Dystrybucje (delta Diraca) Sygnały niespełniające warunku Dirichleta Dystrybucja Delta (impuls) Diraca Właściwość próbkująca delty Diraca Inne właściwości Delty Diraca Dystrybucja grzebieniowa Transformaty Fouriera funkcji specjalnych Próbkowanie sygnałów Podsumowanie „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Sygnały niespełniające warunku Dirichleta Sygnały x(t) są bardzo często wykorzystywane w dziedzinie czasu, więc wskazanym byłoby jednak podać sposób ich transformacji fourierowskiej. Rozszerzenie zbioru sygnałów, dla których istnieje trans- formata Fouriera można otrzymać korzystając z koncepcji dystrybucji. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Dystrybucje Dystrybucja D(·) przypisuje dowolnej funkcji (t) liczbę VD{(t)}: Przykłady dystrybucji: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Zapis całkowy dystrybucji Dystrybucja D(·) przypisuje dowolnej funkcji (t) liczbę VD{(t)}: Dystrybucję zapisujemy w postaci całkowej: w celu zachowania właściwości liniowości: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Delta Diraca (impuls Diraca) Delta Diraca (t) przypisuje dowolnej funkcji (t) liczbę (0): Definicja delty Diraca jest też utożsamiana z właściwością próbkującą delty Diraca. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Paul Adrien Maurice DIRAC ( 1902 - † 1984) Dirac Paul Adrien Maurice (1902-1984), wybitny angielski fizyk-teoretyk, współtwórca mechaniki kwantowej, przewidział istnienie pozytonu i wniósł istotny wkład w rozwój elektrodynamiki kwantowej. Był profesorem uniwersytetów w Cambridge i Oksford i członkiem Royal Society. W 1933 otrzymał (wraz z E. Schrödingerem) Nagrodę Nobla za rozwinięcie mechaniki kwantowej. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Delta Diraca (impuls Diraca) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Właściwość próbkująca delty Diraca „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Właściwość próbkująca delty Diraca „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Właściwość próbkująca delty Diraca „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Inne właściwości delty Diraca Splot sygnału z deltą Diraca „Pole” delty Diraca „Symetria” delty Diraca „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Dystrybucja grzebieniowa Wykładniczy szereg Fouriera dystrybucji grzebieniowej „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Próbkowanie sygnałów Zapis sygnału spróbkowanego za pomocą dystrybucji grzebieniowej „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Transformaty Fouriera funkcji specjalnych Delta Diraca Sygnał stały Skok jednostkowy „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Transformaty Fouriera funkcji specjalnych Sygnał harmoniczny „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Transformaty Fouriera funkcji specjalnych Funkcja grzebieniowa Diraca „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Próbkowanie sygnałów „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Nadpróbkowanie nadpróbkowanie „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Próbkowanie krytyczne Próbkowanie krytyczne – critical sampling N – częstotliwość graniczna Nyquista „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Podpróbkowanie aliasing podpróbkowanie - undersampling Próbkowanie sygnału dolnopasmowego z częstotliwością większą od częstotliwości granicznej Nyquista umożliwia odtworzenie sygnału ciągłego z jego próbek. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Harry NYQUIST (1889 - †1976) Harry Nyquist was an important contributor to information theory. He was born in Nilsby, Sweden. He emigrated to the USA in 1907 and entered the University of North Dakota in 1912. He received a Ph.D. in physics at Yale University in 1917. He worked at AT&T from 1917 to 1934, then moved to Bell Telephone Laboratories. As an engineer at Bell Laboratories, he did important work on thermal noise (Johnson-Nyquist noise) and the stability of feedback amplifiers. His early theoretical work on determining the bandwidth requirements for transmitting information, as published in "Certain factors affecting telegraph speed„ (Bell System Technical Journal, 3, 324-346, 1924), laid the foundations for later advances by Shannon, which led to the development of information theory. In 1927 Nyquist determined that an analog signal should be sampled at regular intervals over time and at twice the frequency of the signal's bandwidth in order to be converted into an adequate representation of the signal in digital form. Nyquist published his results in the paper Certain topics in Telegraph Transmission Theory (1928). This rule is now known as the Nyquist-Shannon sampling theorem. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Idealny filtr dolnoprzepustowy Idealny filtr dolnoprzepustowy Odtwarzanie sygnału z próbek Idealny filtr dolnoprzepustowy Idealny filtr dolnoprzepustowy „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Idealny filtr dolnoprzepustowy Odtwarzanie sygnału z próbek Idealny filtr dolnoprzepustowy „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Ortogonalny układ funkcji Sampling Układ funkcji próbkujących jest ortogonalny w przedziale (-, +). W dowodzie korzystamy z twierdzenia Rayleigha: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Ortogonalny układ funkcji Sampling Szereg Kotielnikowa-Shanona: jest szeregiem Fouriera względem układu funkcji ortogonalnych Sampling; współczynniki szeregu Fouriera są równe wartościom próbek sygnału. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Władymyr A. KOTELNIKOW (1908 - Prof. Vladimir A. Kotelnikov has been making fundamental contributions to his field for over 70 years, despite working for many years in relative isolation from the global engineering community. V. Kotelnikov led the formulation and proof of the sampling theorem, spearheaded the development of the theory of optimum noise immunity, and then applied his findings to both radar and communi- cations. As a leader of several institutions, including the Moscow Power Engineering Institute, the Research Institute of the Ministry of Communications, and the Institute of Radioengineering and Electronics of the Russian Academy of Sciences, he created innovative communications equipment, jet technology, and devices for the control of rocket trajectories. He also improved radiotelegraphic lines, perfected code systems, and played a leading role in radar astronomy, designing planet radar equipment that led to close observations of planets. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Claude E. SHANNON (1916 - †2001) Claude Elwood Shannon, prof. at the MIT, has, in a long and celebrated career, developed the mathematical theories and techniques that make possible the analysis of switching circuits, computers and communications. His most significant piece of work is "A Mathematical Theory of Communication," published in two parts in 1947-48. With this paper, Shannon laid down the theoretical foundation for communications engineering opening a new mathematical field for engineering applications. Shannon's work compares only to that of Norbert Wiener in the theory of time series and to that of Von Neumann and Morgenstern in the theory of games. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Podsumowanie Szereg sygnałów, stosowanych w praktyce laboratoryjnej, nie posiada transformat Fouriera (nie spełniają warunku Dirichleta). Konstrukcja transformat Fouriera dla tej klasy sygnałów korzysta z definicji delty Diraca (dystrybucji Diraca). Delta Diraca przyporządkowuje sygnałowi – w zapisie całkowym – wartość jego próbki. Funkcja grzebieniowa Diraca – ciąg okresowo powtarzanych impulsów Diraca – umożliwia zapis operacji próbkowania sygnałów oraz wyznaczenie transformaty Fouriera sygnału spróbkowanego. Częstotliwość Nyquista jest równa podwojonej częstotliwości granicznej sygnału; w celu uniknięcia efektu aliasingu sygnał powinien być próbkowany z częstotliwością przewyższającą częstotliwość Nyquista. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Podsumowanie Próbkowanie sygnału dolnopasmowego z częstotliwością Nyquista nie powoduje utraty informacji o międzypróbkowych wartościach sygnału; w celu ich odtworzenia należy zastosować filtrację dolnopasmową. Sygnał ciągły powstający z filtracji dolnopasmowej swoich próbek może być zapisany w postaci szeregu Fouriera (względem ortogonalnego układu funkcji sampling); wartości próbek są współczynnikami tego szeregu Fouriera. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir