że zbiór jest pojęciem pierwotnym, czyli kolokwialnie mówiąc, pojęciem, które każdy rozumie, a którego zdefiniowanie za pomocą innych pojęć matematycznych jest praktycznie niemożliwe.

ZAPIS ZBIORÓW Zbiory oznaczamy dużymi literami, np. A czy B lub X . Jeśli jakiś element x możemy związać z pewnym zbiorem (np. ziemniak z workiem), to mówimy, że x jest elementem zbioru A, co zapisujemy xєA . Jeśli jakiś zbiór składa się z elementów a, b, c to piszemy A={a, b, c}.

Działania na zbiorach Sumą zbiorów A i B określamy zbiór, którego elementy należą do zbioru A lub do zbioru B, co zapisujemy AυB Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementy należą do zbioru A a nie należą do zbioru B, co zapisujemy A/B Iloczynem (częścią wspólną, przekrojem) zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementy są jednocześnie elementami zbioru A i B, co zapisujemy A∩B

Zbiorem liczbowym nazywamy zbiór, którego elementami są liczby. ZBIORY LICZBOWE Zbiorem liczbowym nazywamy zbiór, którego elementami są liczby.

Zbiór liczb naturalnych Zbiór liczb naturalnych. Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór złożony z liczb 1,2,3,4,...., co zapisujemy symbolicznie N={1,2,3…} . Zbiór liczb naturalnych z dołączonym elementem 0 oznaczamy jako N+0={0,1,2,3…} Zbiór liczb całkowitych. Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór złożony z liczb Z={ ...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} co można symbolicznie zapisać , czyli liczb naturalnych, liczb przeciwnych do naturalnych i elementem 0. Zbiór liczb wymiernych. Zbiorem liczb wymiernych nazywamy zbiór liczb, które dają się zapisać w postaci ułamkowej. Oznaczamy go przez Q

Zbiór liczb niewymiernych Zbiór liczb niewymiernych. Zbiorem liczb niewymiernych nazywamy zbiór złożony z liczb, które nie są wymierne. Oznaczamy go jako IQ. Liczbami niewymiernymi są np.√3, √10… Zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiór R={Q+IQ} , a zatem sumę zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb zespolonych. Zbiorem liczb zespolonych nazywamy zbiór par uporządkowanych liczb rzeczywistych.

Polscy matematycy w teorii mnogości Teoria mnogości, podobnie jak topologia, jest jedną z tych dziedzin matematyki, w których wkład polskich matematyków był i jest bardzo istotny. Matematycy związani zarówno z warszawską szkołą matematyczną, jak i ze szkołą lwowską, byli zainteresowani problemami w teorii mnogości, choć często zainteresowania te były motywowane ich pracami w topologii czy też analizie funkcjonalnej. Tradycje te są kontynuowane współcześnie przez wielu polskich matematyków pracujących w kraju, jak i poza jego granicami.

Wśród polskich matematyków powszechnie uznanych za wybitnych, ważny wkład w rozwój teorii mnogości mieli:

Stefan Banach ur. 30 marca 1892 r. Kraków zm. 31 sierpnia 1945 r. Lwów zapoczątkował współczesną analizę funkcjonalną, wniósł istotny wkład w rozwój teorii topologicznych przestrzeni wektorowych, zajmował się ponadto teorią liczb rzeczywistych i szeregów ortogonalnych.

Witold Hurewicz ur. 29 czerwca 1904 r. w Łodzi zm. 6 września 1956 r. w Uxmal (Meksyk)‏ sformułował twierdzenie Hurewicza w dziedzinie topologii

Bronisław Kanster urodził się 22 maja 1893r. w Warszawie zmarł 3 listopada 1980r. we Wrocławiu zasłynął konstrukcją pierwszego przykładu continuum dziedzicznie nierozkładalnego i rozwojem teorii zbiorów spójnych w teorii mnogości znane jest jego twierdzenie, że każda nieprzeliczalna rodzina odcinków otwartych na prostej zawiera nieprzeliczalną podrodzinę odcinków o parami niepustych przekrojach w 1963 roku otrzymał nagrodę państwową I stopnia

Kazimierz Kuratowski Urodził się 2 lutego 1896 w Warszawie zmarł 18 czerwca 1980 w Warszawie Jego prace dotyczyły głównie topologii Wprowadził aksjomatykę domknięć, która posłużyła za podstawę do rozwoju teorii przestrzeni topologicznych oraz rozwijanej przez niego teorii continuów nieprzywiedlnych między dwoma punktami

Jerzy Łoś zm. 1 czerwca 1998 w Warszawie ur. 22 marca 1920 we Lwowie Studiował we Lwowie w latach 1937 – 1939, początkowo medycynę, następnie filozofię i chemię Jego prace dotyczyły logiki, algebry oraz podstaw matematyki i jej zastosowań, zwłaszcza w ekonomii. Najbardziej znanym osiągnięciem Łosia w dziedzinie algebry i teorii modeli jest jego praca nad ultraproduktami.

