Ćwiczenie IV. „Sumowanie do nieskończoności” - całki i ich zastosowania Strona internetowa ćwiczeń: http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112 Większość czynności/operacji matematycznych ma czynności/operacje odwrotne – „odwracające” wynik. Czynnością odwrotną w stosunku do różniczkowania (znajdowania pochodnej) jest „antypochodna”, czyli całka nieoznaczona pochodnej f(x), czyli: F(x) =  f(x)dx . (niżej – „c”, „C” – stała całkowania! b. ważne!) Jest to czynność odwracająca wynik różniczkowania. Z definicji tej, można bezpośrednio wyprowadzić niektóre równania na całki nieoz-naczone, np.: dx = x + c, xndx = xn+1/(n + 1) + c, eaxdx = eax/a + c, 0dx = c, xdx = 2/3x3 + c, sin(x)dx = -cos(x) + c, cos(x)dx = sin(x) + c, tan(x)dx = -ln|cos(x)| + c, ctg(x)dx = ln|sin(x)| + c . Podstawowe prawa całkowania: Całka z iloczynu funkcji przez stałą: a.f(x)dx=a.f(x)d(x), gdzie aR; Całka z sumy (różnicy) funkcji: [f(x)  g(x)] = f(x)dx  g(x)dx . Różniczkowanie: proste – całkowanie – nie. Pomocne w całkowaniu bywają programy komputerowe, ale też nie zawsze. Ważną metodą całkowania jest całkowanie przez części; jej podstawą jest wzór na pochodną iloczynu: d(uv)/dx = u(x)dv/dx + v(x)du/dx . Całkowanie obu stron daje:

d(uv)/dx = u(x)dv + v(x)du u(x)v(x) = u(x)dv + v(x)du; najczęściej jest to zapisywane następująco: udv = uv – vdu . Ozn. to, że nawet wtedy, gdy nie możemy scałkować bezpośrednio, ale możemy wyrażenie przekształcić w iloczyn (nawet uwzględniający mnożenie przez 1) – możemy spróbować scałkować II-gi czynnik iloczynu. Przykład: całkowanie funkcji y = ln(x); w tym celu definiujemy 2 nowe funkcje: u = ln(x) i v = x. Dlatego: y = u i dv = dx. Ponadto: du/dx = 1/x lub du = (1/x)dx; teraz można scałkować: ln(x)dx = udv = uv – vdu = xln(x) – x(1/x)dx = xln(x) – x + c Taki sam wynik – przy użyciu programów typu Mathematica czy wxMa-xima. Należy wtedy pamiętać, że: programy nie dodają stałej „c” („C”), poza tym logarytmy naturalne są tam domyślne i „jedyne” [log(x)=ln(x)]. Całkowanie y=x.ex: – przyjmujemy: u = x – to daje du = dx. Zakładamy też, że v = ex , co daje: dv = exdx. Wtedy: xexdx = udv = xex – exdx = xex – ex + c. Inny problem: zmiany wielkości populacji komórek bakterii w hodow-li, w zależności od czasu. Wielkość zmiany jest a do liczby obecnych komórek bakterii (10000 kom. wytwarza 10000 nowych kom., 1000000 – 1000000 nowych, etc.). Dlatego Nt+1 = rNt. Populacja wzrasta propor-cjonalnie do wyjściowej wielkości populacji. Proces ten można modelo-wać za pomocą równania różnicowego lub różniczkowego w formie: lub .

Jaka jest całkowita liczba komórek bakterii po upływie czasu b Jaka jest całkowita liczba komórek bakterii po upływie czasu b? W ce-lu obliczenia całkowitej liczby bakterii Ntotal, należy najpierw rozwią- zać tzw. równanie różniczkowe: Mnożymy obydwie strony przez dt, dzielimy przez N(t) i całku- jemy.: Wiadomo, że: d[ln(x)]/dx = 1/x. Pochodna rt = r. Po rozwiąza- niu: ln(N) + c1 = rt + c2, N = Cert, C zawiera obie stałe całkowania. Czym jest C? Jeżeli przyrównamy je do 0, to uzyskamy: N0 = C, co prowadzi do: N = N0ert. Rys. obok (dolny) zawiera wyk- res zależności Nt od czasu (t) od t = a (punkt początkowy) do czasu b. W czasie t0, liczba bakterii wynosiła N0 = c, a po upływie pewnego czasu Dt, liczba ta wynosiła oczywiście: N1 = c + f(t0) + f(t1) = f(t0) + f(t0 + Dt). Po upływie 2 odstępów czasu, liczba ta będzie równa: N1 = c + f(t0) + f(t1) + f(t2) = f(t0) + f(t0 + Dt) + f(t0 + 2Dt). Jeżeli podzie-limy cały zakres czasu od a do b na n małych zakresów czasu Dx, to całkowita liczba bakterii będzie:

