1.Absorpcja światła w półprzewodnikach Wykład III 1.Absorpcja światła w półprzewodnikach 2.Gęstość stanów 3D, 2D, 1D, 0D 3.Koncentracja elektronów i dziur

Większość urządzeń półprzewodnikowych pracuje w oparciu o nośniki nadmiarowe: Nośniki nadmiarowe są generowane dzięki wzbudzeniom optycznym, bombardowaniu elektronami lub wstrzykiwaniem nośników np. w złączu p-n. • Pomiary przerwy wzbronionej : - absorpcja fotonów gdy hν  Eg; fotony nie są absorbowane, jeśli h  Eg to wyjaśnia, dlaczego niektóre materiały są przezroczyste dla pewnych długości fal ! - jeśli Eg = ~2 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła czerwonego, - jeśli Eg = ~3 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła widzialnego,

Jeśli strumień fotonów o energii hν  Eg oświetla próbkę Si, to można oszacować jaka część tego strumienia zostanie pochłonięta przez tę próbkę. Stosunek natężenia światła, które przeszło przez próbkę do natężenia światła padającego zależy od długości fali fotonów (λ) i grubości próbki (l). Niech I0 (photony/cm2sec) = wiązka fotonów o długości fali λ, skierowana zostaje na próbkę o grubości (l). Zgodnie z prawem Lamberta-Beera spadek natężenia wiązki w odległości (x) od powierzchni na odcinku dx, jest proporcjonalny do natężenia wiązki w (x), grubości warstwy dx i współczynnika opisującego własności optyczne ośrodka : Jeśli grubość jest mała i można założyć, że a =const, to natężenie światła po przejściu przez próbkę o grubości (l) :

Absorpcja w półprzewodnikach Dla dłuższej drogi z powyższego wzoru wynika następujące wyrażenie:

Pomiar absorpcji a

Półprzewodniki absorbują fotony o energii hν  Eg ! E (eV) = hc / λ (μm) Si absorbuje nie tylko fale o długości odpowiadającej przerwie wzbronionej (~1μm) ale również fale krótsze, z zakresu widzialnego. Si będzie przezroczysty w podczerwieni (bo h  Eg), ale nieprzezroczysty w zakresie UV-VIS (bo tam hν  Eg).

Krawędź absorpcji w półprzewodnikach z prostą przerwą wzbronioną ( np. GaAs) W pobliżu k=0 zależność E(k) jest paraboliczna zarówno dla pasma przewodnictwa (e), pasma dziur ciężkich (hh), dziur lekkich (lh) oraz pasma powstałego na skutek oddziaływania spin – orbita (so). Różnica między zależnościami dyspersyjnym dla poszczególnych pasm wynika tylko z innej wartości masy efektywnej.

Z ZZE dla przejść optycznych w GaAs z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa: gdzie i niech

Łączna gęstość stanów. Gęstość stanów określa rozkład stanów po energii w obrębie jednego pasma. Łączna gęstość stanów uwzględnia fakt, że początkowy i końcowy stan elektronu znajdują się w obrębie kontinuum stanów dozwolonych, różnych pasm. Dla elektronów w paśmie: D(E)dE=2D(k)dk g(k) jest gęstością stanów w przestrzeni pędów a mnożnik 2 wynika z tego, że w danym stanie kwantowym mogą się znajdować dwa elektrony o różnych spinach. Stąd: Wiadomo, że gęstość stanów w przestrzeni wektora falowego g(k) jest równa liczbie stanów zawartych w przestrzeni między dwiema sferami o promieniach k i k+dk. Ta zaś jest równa liczbie stanów na jednostkę objętości, tj. 1/(2p)3 pomnożonej przez objętość między sferami równą 4pk2dk. Tak więc:

Łączna gęstość stanów wtedy dla zaś dla dla energii fotonów większej niż przerwa wzbroniona łączna gęstość stanów rośnie jak

Prawdopodobieństwo przejścia Wi-f jest proporcjonalne do łącznej gęstości stanów, więc współczynnik absorpcji będzie miał podobną zależność funkcyjną od energii fotonów co łączna gęstość stanów, ponieważ w przybliżeniu dipolowym można założyć, że M =const ( tzn. słabo zależy od k)

