ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS WYKŁAD 8 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ I

Niezależne od czasu równanie Schrődingera dla atomu wodoru: Jeśli funkcja falowa zależy tylko od r, a nie zależy od współrzędnych kątowych mamy: przypadek, który rozpatrywaliśmy w wykładzie 6

Podstawiając funkcję postaci: W przypadku najbardziej ogólnym, gdy funkcja ψ zależy od wszystkich współrzędnych sferycznych, równanie Schrődingera dla atomu wodoru (Z = 1) i jonów wodoropodobnych (Z > 1) przyjmie bardziej skomplikowaną postać: Podstawiając funkcję postaci:

otrzymamy: i w konsekwencji:

C jest wartością własną operatora: a z kolei funkcje Y, tworzące funkcje falowe atomu wodoru, są funkcjami własnymi operatora X. Żeby ustalić tożsamość operatora X, przeanalizujemy drugie równanie:

które przepiszemy w następującej postaci: jawnie pokazującej pochodzenie członów hamiltonianu: energia kinetyczna, potencjalna i ???. Dla klasycznej cząstki w polu siły centralnej, zachowana jest całkowita energia i moment pędu:

Rozkładając prędkość cząstki na składowe radialną i styczną otrzymamy: co ostatecznie można przedstawić w postaci:

Porównując otrzymane wyrażenie z hamiltonianem: widzimy, że operator X jest operatorem kwadratu momentu pędu: jest wartością własną tego operatora, C = ℓ(ℓ+1), a funkcja Y to jego funkcja własna; a także element macierzowy obrotów Ry(θ) i Rz() (wykład 7):

Rozwiązanie równania: ma rozwiązanie okresowe: jest nam już znane (funkcje kuliste). Wykorzystujemy możliwość dalszej separacji: i otrzymujemy: Drugie równanie: ma rozwiązanie okresowe: a więc: m = 0, ±1, ±2, ±3…. odrzucamy m połówkowe; dla elektronu w określonym punkcie rzut momentu pędu na oś z’ przechodzącą przez ten punkt musi być równy 0. bo:

Interpretacja liczby kwantowej m Udowodnimy, że: W tym celu liczymy: wykorzystując: Jeśli tak to: co oznacza, że jest rzutem momentu pędu na oś z

Równanie na część biegunową będzie miało postać: Wprowadzamy nową zmienną: Ponieważ:

otrzymamy tzw równanie różniczkowe Legendre’a: Ostatecznie: Jeśli przyjmiemy: oraz m = 0 otrzymamy tzw równanie różniczkowe Legendre’a: którego rozwiązania, to tzw. wielomiany Legendre’a:

Aby znaleźć współczynniki ak wstawiamy: do równania różniczkowego Legendre’a: i otrzymujemy:

Pomijamy dwa pierwsze wyrazy w pierwszej sumie i przenumerowujemy ją, zastępując k przez k+2: Wszystkie współczynniki przy kolejnych potęgach muszą być równe 0, zatem:

Nieskończona suma dla ξ równego 1 dałaby nieskończoną wartość Nieskończona suma dla ξ równego 1 dałaby nieskończoną wartość. Suma będzie skończona dla ℓ naturalnych. Dodatkowo musimy założyć zerowanie się jednego z dwóch wyrazów, a0 lub a1.

Można pokazać, że rozwiązaniami pełnego równania biegunowego: dla m różnego od 0, są tzw. stowarzyszone funkcje Legendre’a: z postaci tych funkcji wynika, że będą one równe 0 dla:

Pełne rozwiązanie to tzw Pełne rozwiązanie to tzw. funkcje kuliste zawierające część azymutalną i biegunową: Kilka pierwszych funkcji kulistych (harmonicznych): ℓ = 0 (s) ℓ = 1 (p) ℓ = 2 (d) ℓ = 3 (f)

Zatem ℓ(ℓ+1)ħ2 to kwadrat momentu pędu, a mħ jego rzut na oś z Mamy zatem: gdzie: Zatem ℓ(ℓ+1)ħ2 to kwadrat momentu pędu, a mħ jego rzut na oś z ℓ naturalne, m całkowite. Dla danego ℓ mamy 2 ℓ +1 wartości m (degeneracja)

Funkcje kuliste (harmoniki sferyczne): funkcje s (ℓ = 0) brak zależności od kątów θ i φ, stała wartość

Y(0,0), funkcja s, ℓ = 0, m = 0

Y(1,0) funkcja p, ℓ = 1, m = 0 ~ cosθ

Y(1,1), funkcje p, ℓ = 1, m = ±1, ~sinθ

Y(2,0), funkcja d, ℓ = 2, m = 0 ~(3cos2θ-1)

Y(2,1), funkcje d, ℓ = 2, m = ±1, ~cosθsinθ

Y(2,2), funkcje d, ℓ = 2, m = ±2, ~sin2θ

Y(3,0), funkcje f, ℓ = 3, m = 0, ~cos3θ-cosθ

Y(3,1), funkcje f, ℓ = 3, m = ±1, ~(5cos2θ-1)sinθ

Y(3,2), funkcje f, ℓ = 3, m = ±2

Y(3,3), funkcje f, ℓ = 3, m = ±3