Jest to przedstawione na rys Jest to przedstawione na rys. obok: powierzchnia pod wykresem funk- cji, jest sumą wszystkich składników. Mając na uwadze, że całka nieo- znaczona, to: F(x) = f(x)dx, czyli: lub: F(x + Dx) – F(x)  f(x)Dx Wprowadzamy tę zależność do równania na Ntotal i uzyskujemy: Na powyższym rysun- ku oznaczamy prze- działy czasowe jako: 1, 2, 3, 4,...... i weryfikujemy ostatnie równanie: Ntotal= F(2) – F(1) + F(3) – F(2) + F(4) – F(3)... + ...F(n)–F(n–1) = F(n) – F(1). W ten sposób możemy zredukować całą sumę do tylko 2 składników: I-szego i ostatniego. Ntotal= F(b) – F(a) = f(b)dx – f(a)dx. Powierzchnia pod krzywą pomiędzy x=a a x=b, jest równa różnicy całek: F(b) – F(a), co można też zapisać: Jest to całka oznaczona od a do b.

Znak całkowania, oznacza faktycznie sumowanie bardzo małych warto-ści dx; historycznie pochodzi od wydłużonego S, co oznacza sumę. Można więc zapisać: Całkowita liczba bakterii jest całką ww. funkcji akumulacji ich liczby w granicach od a do b. Dlate- go można też zapisać: Jest to całkowita liczba komórek bakterii, wytworzona od czasu „a” do czasu „b”. W wielu przypadkach, skomplikowane całki nie mają dokładnych roz-wiązań, a wyliczające je programy komputerowe podają ich przybliże-nia. Jednym z najczęściej spotykanych przybliżeń, jest tzw. funkcja błędu („error function”). Funkcje błędu spotykane są często, gdy próbu-jemy całkować funkcje o następującej postaci ogólnej: y = f(x)e–g(x)^2. Np.: y = axne–bx^2dx . Przy użyciu programu Mathematica, można uzys-kać następujące rozwiązanie: Wyrażenie to można uprościć: Log (e)= 1 (tu są ln!), a następnie znaleźć ogólne rozwiązanie dla funkcji błędu. Po uproszczeniu: Czym jest Erf(b1/2)? Funkcję błędu można zdefi- niować w różny sposób (nast. przeźrocze):

2 warianty funkcji błędu na wykresach poniżej (f. gaussiańskie):. i 2 warianty funkcji błędu na wykresach poniżej (f. gaussiańskie): i Ważną jest też całka f. błędu: F. gaussiańskie mają ważne cechy – m.in. maksimum mające war- tość [l1/(2p)0,5 lub 2/p0,5, zależnie od formy funkcji] w punkcie t=0. Punkty przegięcia miejsca, gdzie pochodna ma maksimum i minimum w miejscach t = 1 lub t=1/2. W p-ktach przegięcia II pochodna = 0: Bardziej interesująca jest całka f. gaus- siańskiej, ponieważ jest to f. błędu, którą najb. potrzebujemy. Rys obok przedstawia ją w najczęściej sto- sowanej formie. Jej wartość zbliża się asym- ptotycznie do 1. Inaczej mówiąc, cała powie- rzchnia pod krzywą Gaussa powinna być równa dokładnie 1. Równanie na całkę – na następnym przeźroczu.