Z ekstrapolacji części liniowej wykresu do przecięcia z osią odciętych można wyznaczyć przerwę wzbronioną Eg

Przejścia skośne  Przejścia skośne mogą pojawić się wtedy i tylko wtedy, gdy w procesie oddziaływania foton–elektron bierze udział trzecia cząstka, która umożliwia spełnienie zasady zachowania wektora falowego. Zazwyczaj taką rolę pełni fonon gdzie Ep, , – energia i pęd fononu. Znak „+” odpowiada procesowi z emisją, „–” procesowi z absorpcją fononu. 1. Proces dwuetapowy: elektron jest wzbudzany przy udziale fotonu z pasma walencyjnego do stanu wirtualnego bez zachowania energii ale z zachowaniem wektora falowego. W drugim etapie elektron przechodzi ze stanu do stanu na dnie pasma przewodnictwa przy udziale procesu absorpcji lub emisji fononu. 2. Możliwe jest przejście takie, że najpierw jest oddziaływanie z fononem, a potem – z fotonem Si

Przejścia skośne gdzie Prawdopodobieństwo absorpcji fotonu w jednostce czasu i w jednostce objętości gdzie: HeR – hamiltonian oddziaływania elektronu z fotonem, Hep – hamiltonian oddziaływania elektronu z fononem. – stan początkowy układu z zapełnionym pasmem walencyjnym, pustym pasmem przewodnictwa oraz liczbą fononów np, – stan końcowy układu z elektronem w minimum pasma przewodnictwa, dziurą w maksimum pasma walencyjnego oraz liczbą fononów , – przedstawia dwa możliwe stany pośrednie, opisane wyżej. Element macierzowy oddziaływania elektron – fonon zależy od stopnia obsadzenia stanów fononowych gdzie

Przejścia skośne W wielu półprzewodnikach elementy macierzowe są stałe. Wtedy wystarczy wykonać sumowanie po kc i kv , które sprowadza się do całkowania po Ec i Ev: Zakładając, że pasma są paraboliczne mamy: gdzie Eig jest przerwą wzbronioną. Zero energii przyjęto dla wierzchołka pasma walencyjnego. Podstawiając do równania na Ri i całkując po Ev mamy:

Przejścia skośne Podstawiając mamy

Przejścia skośne Po scałkowaniu mamy: dla procesów z absorpcją fononu: dla procesów z emisją fononu:

Przejścia skośne Schematyczny przebieg krawędzi absorpcji w obszarze przejść skośnych dla dwu temperatur z zaznaczonym sposobem wyznaczenia przerwy energetycznej oraz energii fononu

Wyprowadzenie wzoru na gęstość stanów i koncentrację elektronów w metalu

Stany elektronów swobodnych Zbiór dozwolonych stanów elektronowych wynika z rozwiązania stacjonarnego r. Schrödingera Dla elektronów swobodnych w metalu V(r) = 0. Stąd rozwiązanie : gdzie -wektor w przestrzeni rzeczywistej zaś wektor falowy Włączając zależność od czasu mamy Jest to fala płaska poruszająca się w kierunku

Kwantyzacja stanów w pudełku Rozwiązanie r. Schrödingera (zaniedbując człon zależny od czasu) Teraz trzeba uwzględnić rozmiary kryształu. L Rozważmy kryształ w postaci sześcianu o boku L Takie założenie prowadzi do rozwiązania w postaci fali stojącej. Jest ono równoważne periodycznemu warunkowi brzegowemu: gdzie nx, ny, i nz = +/- 1,2,3… Jednej trójce liczb nx, ny, nz odpowiada jeden wektor k.

x z y px py pz Swobodne elektrony klasycznie: dozwolone stany są zdefiniowane przez położenie (x,y,z) i pęd (px, py, pz) Swobodne elektrony kwantowo: dozwolone stany zdefiniowane są przez wektor falowy (kx, ky, kz)=(px, py, pz) kx ky kz Stany elektronowe zdefiniowane są przez punkt w przestrzeni k

Stany w przestrzeni k (3D) gdzie nx, ny, i nz = +/- 1,2,3… Jednej trójce liczb nx, ny, nz odpowiada jeden wektor k. 2D: - każda kropka reprezentuje jeden stan w przestrzeni k. -wszystkie stany są równomiernie rozłożone w przestrzeni k. -jeden stan zajmuje objętość: ky kx 2p/L 2p/L 3D: jeden stan zajmuje jednostkową objętość w przestrzeni k: zatem liczba stanów na jednostkę objętości: Stany k są dyskretne, ale zwykle w metalu mamy do dyspozycji 1026 stanów zatem można je traktować jako zbiór ciągły!

