Matematyczne techniki zarządzania NIEKTÓRE ZASTOSOWANIA EKONOMETRII A. PROGNOZOWANIE Przedmiot „Prognozowanie i symulacja” w następnym semestrze Cel: przewidzenie przyszłości na podstawie modelu ekonometrycznego Makroekonomia: prognozują rządy, organizacje międzynarodowe: zjawiska demograficzne, zasoby surowców, rozwój gospodarki, ekologia Mikroekonomia: prognozują duże firmy w ramach zarządzania strategi- cznego: ceny surowców i produktów, koszty, rozwój techniki, popyt, zachowanie się konkurencji Prognostyka (predykcja, forecasting) opiera się zwykle na założeniu, że obserwowane tendencje rozwojowe nie zmienią zasadniczo swego kie- runku i nasilenia (często zawodne!) MIEJSCE PROGNOZ W ZARZĄDZANIU Ze względu na horyzont czasowy prognozy dzieli się na: krótko-, średnio- i długoterminowe oraz perspektywiczne

Matematyczne techniki zarządzania Przykład 36. W ekonomice poszukiwań naftowych ogólnie znana jest funkcja poszukiwań* *Z. Łucki: Ocena inwestycji i podejmowanie decyzji w górnictwie naftowym i gazownictwie. Kraków Z t — efekt poszukiwań: ilość dotychczas odkrytych zasobów ropy i gazu (do roku t) M t — nakłady na poszukiwania: ilość dotychczas odwierconych metrów (do roku t) lat historii Prognoza CO DAJE TA FUNKCJA: ZASOBY CAŁKOWITE U ILOŚĆ ODKRYĆ Z PO WYKONANIU M WIERCEŃ E= Z/ M TEMPO SPADKU EFEK- TYWNOŚCI A PL

Matematyczne techniki zarządzania Techniki prognozowania ekstrapolacja: ekstrapolacja: wyznaczanie wartości funkcji na zewnątrz przedziału, w którym funkcja jest znana interpolacja: interpolacja: wyznaczanie w pewnym przedziale funkcji, która przyjmuje z góry dane wartości dla danych liczb z tego przedziału Prognozowanie przy użyciu modeli tendencji rozwojowej potrzebny model „historii” danego zjawiska wstawiamy t* do modelu i otrzymujemy y* oraz przedział ufności (na podstawie błędu prognozy s p ) prognozy ekstrapolacyjne rzadko zdają egzamin, gdyż historię można opisać wieloma funkcjami, z których każda daje inną prognozę HISTORIA PROGNOZA RODZINA FUNKCJI APROKSYMACYJNYCH Co robią specjaliści: szukają teorii ekonomicznych i związków przyczynowo-skutkowych badają stabilność procesów budują kilka scenariuszy: niski, średni i wysoki poddają się: otoczenie jest zmienne i znaczenie prognoz maleje

Matematyczne techniki zarządzania Prognozowanie przy użyciu modeli przyczynowo-skutkowych zakłada się określone wartości poszczególnych zmiennych objaśniają- cych x i * wartości te wstawia się do równania regresji i otrzymuje prognozę pun- ktową y i * oblicza się błąd prognozy s p (wzory w książkach) i wyznacza prognozę przedziałową — patrz krzywe Neymana na planszy 106 przy ekstrapolacji poza zakres zaobserwowanych wartości x i należy zachować ostrożność proces musi być stabilny, a próbka bardzo duża (n>100) przykład prognozowania na modelu zależności średniej ze studiów od wieku studenta, czasu poświęcanego na naukę itd. B. ZARZĄDZANIE PRZEDSIĘBIORSTWEM I. Zarządzanie finansami II. Zarządzanie produkcją III. Marketing IV. Zarządzanie kadrami  NIE ZOSTAŃ, PROSZĘ, WTÓRNYM ANALFABETĄ!