Całka funkcji Gaussa:. Dodatkowo jest spełniony warunek: Całka funkcji Gaussa: Dodatkowo jest spełniony warunek: Inny przykład: funkcje trygonometryczne (w zw. z oscylacjami harmo- nicznymi np. w akustyce) – całka funkcji y = sin(x) w granicach od 0 do 2p. Jest to powierzchnia pod krzywą na rys. poniżej. Mathematica daje proste rozwiązanie: Jest to powierzchnia za- równo nad osią x, jak i po- niżej. Ponieważ wykres funkcji jest symetryczny, suma obydwu części = 0. O znaku funkcji w danym p-kcie, decyduje droga, jaką do niego doszliśmy. Jeśli doszliśmy do nie- go idąc w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to powierzchnia pod krzywą będzie dodatnia („dodatnia w matematycznym znaczeniu”). Ruch zgodny ze wskazówkami zegara daje powierzchnię ujemną w matematycznym znaczeniu. Mając to na uwadze – musimy podwoić „dodatnie części” f. sinus i rozwiązać:

Rozwiązanie (szczegóły) – na str. 59 skryptu; wynik końcowy: Rozwiązanie (szczegóły) – na str. 59 skryptu; wynik końcowy: - powierzchnia pod krzywą funkcji trygonometrycznej jest liczbą naturalną. Kolejny problem: powierzchnia pomiędzy 2 krzywymi, zaznaczona na zielono na rys. poniżej. Potrzebne będą całki 2 funkcji f(x) i g(x) w gra- nicach od A do B. Powierzchnia jest różnicą pomiędzy obydwiema cał- kami. Dlatego musimy obliczyć: F(x) i G(x), a dalej – różnicę: A = [F(B) – F(A)] – [G(B) – G(A)]. Po dokładnym rozpisaniu: Można to zapisać jeszcze inaczej: Jest to ogólne równa- nie tzw. całki podwój- nej. Całki podwójne są używane do obliczania powierzchni zawartej pomiędzy wykresami 2 funkcji.

Niekiedy ważnym jest obliczenie całkowitej długości linii, np Niekiedy ważnym jest obliczenie całkowitej długości linii, np. wtedy, gdy śledzimy tropy zwierzęcia, lub chcemy oszacować całkowitą dro- gę, jaką przebyło zwierzę (ew. chcemy obliczyć całkowitą długość naczyń krwionośnych lub części ksylemu i floemu u roślin). Jeżeli dany wykres funkcji (pomiędzy punktem a i b) podzielimy na „mikroskopijnie małe” odcinki „dc” I zastosujemy tw.Pitagorasa (rys.), to całkowita dłu-gość będzie sumą wszystkich odcinków dc (rys.). Ogólne równanie na to wyliczenie jest podane poniżej. Konkretny przykład: jaka jest długość krzywej funkcji y = x2 od x=1 do x=2? Potrzebne równanie: Program kompute- rowy wylicza skom- likowaną całkę; roz- wiązanie numerycz- ne: L = 3,167. Inny problem – obliczanie objętości brył. Jeżeli bryły te powsta-ły w wyniku procesu obracania (nazywamy je wtedy bryłami obrotowy-mi), to obliczenia są łatwe. Zakładamy, że obiekt obraca się wokół osi x. Powierzchnia zakreślonej bryły obrotowej jest wtedy równa 2pr2,

gdzie r jest dokładną wartością funkcji x, czyli f(x) gdzie r jest dokładną wartością funkcji x, czyli f(x). Połowa obrotu daje całkowitą objętość bryły, która wynosi: Objętość bryły powstałęj w wyniku obracania wokół osi y wynosi: W ostatnim przypad- ku, należy wziąć pod uwagę funkcję odw- rotną: x = f(y). Przykład – jaka jest objętość bryły powstałej obrotu krzywej funkcji y = x2 od x = 1 do x = 2 wokół osi y? (niezbędna – funkcja odwrotna). Schemat powstawania bryły obroto- wej wskutek obrotu wokół osi x. Istotna może być też powierzchnia brył obrotowych. Bierzemy wtedy pod uwagę wszystkie małe kółeczka (ja- kimi można by pokryć całą powierz- chnię) o promieniu r i długości DL. Ta powierzchnia = 2prDL, r odpowiada y = f(x), a DL znów = [1 + f’(x)2].

