FUNKCJA FALOWA UKŁADU IDENTYCZNYCH CZĄSTEK; ZAKAZ PAULIEGO. WYKŁAD 12 FUNKCJA FALOWA UKŁADU IDENTYCZNYCH CZĄSTEK; ZAKAZ PAULIEGO. ATOM HELU

!!PRZYPOMNIENIE!! PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest dane przez kwadrat modułu zespolonej liczby Φ nazywanej amplitudą prawdopodobieństwa. P = prawdopodobieństwo Φ = amplituda prawdopodobieństwa P = |Φ|2 Zdarzenie: znalezienie elektronu w punkcie r w atomie. Amplituda prawdopodobieństwa dla elektronu w układzie atomowym to funkcja falowa

P = |Φ1 + Φ2|2 = |Φ1|2 +|Φ2|2 + 2|Φ1| |Φ2| cosφ 2. Jeśli zdarzenie może zajść na kilka alternatywnych sposobów to całkowita amplituda dla tego zdarzenia jest sumą amplitud prawdopodobieństwa dla każdego z tych sposobów na jaki może ono zajść. Przy dwóch sposobach mamy: Φ = Φ1 + Φ2 P = |Φ1 + Φ2|2 = |Φ1|2 +|Φ2|2 + 2|Φ1| |Φ2| cosφ Występuje interferencja co tłumaczy wynik doświadczeń pokazujących falowe własności cząstek materialnych. P = (Φ1+Φ2)·(Φ1+Φ2)*=Φ1·Φ2*+Φ2·Φ2*+Φ1·Φ2*+Φ2·Φ1*= |Φ1|2+|Φ2|2+|Φ1||Φ2|·(ei(φ1-φ2)+ei(φ2-φ1))= |Φ1|2+|Φ2|2+2|Φ1| |Φ2|cosφ

3. Jeśli jesteśmy w stanie określić, który z alternatywnych sposobów zachodzi (sprawdzamy przez który z otworów przechodzi elektron) to prawdopodobieństwo zdarzenia jest sumą prawdopodobieństw dla każdego z tych alternatywnych sposobów. Nie występuje interferencja i wówczas: P = | Φ1|2 + |Φ2|2 = P1 + P2 nawet wtedy jeśli w rzeczywistości nie sprawdzamy która z alternatyw była zrealizowana (wystarczy, że taka informacja jest w układzie fizycznym). Przypadek ten występuje w omawianym przez Feynmana (rozdz. 3.3 t. III) rozpraszaniu neutronów.

Rozważymy kwantowo-mechaniczne amplitudy prawdopodobieństwa dla dwóch identycznych cząstek rozpatrując zjawisko wzajemnego rozpraszania dwóch cząstek w układzie środka masy (Feynman tom III, rozdz. 3 i 4)

Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wyniesie zatem: Niech amplituda prawdopodobieństwa zdarzenia polegającego na zarejestrowaniu cząstki a w detektorze 1 i cząstki b w detektorze 2 wynosi: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wyniesie zatem: Prawdopodobieństwo innego zdarzenia, o amplitudzie: , cząstka a w 2, a cząstka b w 1 (wymiana) wyniesie w takim razie:

czyli będzie sumą prawdopodobieństw (różne cząstki). Jeśli detektory nie są w stanie rozróżnić cząstki a od b (choć w rzeczywistości są to różne cząstki), to prawdopodobieństwo zarejestrowania obu cząstek w wyniku rozproszenia wyniesie: czyli będzie sumą prawdopodobieństw (różne cząstki). Dla szczególnego przypadku, gdy:

A jak będzie dla cząstek identycznych (nierozróżnialnych)? Ponieważ zdarzenie może zajść na dwa sposoby, więc: Wiemy, że: a także, że: czyli:

Dla podwójnej wymiany: a zatem musi być: exp(iα) = ±1 A więc: i: ze znakiem plus lub minus składowej z wymianą. A prawdopodobieństwo:

Bozony: fotony, cząstki α, inne o spinie całkowitym Dla: mamy: bozony fermiony albo: Czyli zliczeń będzie albo dwa razy więcej niż dla cząstek rozróżnialnych, albo 0; interferencja konstruktywna (bozony) albo destruktywna (fermiony) Bozony: fotony, cząstki α, inne o spinie całkowitym Fermiony: elektrony, neutrony, protony, inne cząstki o spinie połówkowym

Funkcja falowa elektronu w atomie wodoru: Atom helu, jądro z dwoma protonami (Z = 2) i dwa elektrony. Jak będzie wyglądała funkcja falowa? Funkcja falowa elektronu w atomie wodoru: Co to jest funkcja falowa jednego elektronu ? Amplituda prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w punkcie , przy czym rzut orbitalnego i własnego momentu pędu elektronu na oś z są określone.

Zatem wydaje się, że moglibyśmy napisać: Funkcja falowa dwóch elektronów to amplituda znalezienia elektronu a w punkcie r1 i elektronu b w punkcie r2: Zatem wydaje się, że moglibyśmy napisać: czyli, że amplituda dla dwóch elektronów byłaby iloczynem amplitud dla pojedynczych elektronów. CO Z WYMIANĄ???

Uwzględnimy wymianę, jeśli napiszemy: co oznacza, że: to stany obu elektronów n, k – zbiory liczb kwantowych opisujących te stany to jednoelektronowe funkcje falowe – amplitudy Funkcje te otrzymamy z rozwiązania równania Schrődingera

Równanie Schrődingera dla atomu He: gdzie: Z = 2 (atom helu)

Jeśli pominiemy oddziaływanie elektronów: to równanie dla atomu He przyjmie postać: gdzie:

Równanie takie można łatwo rozseparować biorąc: bez członu z wymianą, który uwzględnimy później. Po podstawieniu otrzymamy:

Mamy zatem dwa równania: których rozwiązania, ze względu na: będą rozwiązaniami dla atomu wodoropodobnego.

stan podstawowy (1s)2: – 108.8 eV Energia E wyniesie: czyli: stan podstawowy (1s)2: – 108.8 eV najniższy stan wzbudzony (1s2s, 1s2p): – 68 eV występuje degeneracja 4x (bez oddz. spin-orbita) Jak wypada porównanie z eksperymentem?