Matematyczne techniki zarządzania I. Zarządzanie finansami Stosuje się wiele modeli (np. w rachunkowości zarządczej), takich jak modele kosztów produkcji (patrz przykład 33, plansza 143), w których: zmienne objaśniane: koszty całkowite, koszty jednostkowe produkcji zmienne objaśniające: — czynniki obiektywne: wielkość produkcji, poziom techniki i technologii, organizacja pracy, warunki naturalne — czynniki subiektywne: płace, szkolenie, motywacja — czynniki losowe: awarie, klęski żywiołowe  II. Zarządzanie produkcją Funkcja produkcji — patrz przykład 34, plansze Modele indywidualnej wydajności pracy y — wydajność robotników x 1 — kwalifikacje x 2 — rodzaj wykonywanej pracy x 3 — wynagrodzenie x 4 — system płac x 5 — wiek robotnika x 6 — staż robotnika x 7 — stan zdrowia x 8 — płeć pracownika x 9 — wykorzystanie urlopu x 10 — stan cywilny x 11 — wielkość rodziny x 12 — ilość posiadanego pola x 13 — czas dojazdu do pracy x 14 — przeszkolenie x 15 — numer zmiany roboczej x 16 — wielkość partii produk- cyjnej x 17 — sytuacja firmy x 18 — atmosfera w firmie x 19 — status własnościowy firmy

Matematyczne techniki zarządzania Modele zespołowej wydajności pracy y — wydajność zespołów (brygad, sklepów, fabryk, firm w koncernie itd.) x 1 — długość serii produkcyjnej (efekt skali) x 2 — stopień automatyzacji pracy x 3 — system motywacyjny x 4 — warunki naturalne x 5 — organizacja pracy x 6 — dyscyplina pracy x 7 — warunki BHP x 8 — przeszkolenie x 9 — system zarządzania x 10 — konkurencja  Modele norm pracy lub zużycia materiałów y — czas realizacji partii produkcyjnej na danej maszynie (tokarka, prasa itd.) x — wielkość partii produkcyjnej (liczba wy- konanych elementów (np. odkuwek) norma Otrzymaliśmy zadanie sprawdzenia normy poprzez obserwację rzeczywistości Wniosek: norma jest niesprawiedliwa — zbyt napięta w obszarze A, a zbyt luźna w obszarze B rzeczywistość III. Marketing Metody statystyczne (analiza wariancji, analiza regresji) umożliwiają sprawdzanie wszelkich przypuszczeń (hipotez) odnośnie efektywności różnych sposobów promocji, sprzedaży, reklamy i innych decyzji (w tym „4P”) z zakresu marketingu — patrz wcześniejsze przykłady.

Matematyczne techniki zarządzania Szczególnie poleca się konieczność weryfikacji hipotez o istotności wpływu czynników niemierzalnych i mierzal- nych: wynik z próbki nie powinien być podstawą decyzji!  IV. Zarządzanie kadrami Wszelkie decyzje i oceny powinny być oparte na dowodach statystycznych — patrz przykłady 28 (plansza 89) i 30 (plansza 95) oraz modele wydajności pracy na planszach Zarządzanie małymi i średnimi przedsiębiorstwami (MSP) Sektor MSP (SME — Small and Medium Enterprises) to motor napędowy gospodarki wolnorynkowej Zakres zastosowania metod statystycznych do badania MSP można zo- baczyć w czasopismach Journal of Small Business Management (USA) oraz Journal of Small Business & Enterprise Development (UK); oba dos- tępne w Bibliotece Głównej AGH JĘZYKI OBCE — JĘZYKI OBCE — Państwa przyszłość, są możliwości: ERASMUS, stypendia indywidualne, wykłady po angielsku na Wydziale KONIEC PRZEDMIOTU „Matematyczne techniki zarządzania — statystyka i ekonometria”  

Matematyczne techniki zarządzania APEL EGZAMINACYJNY  Wszystkim dziękuję za cały semestr współpracy! Paniom specjalne podziękowanie! Egzamin jest ustny Egzamin jest ustny — potrzebne są inne kwalifikacje! Pytania dostępne na dyskietce: 30 ze statystyki i 30 z ekonometrii 24 i 25 stycznia 2000 r.; Terminy 24 i 25 stycznia 2000 r.; proszę przychodzić na wyznaczoną godzinę Podstawowe umiejętności: korzystanie z tablic statystycznych: Poissona, z, t,  2, F,, R interpretacja wydruków: analiza wariancji, analiza regresji i korelacji, krzywe Neymana PROSZĘ, BĄDŹCIE DOROŚLI: przede wszystkim to ma być normalna rozmowa dwojga ludzi sprawy specjalne proszę załatwiać wcześniej (a nie po fakcie) nie ma egzaminu komisyjnego dla osób, które nie miały ochoty lub czasu przystąpić do normalnego egzaminu Jak zdać egzamin, Universitas, Kraków ŻYCZĘ POŁA- MANIA NÓG! DO ZOBA- CZENIA W NASTĘPNYM SEMESTRZE! WESOŁYCH ŚWIĄT I SZCZĘŚLIWEGO NOWEGO ROKU 2000