Stąd: Dla obrotu wokół osi y, uzyskujemy: Często łatwiej jest użyć współrzędnych biegunowych w celu obliczenia długości, powierzchni, czy objętości. W celu obliczenia długości seg-mentu określonego przez funkcję polarną r = f(a), musimy zsumować wszystkie „małe” segmenty DL. Jeżeli DL0, to DL/rsin(Da). Stąd: L  L = rsin(Da). Dalej można zastosować ko- lejne przybliżenie; szukamy granicy sin(x)/x i roz- wijamy w szereg Taylora funkcję sin(x). W szere- gu Taylora, wszystkie wyrazy dalsze niż I-szy są małe w porównaniu z I-szym i dlatego je odrzuca- my. Uzyskujemy dzięki temu wynik: . Teraz wprowadzamy to przybliżenie do powyższego równania i uzyskujemy: L  rsin(Da)  rDa = rda Np., jaka jest długość okręgu? Uwzględnimy zakres od a=0 do p/2. Stąd: Inny przykład: jaka jest długość spirali Ar- chimedesa (wykł. III w starym skrypcie) w zakresie od 0 do 2p. Długość ta wynosi (następne przeźrocze):

Długość spirali Archimedesa: Stosując podobne rozumowa- nie, można obliczyć powierz- chnię zawartą wewnątrz zakresu Da. Ta powierzchnia jest w przybliże-niu równa: r*r*sin(a)/2. Na tych samych zasadach możemy obliczyć: . Teraz, łatwo już można obli- czyć pole powierzchni koła: . Na zakończenie, jako krótkie podsumowanie wybranych zastosowań całek oznaczonych – okno programu „Wykresy”, w którym można całko-wicie automatycznie wyliczyć, np. pole powierzchni pod krzywą i obję-tości brył obrotowych: wystarcza wprowadzić tylko równanie funkcji (która ma być całkowana) i zakres całkowania. (nast. przeźrocze)

Okno p. „Wykresy”:

Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. 4. Wskazówki do zadania 1: W wyliczeniu całki w równaniu I-szym, bierzemy pod uwagę regułę cał-kowania funkcji potęgowej: xndx = xn+1/(n + 1) + c. Musimy przeksz-tałcić funkcję podaną w formie pierwiastka, pamiętając, że pierwia-stkowanie jest szczególnym przypadkiem potęgowania.: Ostatecznie: . Dla równania II-giego, stosujemy reguły całkowania funkcji elemen-tarnych: całkowanie funkcji potęgowej i stałej oraz twierdzenia o całkowaniu iloczynu funkcji przez stałą oraz o całce sumy. Wynik końcowy: Przy całkowaniu III-go (ostatniego) równania funkcji, należy zasto- sować regułę całkowania przez części, która mówi: udv= uv – vdu. Dla funkcji y = ln(x), definiujemy 2 nowe funkcje: u = ln(x) i v = x, a stąd: y = u i dv = dx oraz du/dx = 1/x lub du = (1/x)dx. Po uwzględnie-niu tego i podstawieniu mamy: ln(x)dx= uv – vdu = xln(x) – x(1/x)dx = xln(x) – x + c .

Wskazówki do zadania 2: Okno wejściowe, programu online: http://integrals.wolfram.com , wygląda następująco: Przy wprowadzaniu równania funkcji do całkowania, należy pamiętać o tym, że: a) wprowa- dzamy tylko prawą stronę rów- nania funkcji, b) separatorem dziesiętnym jest kropka, a nie przecinek, c) znak mnożenia „*” można zastąpić spacją, d) zamiast „ln”, wprowadzamy: „Log” {inne logarytmy, wprowa- dzamy jako: Log[b, x], gdzie b jest podstawą logarytmu}. Pole wpisywania równania całkowanej funkcji Przycisk wykonywania oblicze- nia Pole wyników

Wyliczenie przykładowej całki przez program online „Integrals”: Wyliczenie przykładowej całki przez program online „Integrals”: Całka I-szej funkcji z zad. 2 – następne przeźrocze.

W programie „Integrals”: sin(x). cos(x)dx = – 1/2 cos2(x). Obok: W programie „Integrals”: sin(x)*cos(x)dx = – 1/2 cos2(x) Obok: arc sin(x) dx = ½ [(2x-1)* arc sinx + (x – x2)1/2]

1,5x *e–4x^2dx = – 0,44769 erf [0,25 (0,405465 – 8x)] Wyniki obliczeń całek tych samych funkcji, co poprzednio, przy użyciu programu wxMaxima – poniżej.

