Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe W dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą: system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście:

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Przykład m1m1 m2m2 k1k1 k 12 B 12 B1B1 B2B2 x1x1 x1x1 f(t) Model różniczkowy

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Sterowanie analogowe: informacja o wejściach i wyjściach systemu – funkcje czasu Sterowanie cyfrowe: informacja o wejściach i wyjściach systemu – szeregi czasowe Opis ciągły Ekstra polator Impul sator Opis dyskretny System x[n] x(t) y(t) y[n]

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Przejście: I sposób – aproksymacja pochodnych w równaniu różniczkowym ilorazami różnicowymi Aproksymacja lewostronna:

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Aproksymacja prawostronna: Aproksymacja symetryczna: Inne podejścia – ćwiczenia

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Model różniczkowy Aproksymacja modelem różnicowym I równanie:

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 II równanie: Warunki początkowe:

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Po uporządkowaniu: I równanie: II równanie: podobnie ……

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) Naturalny (fizykalny) wybór zmiennych stanu - wybieramy wyjścia wszystkich integratorów prowadzących do uzyskania zmiennej z całkowania najwyższej pochodnej tej zmiennej Na przykład i są zmiennymi stanu, nie jest zmienną stanu

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Dla rozważanego przykładu, zmienne są naturalnymi zmiennymi stanu, które charakteryzują system Jeżeli znamy wartości zmiennych stanu, wszystkie inne zmienne mogą być obliczone Zmienne stanu są tymi zmiennymi, dla których muszą być określone warunki początkowe Pamiętamy:

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Model przestrzeni stanu: Jedno równanie dla pierwszej pochodnej każdej zmiennej stanu Dla rozważanego przykładu

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Po uporządkowaniu: Równania stanu Warunki początkowe:

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Możemy też zapisać Oznaczając: Możemy zapisać

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Drugi składnik modelu przestrzeni stanu – równanie wyjścia Równania wyjścia oblicza wyjścia, to znaczy zmienne, które wybraliśmy do obserwacji (pomiarów) Weźmy w naszym przykładzie Wówczas lub

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 Oznaczając: Możemy zapisać Ogólnie x – stany u – wejścia y - wyjścia Jeżeli mamy m wejść, n stanów, p wyjść

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 System dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) Powszechnie stosowana postać x – stany u – wejścia y - wyjścia Jeżeli mamy m wejść, n stanów, p wyjść

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 Przykład Równania stanu ciągłe Aproksymacja modelem różnicowym Zastosowanie aproksymacji prawostronnej I równanie stanu: Po uporządkowaniu:

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 II równanie stanu: Po uporządkowaniu: III równanie stanu: Po uporządkowaniu:

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 IV równanie stanu: Po uporządkowaniu: Równanie wyjścia: Aproksymacja:

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Możemy też zapisać

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 Oznaczając: Możemy zapisać

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Rozważmy najpierw przypadek skalarny Klasyczne podejście 1.

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Składowa swobodna Składowa wymuszona

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Przykład v C (0 - ) = 1V x(t) = u c (t)

Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26