Edward Marczewski ur. 15 listopada 1907 w Warszawie, zm Edward Marczewski ur. 15 listopada 1907 w Warszawie, zm. 17 października 1976 we Wrocławiu Autor około 100 prac naukowych z zakresu topologii, teorii miary, teorii mnogości i algebry. 92 z tych prac zebrano i wydano w 1996 roku w formie dzieł zebranych tego matematyka Twórca wrocławskiej szkoły algebraicznej i algebraicznej teorii niezależności. Nauczyciel Siemiona Fajtlowicza, Kazimierza Głazka

Stanisław Mieczysław Mazur (ur. 1stycznia 1905 we Lwowie, zm Stanisław Mieczysław Mazur (ur. 1stycznia 1905 we Lwowie, zm. 5 listopada 1981 w Warszawie Był wykładowcą akademickim, zawsze dostępnym dla swoich studentów i asystentów. Ojciec tancerki Krystyny Mazurówny (ur. 1939)

aksjomatycznA teoriA mnogości Aksjomat ekstensjonalności. Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy Aksjomat istnienia. Istnieje zbiór, do którego nie należy żaden element (jest to oczywiście zbiór pusty). Aksjomat pary. Dla każdych dwóch zbiorów istnieje zbiór zawierający jako elementy dokładnie te dwa zbiory. Aksjomat sumy. Dla każdego zbioru x istnieje zbiór, do którego należą wszystkie elementy elementów zbioru x i nic więcej. Aksjomat nieskończoności.Istnieje zbiór taki, że należy do niego zbiór pusty oraz jeśli należy do niego zbiór y, to należy także suma y i zbioru jednoelementowego, którego jedynym elementem jest y.

Aksjomat zastępowania (nazywany także aksjomatem wycinania) Aksjomat zastępowania (nazywany także aksjomatem wycinania). Przekrój dowolnego zbioru i klasy zdefiniowanej przez dowolną formułę jest zbiorem. Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru x istnieje jego zbiór potęgowy, czyli zbiór, do którego należą wszystkie podzbiory zbioru x. Aksjomat regularności. Każdy niepusty zbiór x zawiera pewien element y taki, że x i y są rozłączne.

LOGIKA A TEORIA ZBIORÓW Odwołując się do praw logiki można dowieść każde prawo rachunku zbiorów.

Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Logika jest nauką zajmującą się zdaniami. Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie. Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi.

WARTOSC LOGICZNA ( PRAWDZIWOSC lub FALSZYWOSC ) zdania złożonego, zbudowanego ze zdań prostych, wyłącznie poprzez użycie do tego celu spójników: Λ(koniunkcja), V(alternatywa), →(implikacja), ≡(równoważność), ~(negacja) zależy od miejsca ich występowania w schemacie zdaniowym oraz wartości logicznej ( 1 = prawda lub 0 = fałsz ), zdań składowych. Zależność ta jest ujęta w tabele, tzw. MATRYCE LOGICZNE - logika "wymaga" by wkuć każdą matrycę logiczną na pamięć, na tej samej zasadzie, na której matematyka "wymaga" wkucia na pamięć TABLICZKI MNOŻENIA ...

Przykładowe schematy logiczne zdań 1) p → q 2) ~ (p ∧ q) 3) p ∨ (r → ~ s) 4) [p ≡ (q → r)] ∧ (s → z)

Przykład 1 Zygfryd czyści rewolwer i obmyśla plan zemsty. W zdaniu tym znajdujemy jedno wyrażenie odpowiadające spójnikowi logicznemu – i, oraz dwa zdania proste – Zygfryd czyści rewolwer oraz (Zygfryd) obmyśla plan zemsty. W tym momencie z łatwością możemy już zapisać właściwy schemat całego zdania: p ∧ q. p ∧ q, p – Zygfryd czyści rewolwer, q – Zygfryd obmyśla plan zemsty.

PRZYKŁAD 2 Jeśli Marian zostanie prezesem, to Leszek straci pracę. W przypadku implikacji, której składniki „jeśli” oraz „to” znajdują się w różnych miejscach zdania, strzałkę piszemy zawsze nad to. Schemat powyższego zdania to oczywiście p → q p – Marian zostanie prezesem, q – Leszek straci.

PRZYKŁAD 3 Jeśli Tadeusz zdąży na autobus, to przyjdzie, lub gdyby nie zdążył na autobus, to przełożymy nasze spotkanie. (p → q) ∨ (~ p → r) p – Tadeusz zdąży na autobus, q – Tadeusz przyjdzie, r – przełożymy nasze spotkanie.

AUTORZY : GRUPA 98/56_MF_G1

BIBLIOGRAFIA http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Logika/Sp%C3%B3jniki_logiczne http://www.math.edu.pl/kwantyfikatory http://pl.wikipedia.org/wiki/Kwantyfikator http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Logika/Kwantyfikatory http://www.math.uni.wroc.pl/~newelski/dydaktyka/wdm-A/skrypt2/skrypt/node5.html http://matematyka.pisz.pl/strona/1116.html