Po wprowadzeniu równania w pole „INPUT:”, klikamy w przycisk: „Integrate (ew. Menu: Calculus  Integrate)”: Wprowadzenie równania (1) Klik (2) Po tym, ukazuje się okno dialogowe całkowania, w którym jest możliwość wyboru, czy całka ma być nieoznaczona, czy oznaczona; jeśli wybrano II-gą z wymienionych opcji – to jest możliwość wyboru granic całkowania. W aktualnie naszym przypadku – pozostawiamy ustawienia domyślne (całka nieoznaczona – pusty kwadracik przy opcji: „definite integration”) – następne przeźrocze.

Okno dialogowe całkowania: Akceptujemy opcje domyślne, czyli klikamy w OK. Po tym – uzyskujemy wynik (odczytywalny na zrzucie ekranowym: w wierszu oznaczonym %o1: [–cos(x)2]/2

arc sin(x)dx w wxMaxima (pominięto zrzut okna dialogowego całko- wania – od razu wynik): Wynik odczytywalny i odmienny od uzyskanego przy użyciu pro- gramu online „Integrals” Analogicznie – 1,5x *e–4x^2dx w wxMaxima: Wynik – podob- nie odmienny niż w „Integ- rals”, jak pop- rzednio. Przy- czyny rozbież- ności – niezna- ne. „erf” – fun- kcja błędu („error func- tion”) – vide: teoria!

Wskazówki do zadania 3: Uruchamiamy program wxMaxima, wprowadzamy w pole „INPUT:” fun-kcję: -10*x^2+30*x+10, klikamy „Integrate” i uzyskujemy okno dialogo-we całkowania. Przed uruchomieniem obliczania, uaktywniamy licze-nie całki oznaczonej (klik w kwadracik przy „Definite integration”) i w domyślnych opcjach granicy „do” (pole: „to:”) zmieniamy 1 na 3.: Klik (1) Zamiana 1  3 (2)

Po uaktywnieniu liczenia całki oznaczonej i zamianie 1  3 w polu Po uaktywnieniu liczenia całki oznaczonej i zamianie 1  3 w polu „to:”: Klik Po kliknięciu w OK, pojawia się wynik: Uzyskany wynik: pole po- wierzchni pod krzywą funkcji y = -10x2 +30x +10, w zakr. od a=0 do b=3, wynosi:

Wskazówki do zadania 4: Ogólnie, długość wybranego odcinka krzywej funkcji (od punktu a do punktu b), można wyliczyć, obliczając następującą całkę oznaczoną: . Biorąc pod uwagę funkcję y = x2, której pochodna wy- nosi 2x i podstawiając ją do poprzedniego równania na całkę, uzyskujemy: . Całkę oznaczoną, podaną ostatnim równaniem dla: a=0 i b=3, wylicza- my przy użyciu wxMaxima: Uaktywniamy liczenie całki oznaczonej – klik (1) Zamiana 1  3 (2) Klik (3) Wynik – następne przeźrocze.

Wynik obliczania długości krzywej funkcji: y = x2, uzyskany w wyniku obliczenia całki oznaczonej funkcji (1+ 4x2)1/2, w zakresie od a=0 do b=3: Uzyskany wynik, nie jest „rozwiązaniem końco- wym” w formie liczby rze- czywistej. Można dokoń- czyć obliczenia (np. w Excelu). Można też pow- tórzyć wszystkie obliczenia w wxMaxima: Ustawiamy wszystkie opcje, jak pop- rzednio (w sumie – 2)... ...I dodatkowo, włączamy opcję całko- wania numerycznego: Numerical integration [Klik, (3)] Klik (4) Wynik – następne przeźrocze.