Matematyczne techniki zarządzania MTZ — BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne (ang. Operation Research) — wyznaczanie optymalnych rozwiązań różnorodnych problemów, głównie technicznych, organizacyj- nych, ekonomicznych, wojskowych, za pomocą zespołu metod matematy- czno-statystycznych Badania operacyjne (BO) — nauka o podejmowaniu decyzji Cel badań operacyjnych — doskonalenie przyszłości przez poprawę podej- mowanych decyzji (ang. Decision Making) na podstawie znajomości rzeczy- wistości Dwa podejścia do przedmiotu (patrz Vademecum studentów WZ): teoretyczne: prof. Tadeusz Sawik, Badania operacyjne dla inżynierów zarządzania, Wyd. AGH, Kraków 1998 praktyczne: zespół Katedry Zarządzania Przedsiębiorstwem Charakterystyka podejścia praktycznego znajomość obszarów zastosowania BO w całym przedsiębiorstwie różnego typu i przeznaczenia umiejętność sformułowania problemu decyzyjnego i zebrania danych dla jego rozwiązania interpretacji otrzymanych wydruków umiejętność korzystania z profesjonalnych programów komputerowych i interpretacji otrzymanych wydruków

Matematyczne techniki zarządzania Rodzaje decyzji podejmowanych przez menedżerów niewykonalne (niedopuszczalne) wykonalne (dopuszczalne): — optymalne — nieoptymalne zbiór wszystkich decyzji decyzje niedopuszczalne decyzje dopusz- czalne decyzja optymalna  Kryterium optymalności: maksymalizacja efektu maksymalizacja efektu (finansowego, zwykle zysku), np. jak najdalej zajechać na kuli ziemskiej za posiadaną kwotę minimalizacja nakładów minimalizacja nakładów (zwykle kosztów), np. zajechać jak najtaniej do Indii Narzędzia matematyczne używane w BO modele optymalizacyjne (decyzyjne) Narzędziem tym są modele optymalizacyjne (decyzyjne) składające się z wielu równań i nierówności; typowy model ma dwie części: funkcję celu (funkcję kryterium), funkcję celu (funkcję kryterium), która opisuje przyjęte kryterium decyzyjne (kryterium optymalności) warunki ograniczające, warunki ograniczające, które opisują sytuację i możliwości przedsię- biorstwa na podstawie badań statystycznych Decyzja wskazana przez model to zbiór zmiennych decyzyjnych X=[x i ] rozwiązanie modelu; liczby do ustalenia

Matematyczne techniki zarządzania Historia rozwoju badań operacyjnych II Wojna Światowa; pierwsze koncepcje i zastosowania do przygotowy- wania operacji wojskowych i dowodzenia nimi przejście BO do „cywila” (do dużych koncernów), przy braku możliwości powszechnego zastosowania ze względów sprzętowych i programowych rozpowszechnienie BO w miarę komputeryzacji przedsiębiorstw: — dostępność profesjonalnych programów optymalizacyjnych: Statgraphics, QSB+ (Quality System for Business) etc., które stworzyły BAZY PROGRAMÓW — dostępność profesjonalnych BAZ DANYCH — tworzenie systemów wspomagania decyzji SWD (DSS — Decision Support System) i komputerowych systemów zarządzania — rozwój metod analizy wrażliwości (czułości), tj. programowania parametrycznego — BO zeszły „pod strzechy” Rodzaje modeli decyzyjnych (w zależności od sytuacji decydenta) deterministyczne probabilistyczne statystycznestochastyczne strategiczne 