Struktura elektronowa atomu He, przybliżenie zerowe i eksperyment

Poprawić funkcję falową (wymiana) Jak poprawić wynik? Poprawić funkcję falową (wymiana) Uwzględnić oddziaływanie elektronów V12 Musimy zbudować antysymetryczne funkcje dwuelektronowe: gdzie pierwsze dwa wskaźniki to liczby kwantowe dla 1 elektronu, a kolejne dwa, dla drugiego.

Mamy do dyspozycji następujące funkcje: Jeśli bierzemy funkcję z lewej kolumny to musimy wziąć funkcję z prawej z przeciwnym znakiem (wymiana) Dla n = k może być tylko opcja 3 lub/i 4 gdyż dla opcji 1 i 2 otrzymujemy Ψ(1,2) ≡ 0 ZAKAZ PAULIEGO !!!

Opcja 3 daje: a opcja 4: Obie opcje są całkowicie równoważne, a ich kombinacja da albo Ψ(1,2) ≡ 0, albo:

Podsumowując, dla n = k dwuelektronowa funkcja falowa przyjmie postać: gdzie orbitalna część będzie symetryczna ze względu na wymianę elektronów, a część spinowa będzie antysymetryczna. Odpowiada to:

Dla: n ≠ k z czterech opcji wybierzemy odpowiednie kombinacje tak, by otrzymać cztery fizycznie różne stany bazy. W przeciwieństwie do opcji 3 i 4, opcje 1 i 2 są fizycznie różne (gdyby było pole magnetyczne będą się różnić energią, między sobą, a także z opcjami 3 i 4). Otrzymamy z nich:

tworzymy kombinacje symetryczne i antysymetryczne otrzymując: S = 1, MS = +1 i: S = 1, MS = -1 Z opcji 3 i 4: tworzymy kombinacje symetryczne i antysymetryczne otrzymując:

dla kombinacji ze znakiem plus: S = 1, MS = 0 i dla kombinacji ze znakiem minus: S = 0, MS = 0 podobnie jak dla przypadku n = k

Podsumowując, dla: n ≠ k S = 0, mS = 0 antysymetryczna część orbitalna, symetryczna część spinowa dwuelektronowej funkcji falowej

Składanie dwóch spinów, model wektorowy S = 1, m = 1 S = 0, m = 0 S = 1, m = 0 S = 1, m = -1 Copyright © 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Introduction to Atomic Physics by Harald A. Enge. © Copyright for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983

Singlet dla (1s)2 stan podstawowy Singlet i tryplet dla (1s, 2s) i dla (1s, 2p) Jakie będą energie? (jak uwzględnić V12) Pierwszy rząd rachunku zaburzeń, funkcje przybliżenia zerowego (ψ) i zaburzenie V12 (nieuwzględniona część hamiltonianu)

Dla stanu podstawowego (1s)2 Dla atomu wodoru w stanie podstawowym: Przyjmując, że: otrzymamy: ΔE1 ≈ 27 eV Dla atomu wodoru w stanie podstawowym: E = –13.6 eV; zatem EP = –27.2 eV Rzeczywista wartość ΔE1 ≈ 29.8 eV, energia jonizacji He wyniesie zatem ok. 24.6 eV

Dla stanów wzbudzonych (1s, 2s) i (1s, 2p) mamy dwa rodzaje funkcji przestrzennych; symetryczną (singlet) i antysymetryczną (tryplet)

Schemat energetyczny najniższych poziomów He

Jedyny dozwolony term 1S0 symetryczna przestrzenna funkcja falowa; 1S0 Oznaczenia stanów He (1s)2 S = 0 (musi być); Pauli L = 0 Jedyny dozwolony term 1S0 1s2s S = 0 L = 0 symetryczna przestrzenna funkcja falowa; 1S0

1s2s Ale ponieważ różne n może być S = 1: symetryczna funkcja spinowa (S = 1) i antysymetryczna funkcja przestrzenna L = 0 Zatem, choć L = 0, J = 1 i dozwolony term będzie 3S1 tryplet a nie singlet nie ma rozszczepienia spin – orbita ale w polu magnetycznym (pokażemy to później) będą trzy, a nie dwie składowe

1s2p L = 1 Nie ma ograniczeń na S; dozwolony singlet i tryplet zatem mamy 1P i 3P Dozwolone wartości J wyznaczamy z: Ostatecznie mamy: 1P1 i 3P0,1,2 jedyny term ze strukturą subtelną to 3PJ

Przejścia jednoelektronowe zgodne z regułami wyboru Schemat energetyczny poziomów He, energia He1+ w stanie podstawowym (1s) poziomem odniesienia Przejścia jednoelektronowe zgodne z regułami wyboru Para- i ortohel Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

Kolejność poziomów; reguła Hunda Kolejność poziomów zależy od znaku i wielkości wyrazu związanego z wymianą. Niżej leżą termy o wyższej multipletowości; większa wartość S bardziej symetryczna funkcja spinowa, bardziej antysymetryczna przestrzenna funkcja falowa, większa wartość całki wymiennej. Wśród termów o tej samej multipletowości niżej leżą termy o większej wartości L; bardziej antysymetryczna przestrzenna funkcja falowa.