Wynik obliczania długości krzywej funkcji: y = x2, uzyskany w wyniku obliczenia całki oznaczonej funkcji (1+ 4x2)1/2, w zakresie od a=0 do b=3 (całkowanie numeryczne!): Wynik: Wskazówki do zadania 5: Ogólnie, pole powierzchni bryły obrotowej, powstałej w wyniku rota- cji wykresu funkcji y = f(x), wokół osi X w zakresie od punktu a do punktu b wylicza się, obliczając następującą całkę oznaczoną: Mając na uwadze, że (x2)’=2x, po podstawieniu do równania na całkę oznaczoną uzyskujemy: Poniższą całkę obliczamy stosując wxMaxima (następne przeźrocze)

Wprowadzana funkcja do całkowania: (x^2). sqrt(1+4. x^2) Wprowadzana funkcja do całkowania: (x^2)*sqrt(1+4*x^2). Okno dialogowe całkowania (ustawione – całkowanie numeryczne): Całka oznaczona – klik (1) Zamiana 1  3 (2) Włączenie całkowania numerycznego (3) Klik (4) Uzyskujemy wynik:

Uzyskany wynik mnożymy przez 2p – i uzyskujemy wynik ostateczny: pole powierzchni bryły obrotowej, powstałej w wyniku rotacji wykresu funkcji y = x2, wokół osi X, w zakresie od punktu a=0 do punktu b=3: M  2 * 3,14159 * 41,59  261,32 . Wskazówki do zadania 6: Ogólnie, objętość bryły obrotowej, powstałej w wyniku rotacji wykre-su funkcji y = f(x), wokół osi X w zakresie od punktu a do punktu b wylicza się, obliczając następującą całkę oznaczoną: Mając na uwadze, że w niniejszym zadaniu f(x)2 = x4, a a=0 i b=3: Obliczenia przeprowadzamy w wxMaxima (następne przeźrocze)

Wprowadzana funkcja do całkowania: x^4 Wprowadzana funkcja do całkowania: x^4. Okno dialogowe całkowania (ustawione – całkowanie numeryczne): Całka oznaczona – klik (1) Zamiana 1  3 (2) Włączenie całkowania numerycznego (3) Klik (4) Uzyskujemy wynik:

Uzyskany wynik mnożymy przez p – i dostajemy wynik ostateczny: objętość bryły obrotowej, powstałej w wyniku rotacji wykresu funkcji y = x2, wokół osi X, w zakresie od punktu a=0 do punktu b=3: V  3,14159 * 48,6  152,68 . Wskazówki do zadania 7: W zadaniu chodzi o obliczenie powierzchni zawartej pomiędzy krzywy-mi funkcji: y = sin(x) i y = x2, w granicach pomiędzy a = 0 i b = punkt przecięcia krzywych obu funkcji. Na samym początku, należy wyliczyć współrzędne tego punktu. W tym celu pobieramy plik „2funkcje.xls”, kończymy rozpoczęte w nim obliczenia, sporządzamy wykres punktowy (XY) obu funkcji i odczytujemy współrzędne punktu przecięcia – wszys-tko zgodnie z podstawową instrukcję (na WWW). Współrzędne punktu przecięcia, odczytujemy z podstawowego arkusza danych: Na zrzucie widać, że prawie identyczne wartości zmiennej y – zarówno dla funkcji y = sin(x) [y = 0,768651], jak i y = x2 [y = 0,768655], zanoto- wano dla wartości x = 0,87673. Potwierdza to także wspólny wykres obu funkcji (następne przeźrocze).

Wspólny wykres funkcji y = sin(x) i y = x2: Ogólne równanie na pole powierzchni zawartej pomiędzy krzywymi 2 funkcji (pomiędzy punktami a i b), to:

W konkretnym przypadku (zad W konkretnym przypadku (zad. 7): f(x) = sin(x) i g(x) = x2 (vide wykres obu funkcji i różnice pomiędzy ich wartościami: wart. wyższe dla sin(x) niż x2 ). Obliczenia wykonujemy za pomocą wxMaxima – podobnie, jak w zadaniu 3. W pierwszym przypadku, wprowadzamy: sin(x): Całka oznaczona – klik (1) Zamiana 1  0.87673 (2) Klik (3) Uzyskujemy następujący wynik:

W drugim przypadku, wprowadzamy x^2 i dodatkowo uruchamiamy cał-kowanie numeryczne (gdyż tylko wtedy będzie tu możliwe uzyskanie wyniku w formie ułamka dziesiętnego): Całka oznaczona – klik (1) Zamiana 1  0.87673 (2) Włączenie całkowania numerycznego (3) Klik (4) Uzyskujemy następujący wynik:

Ostateczne wyliczenie, z podstawieniem wyników uzyskanych dla obu funkcji oddzielnie:

Dziękuję za uwagę ;-)