Wykład VI Atom wodoru i atomy wieloelektronowe

Operatory Operator : zbiór działań matematycznych przekształcających pewną funkcję wyjściową w inną funkcję Przykład operatora : w przypadku ruchu cząstki wzdłuż osi OX pędowi przypisujemy operator : Operator ten w działaniu na funkcję oznacza: utwórz nową funkcję będącą pierwszą pochodną funkcji po zmiennej x, a otrzymany wynik pomnóż przez stałą Plancka oraz i. W mechanice kwantowej każdej wielkości fizycznej przypisujemy pewien operator

W niektórych przypadkach rozwiązanie równania na wartości własne uzyskać można jedynie dla ściśle określonych wartości q n.. Oznacza to, że dana wielkość fizyczna przyjmować może tylko pewne ściśle określone, a nie dowolne wartości. Dozwolone wartości q n jakie może posiadać wielkość fizyczna opisana operatorem wyznaczyć można rozwiązując tzw. równanie na wartości własne operatora q n jest wartością własną operatora Jeżeli dokonywać będziemy pomiarów, to zawsze otrzymamy jedną z wartości q n.. Funkcje własne i wartości własne operatora

Przykład. Pęd cząstki swobodnej Dozwolone wartości pędu cząstki swobodnej : p = (h/2 ) k

Momentowi pędu przypisujemy cztery operatory: operator kwadratu momentu pędu - Równocześnie określoną wartość może mieć tylko kwadrat momentu pędu i jeden z jego rzutów na oś współrzędnych. Dwa pozostałe rzuty są nieokreślone. Oznacza to, że równocześnie można zmierzyć jedynie wartość momentu pędu oraz wartość jednego z jego rzutów na wybraną oś ( np. L z - czyli wartość rzutu na oś OZ). oraz Operator momentu pędu trzy operatory rzutu momentu pędu na poszczególne osie układu współrzędnych : L x, L y, L z

Kwantowanie momentu pędu l - orbitalna liczba kwantowa Wniosek: moment pędu jest wielkością skwantowaną. Oznacza to, że dowolny obiekt fizyczny może posiadać moment pędu tylko o pewnych, ściśle określonych wartościach. Dozwolone wartości jakie może przybierać kwadrat momentu pędu muszą być wartościami własnymi operatora

x z y (x,y,z) współrzędne w układzie sferycznym Sferyczny układ współrzędnych funkcja falowa współrzędne w układzie kartezjańskim

Kwantowanie rzutu momentu pędu r (r, x y z Oś OZ jest osią na którą rzutować będziemy wektor momentu pędu W tym przypadku operator L z ma postać operatora różniczkowania po kącie, a równanie na wartości własne ma postać Rozwiązaniem tego równania są funkcje postaci

Kwantowanie rzutu momentu pędu r (r, x y z Obrót układu współrzędnych o kąt 2 wokół osi OZ nie zmienia wartości funkcji falowej:

Kwantowanie momentu pędu i jego rzutu

Momentu pędu - podsumowanie Dozwolone wartości momentu pędu Dozwolone wartości rzutu momentu pędu na oś OZ

ModelatomuBohra PostulatyBohra 1.Elektrony poruszają wokół jądra po orbitach stacjonarnych. 2.Atom emituje promieniowanie, gdy elektron przechodzi z jednej orbity stacjonarnej na drugą. 3. Częstotliwość promieniowania jest dana wzorem hf=E m -E n gdzieE m iE n oznaczają energie tych stanów. 4.Moment pędu elektronu jestskwantowany: m e vr=n

Liczby kwantowe: n n - liczba naturalna,numeruje energię n = 1,2,3,4,5,…; E = eV eV Zjoniz. atom n = 1 n = 2 n = 3 n- główna liczba kwantowa masa zredukowana

0 -R-R1 -R/4 -R/9 -R/16 -R/ n= Lyman Balmer Paschen Widma emisyjne atomu wodoru Energia Długość emitowanej fali R stała Rydberga R= m -1

Seria Balmera Absorption spectrum of sodium Flame spectrum of strontium 7000 Å (reproduced from Spectroscopy in Chemistry) 7000 Å (Å)k(cm -1 ) H Czerwony H Zielono-niebieski H Niebieski H Fioletowy

Liczby kwantowe: n, l, m l - określa wartości momentu pędu elektronu na orbicie; liczba naturalna z zakresu [0, n-1 ] l - orbitalna liczba kwantowa l = 0,1,2,…n-1; m l - magnetyczna liczba kwantowa m - określa rzut momentu pędu elektronu na wyróżniony kierunek w przestrzeni; liczba całkowita z zakresu [-l, l ] n - główna liczba kwantowa n- określa dozwolone wartości energii elektronu na orbicie; n=1,2,3,...

Stany elektronu

Stan podstawowy - radialna gęstość stanów Maksimum prawdopodobieństwa dla r = r 0

Funkcje radialne

pierwszy stan wzbudzony: n =2, =0, m =0 Atom wodoru - funkcje falowe Pierwszy stan wzbudzony - radialna gęstość stanów