Matematyczne techniki zarządzania Dziesięć zastosowań BO w przedsiębiorstwie produkcyjnym PRODUKCJA TRANSPORT MAGAZYN SUROW- CÓW MAGAZYN WYRO- BÓW ZAOPATRZENIE — JITZBYT NAPRAWY BIEŻĄCEREMONTY PRACE ROZWOJOWEINWESTYCJE   ALOKACJA KAPITAŁU  ALOKACJA ŚRODKÓW PRODUKCJI  PROBLEM MIESZANKI (DIETY)  ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE  ZARZĄDZANIE ZAPASAMI      ZAGADNIENIE WYMIANY  PLANOWANIE PRZEDS. NIEPR.  TEORIA KOLEJEK (M. OBSŁUGI)  TEORIA DECYZJI, TEORIA GIER  SYMULACJA KOMPUTEROWA        

Matematyczne techniki zarządzania Omówienie kolejnych zagadnień: cel problemu (co jest zmienną decyzyjną) dane potrzebne do wyznaczenia optymalnej decyzji metody rozwiązywania problemu wyniki dostarczane przez komputer interpretacja wyników (bez analizy czułości) W BO obowiązuje podwójny język — matematyczny i menedżerski Ważniejszy jest menedżerski (ekonomiczny)  ALOKACJA KAPITAŁU  Cel problemu alokacji (rozdziału, rozmieszczenia) kapitału optymalny rozdział posiadanej kwoty K pomiędzy n obiektów maksymalizacja zysku kryterium optymalizacji: maksymalizacja zysku z kwoty K zmienną decyzyjną zmienną decyzyjną x i jest kwota przyznana i-temu obiektowi problem jest zdeterminowany, nie uwzględniamy ryzyka Dane potrzebne do rozwiązania problemu wielkość kwoty K (ograniczenie) liczba obiektów n starających się środki inwestycyjne funkcje rentowności poszczególnych obiektów  

Matematyczne techniki zarządzania Funkcja f(x i ) to zysk uzyskany w i-tym obiekcie z przyznanej mu kwoty x i ; funkcja ta może być dana w postaci równania lub tabeli Przykład 37. Przedsiębiorstwo ma do dyspozycji na inwestycje kwotę 3 mln zł, a rentowność 3 kandydujących obiektów: Zwróć uwagę, że obiekt 1 ma funkcję liniową, obiekt 2 — funkcję o coraz silniejszym wzroście, a obiekt 3 — funkcję o malejącym tempie wzrostu Metody rozwiązywania przykładowe rozwiązania dopuszczalne: — wszystkie pieniądze dla 2. obiektu: x 1 =0, x 2 =3, x 3 =0; wartość funkcji celu: 0+3,0+0 = 3,0 mln zł — każdy obiekt po 1 mln: x 1 =x 2 =x 3 =1; wartość funkcji celu = 1,0+0,5+2,0=3,5 mln zł programowanie dynamiczne, programowanie nieliniowe rozwiązanie optymalne: programowanie dynamiczne, programowanie nieliniowe (Ekonometria, pr. zb. pod red. M. Krzysztofiaka)

Matematyczne techniki zarządzania Wyniki macierz X = [x i ]; jaką kwotę przydzielić i-temu obiektowi F(X)=Z(X)=max; maksymalna wartość funkcji celu = największy zysk możliwy do uzyskania w danych warunkach Interpretacja: optymalny plan inwestycyjny  ALOKACJA ŚRODKÓW PRODUKCJI  Środki produkcji: surowce i materiały, maszyny i urządzenia, oraz siła robocza Cel problemu alokacji (rozdziału, rozmieszczenia) środków produkcji optymalny rozdział surowców, zdolności produkcyjnej maszyn oraz dysponowanego czasu pracy ludzi pomiędzy poszczególne wyroby (produkty), jakie może produkować firma maksymalizacja zysku kryterium optymalizacji: maksymalizacja zysku zmienną decyzyjną zmienną decyzyjną x j jest wielkość produkcji j-tego wyrobu ograniczeniami są ilości posiadanych środków produkcji oraz technologia produkcji stosowana w firmie 