Gęstość stanów w 3D . Gęstość stanów na jednostkę objętości D(k)dk jest liczbą dozwolonych stanów zawartych pomiędzy k i k+dk (tzn. liczbą stanów zawartych pomiędzy sferą o promieniu k a sferą o promieniu k+dk)= objętość w przestrzeni k x liczba stanów na jednostkę objętości w przestrzeni k: . kx ky 2p/L k k+dk Gęstość stanów na jednostkę objętości Równanie to jest słuszne dla wszystkich kryształów!

Gęstość stanów dE E 2m 2 1 = D(E)dE ÷ ø ö ç è æ p h D(E)dE 3 2 m dE dk Każdemu stanowi k odpowiada stan o energii E. Gęstość stanów to liczba dozwolonych stanów D(E) energetycznych zawartych w przedziale E do E+dE 3 2 m dE dk k = D(E)dE - p Zgodnie z zakazem Pauliego, każdy stan może być obsadzony przez 2 elektrony o przeciwnych spinach. Dla elektronów swobodnych E = 2k2/2m i dE = (2k/m)dk stąd dE E 2m 2 1 = D(E)dE 3/2 ÷ ø ö ç è æ p h

Gęstość stanów zajętych elektronami Aby policzyć no(E)dE, tj. ilość elektronów w jednostce objętości o energiach od E do E+dE w stanie równowagi w temperaturze T, to gęstość stanów należy pomnożyć przez funkcję Fermiego-Diraca:

Gęstość stanów

Gęstość stanów

Koncentracja nośników Przybl. parabol. (swob.elektron): Elektrony: Dziury: m*: masa efektywna

Koncentracja elektronów i dziur w stanie równowagi termodynamicznej Niech gęstość stanów = D(E) zaś prawdopodobieństwo, że zostaną zajęte elektronami = f(E), wówczas koncentracja elektronów: f(E)D(E) maleje istotnie dla E> EC , więc mało elektronów zajmuje stany powyżej dna pasma przewodnictwa efektywna gęstość stanów (NC): wszystkie stany są zastąpione stanami na dnie pasma przewodnictwa koncentracja elektronów w pasmie przewodnictwa=(efektywna gęstość stanów NC) x (funkcja Fermiego) : koncentracja dziur w paśmie walencyjnym

Koncentracja samoistna • półprzewodnik samoistny EF = Ei : • i ponieważ

Położenie poziomu Fermiego w półprzewodniku samoistnym EC EF=Ei EV półprz. samoistny dla T=0 lub Nc=Nv Krzem Eg=1.15eV m*n = 0.2me i m*p = 0.8me w 300K. Stąd:

Koncentracje równowagowe

Koncentracja równowagowa nośników w półprzewodniku domieszkowym EC EF=Ei EV samoistny EC EC EF qFn Ei Ei qFp EF EV EV N-typu P-typu

Koncentracja równowagowa nośników w półprzewodnikach

Koncentr. nośników w półprzew. domieszkowych. War. neutralności.:

Konc. nośników w półprz. domieszk. Warunek neutralności Donory obsadz. elektronami: Akceptory obsadz. dziurami: Czysty półprzewodnik typu n (p-podobnie) = 0 (tylko jeden typ domieszki) Przybliżenie Przykład: Si i niech n=1017 cm-3  

gdzie

Temperaturowa zależność koncentracji I) Niskie temperatury wymrażanie nośników II) Wysokie temperatury nasycenie III) B. wysokie temp. n ~ ni obszar samoistny

Koncentracja od temperatury gorący zimny