AB CX Matematyczne techniki zarządzania Dane potrzebne do rozwiązania problemu technologia produkcji [a ij ] = A; ilość i-tego środka produkcji potrzebna do wyprodukowania jednostki j-tego wyrobu ilość posiadanych środków produkcji [b i ] = B zysk jednostkowy [c j ] = C; zysk ze sprzedaży jednostki j-tego wyrobu c j = cena — koszt jednostkowy produkcji Metody rozwiązywania Programowanie liniowe: metoda graficzna (geometryczna): przy dwu wyrobach SIMPLEX metoda SIMPLEX dla dowolnej liczby zmiennych Wyniki X = [x j ]; wielkość produkcji poszczególnych wyrobów F(X)=Z(X)=max; maksymalna wartość funkcji celu = największy zysk możliwy do uzyskania w danych warunkach programowania parametrycznego analiza wrażliwości (wyniki programowania parametrycznego) Interpretacja: optymalny plan produkcji ile i czego ile i z czego ile i kiedy ile i jak

Matematyczne techniki zarządzania PROBLEM STOLARZA Przykład 38. Stolarz produkuje dwa wyroby — stoły i szafy — z dwu materiałów — desek i płyt. Ustal optymalny plan pro- dukcji dający największy możliwy zysk. Tabelka decyzyjna (technologiczna) A = [a ij ] B = [b i ] C = [c j ] Strategie krańcowe: 1. Produkować same stoły zaleta: niskie zużycie materiałów wada: niska rentowność 2. Produkować same szafy zaleta: wysoka rentowność wada: duże zużycie materiałów OPTYMALNE ROZWIĄZANIE ZNAJDUJE SIĘ GDZIEŚ POŚRODKU X = [x j ]  ŻÓŁTA KARTKA

Matematyczne techniki zarządzania same same szafy stoły rozwiązanie optymalne Model optymalizacyjny funkcja celu funkcja celu opisująca zysk firmy warunki ograniczające warunki ograniczające opisujące możli- wości firmy bilans desek bilans płyt warunki nieujemności warunki nieujemności (rozwiązania uje- mne, możliwe matematycznie, nie mają dla stolarza sensu) pr. liniowe najważniejsze! szczegóły na ćwiczeniach i po skończeniu „bryka” im Model może mieć 500 równań i nierówności  PROBLEM MIESZANKI (DIETY)      Cel problemu diety minimalizacja kosztów minimalizacja kosztów produkcji mieszanki zapewnienie mieszance odpowiednich właściwości (ograniczenia) receptura mieszanki: receptura mieszanki: wartości x i PROBLEM DIETY

Matematyczne techniki zarządzania Dane potrzebne do rozwiązania problemu NALEŻY ODRÓŻNIĆ składniki komponenty Składniki Składniki mieszanki — produkty widoczne, dostępne w handlu, używane bezpośrednio do sporządzania mie- szanki Komponenty Komponenty — substancje niewidoczne, niedostępne w handlu, decydujące o właściwościach mieszanki A A — ilość i-tego komponentu zawarta w jednostce j-tego składnika B B — najmniejsza dopuszczalna ilość i-tego komponentu w mieszance C C — cena j-tego składnika X X — ilość j-tego składnika, jaką należy wziąć do sporządzenia mieszanki Metody rozwiązywania programowanie liniowe Matematycznie problem mieszanki jest bardzo podobny do problemu alo- kacji środków produkcji: również programowanie liniowe

Matematyczne techniki zarządzania W zapisie ogólnym: ALOKACJA ŚRODKÓW PRODUKCJIMIESZANKA Wyniki X = [x j ]; ilość poszczególnych składników, jaka powinna być użyta do sporządzenia mieszanki F(X)=Z(X)=min; minimalna wartość funkcji celu = najmniejszy koszt sporządzenia mieszanki możliwy do uzyskania przy danych założeniach programowania parametrycznego analiza wrażliwości (wyniki programowania parametrycznego) Interpretacja optymalna receptura mieszanki (x i ) ilość otrzymanej mieszanki koszt najtańszej mieszanki Z(X) Przykład 39. Dane dotyczące karmy dla zwierząt przedstawiają się jak w podanej tabelce decyzyjnej. Zbuduj model optymalizacyjny, rozważ stra- tegie krańcowe i zinterpretuj rozwiązanie modelu. WYKŁADOWCA NIE PONOSI ŻADNEJ ODPOWIEDZIALNOŚCI ZA SKUTKI UŻYCIA TEGO MODELU DO KARMIENIA MĘŻA, NARZECZONEGO ITP.

Matematyczne techniki zarządzania Strategie krańcowe: 1. Karmić tylko składnikiem I: potrzeba 6 jednostek składnika I, aby trzoda była zdrowa* koszt karmienia wyniesie Karmić tylko składnikiem II: potrzeba 9 jednostek składnika II, aby trzoda była zdrowa* koszt karmienia wyniesie 27 OPTYMALNE ROZWIĄZANIE ZNAJDUJE SIĘ GDZIEŚ POŚRODKU *daje to nadmiar któregoś komponentu Model optymalizacyjny funkcja celu funkcja celu opisująca koszt mieszanki warunki ograniczające warunki ograniczające opisujące właściwości mieszanki białko węglowodany warunki nieujemności Rozwiązanie modelu 0 2,4 6,0 27,0 12,0 10,2 Białko: (2,4)(2)+(1,8)(4) = 12,0 Weglowodany: (2,4)(3)+(1,8)(1) = 9,0 TABELKA TECHNOLOGICZNA

Matematyczne techniki zarządzania Rzeczywiste modele mieszanki: większość produktów to mieszanki: paliwa, tworzywa sztuczne, materiały budowlane, farby, włókna itd. komponowanie benzyn (kilkadziesiąt składników) historia z Instytutu Ciężkiej Syntezy Organicznej  ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE    Omówimy trzy problemy: KZG (klasyczne zagadnienie transportowe) WZG (wieloetapowe zagadnie- nie transportowe) problem komiwojażera (akwi- zytora) Nowe pojęcie SIEĆ

Matematyczne techniki zarządzania KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE Cel problemu KZG przewóz towarów masowych (węgla, cukru itd.) od dostawców do odbiorców minimalizacja minimalizacja łącznego kosztu przewozu całego towaru zmienną decyzyjną zmienną decyzyjną x ij jest ilość towaru, jaką należy przewieźć od i-tego dostawcy do j- tego odbiorcy ograniczeniami ograniczeniami są wielkość podaży i popytu  JAK RYSOWAĆ SIEĆ długości i kąty łuków nie mają żadnego znaczenia Dane potrzebne do rozwiązania problemu podaż A = [a i ] popyt B = [b j ] odległości C = [c ij ] wyrażone w km, godz., zł/t, zł/szt. X = [x ij ] rozwiązanie optymalne TABELKA TRANSPORTOWA

Matematyczne techniki zarządzania Metody rozwiązywania programowanie liniowe simpleks transportowy metody ręczne Model optymalizacyjny funkcja celu funkcja celu opisująca całkowite koszty (drogę, czas) transportu warunki ograniczające wywóz towaru przywóz towaru warunki nieujemności Wyniki X = [x jj ]; ilość towaru, jaka powinna być prze- wieziona poszczególnymi trasami F(X)=Z(X)=min; minimalna wartość funkcji celu = najmniejszy możliwy koszt przewiezienia całego towaru programowania parametrycznego analiza wrażliwości (wyniki programowania parametrycznego) 

Matematyczne techniki zarządzania Interpretacja optymalny plan przewozów towaru (x ij ) minimalny koszt przewozu towaru Z(X) WIELOETAPOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE CZĘSTO DO PROBLEMU WPROWADZA SIĘ TAKŻE KOSZTY PRODUKCJI MAMY WTEDY PROBLEM TRANSPORTOWO- PRODUKCYJNY KZT CEL, DANE, METODY ROZWIĄZYWANIA, WYNIKI I INTERPRETACJA JAK DLA KZT PROBLEM KOMIWOJAŻERA Cel problemu komiwojażera komiwojażer wyjeżdża z bazy (B) swej firmy, ma odwiedzić określoną liczbę (m) klientów i wrócić do bazy tak, aby cała jego podróż była jak najkrótsza (najtańsza) c ij i, j = 0,1...

Matematyczne techniki zarządzania Liczba możliwych rozwiązań (kombinacji): w rozważanym przypadku: (5)(4)(3)(2)(1) = 5! = 120 w ogólności: m! najkrótszą drogę w sieci należy znaleźć najkrótszą drogę w sieci łączącą wszystkie węzły zmienna decyzyjna: x ij = 1 (iść drogą i-j) x ij = 0 (nie iść drogą i-j) Dane liczba (m) klientów do odwiedzenia odległości (c ij ) pomiędzy bazą i klientami oraz pomiędzy klientami Metody rozwiązywania dawniej — przeszukiwanie wszystkich lub części dopuszczalnych rozwiązań obecnie — profesjonalne programy komputerowe Wyniki wartości poszczególnych zmiennych decyzyjnych x ij minimalna wartość funkcji celu Interpretacja najkrótsza (najtańsza) trasa przejazdu komiwojażera długość (koszt) optymalnej trasy przejazdu POMYŚL — W ILU FIRMACH MAMY CODZIENNIE DO CZYNIENIA Z PRZEWOZAMI TYPU PROBLEM KOMIWOJAŻERA CZY NIE OPŁACIŁOBY SIĘ WZIĄĆ KIEROWCÓW W RYZY? 

Matematyczne techniki zarządzania  ZARZĄDZANIE ZAPASAMI    Problem zarządzania (sterowania) zapasami dotyczy zapasów: surowców i materiałów wyrobów gotowych GROMADZENIE ZAPASÓW JEST W OGÓLNOŚCI NIEWSKAZANE, BO: magazynowanie kosztuje zapasy to zamrożony kapitałJIT Just-in- Time ale... przeciętny poziom zapasów K mag K prod K = K prod + K mag = koszt działalności firmy Cel problemu ustalenie optymalnej strategii sterowania zapasami minima- lizacja kosztów działalności przed- siębiorstwa kryterium optymalizacji: minima- lizacja kosztów działalności przed- siębiorstwa poziom zapasów nie może być zmienną decyzyjną, bo ta liczba zmienia się i w sposób ciągły i skokowy równocześnie! Z opt

Matematyczne techniki zarządzania Zarządzanie zapasami surowców przeciętny poziom zapasów Z opt K mag K prod K opis funkcji K mag opis funkcji K prod (chomikowa- nie, przestoje, niektóre surowce są sezonowe, wahania cen, duże partie są tańsze) gospodarka zapasami = temat zarządzania produkcją MRP (material requirements planning) jako system rozpatrzymy prostą sytuację    zużycie surowca w trakcie produkcji   moment zamówienia 1. partii surowca   moment dostawy 1. partii surowca   dostawa 1. partii surowca   moment zamówienia 2. partii surowca   szybsze zużycie surowca   przestój z powodu braku surowca   dostawa 2. partii surowca bezpieczny zapas surowca  bezpieczny zapas surowca

Matematyczne techniki zarządzania Najstarszy i najbardziej znany model zapasów EOQ N o = optymalna liczba zamówień na rok dająca najmniej- sze całkowite koszty zapasów A = wartość rocznego zużycia surowca C = ułamek określający udział kosztów magazynowania P = koszt realizacji jednego zamówienia Dalsze wzory N d = optymalna liczba dni na jedno zamówienie N zł = optymalna wartość jednego zamówienia N j = optymalna wielkość jednego zamówienia R = cena jednej jednostki surowca Decyzje przy zarządzaniu zapasami surowców dotyczą: wielkości bezpiecznego poziomu zapasów optymalnego momentu złożenia zamówienia optymalnej wielkości zamówienia Dane koszty realizacji zamówienia koszty magazynowania: odsetki, straty, utrzymanie magazynu, eksploatacja magazynu, ubezpieczenie, koszty ogólne zużycie jednostkowe surowca i inne 

Matematyczne techniki zarządzania Zarządzanie zapasami wyrobów gotowych Dwie strategie krańcowe przeciętny poziom zapasów K mag K prod K Z opt opis funkcji K mag opis funkcji K prod (efekt skali produkcji)   produkcja na zamówienie: małe partie, wyższe koszty produkcji, niższe magazynowania  produkcja na magazyn: duże partie, niższe koszty produkcji, wyższe magazynowania  Decyzje przy zarządzaniu zapasami wyrobów gotowych dotyczą: optymalnej wielkości partii produkcyjnej optymalnego planu produkcji według asortymentów Dane zdolność produkcyjna zakładu koszty jednostkowe produkcji koszty jednostkowe magazynowania pojemność magazynu popyt na wyroby Wszystkie dane w postaci fun- kcji (zależnych od wielkości produkcji i czasu)