Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwa szkoły: Zespół Szkół Budowlanych im. Kazimierza Wielkiego w Szczecinie ID grupy: 97/26_mf_g1 Opiekun: Krzysztof Markwart Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Liczby Fibonacciego Semestr/rok szkolny: 2-gi

Liczby Fibonacciego

Weźmy pod uwagę ciąg liczbowy: w którym i dla dowolnego wskaźnika każdy wyraz jest równy sumie dwóch wyrazów poprzednich, to znaczy: Ciąg ten nazywamy ciągiem Fibonacciego, a jego kolejne wyrazy liczbami Fibonacciego.

Wykażemy dwa związki między liczbami Fibonacciego za pomocą indukcji matematycznej. Udowodnimy względem m wzór 1. Dla m=1 wzór przybiera postać: i jest oczywiście prawdziwy. Dla m=2 wzór jest również prawdziwy, gdyż .

2. Udowodnimy teraz, że jeżeli wzór jest prawdziwy dla k i k+1 to jest prawdziwy dla k+2. Zakładamy więc, że: Oraz Dodając stronami ostatnie dwie równości otrzymujemy Czego należało dowieść. Przyjmując w udowodnionym wzorze otrzymujemy z otrzymanej równości widzimy, że liczba jest podzielna przez liczbę

1. Dla n=1 otrzymujemy czyli Prawdziwa jest równość: 1. Dla n=1 otrzymujemy czyli 2. Zakładamy, że wzór został udowodniony dla pewnej liczby naturalnej n. Dodajmy do obu stron równości iloczyn co należało udowodnić.

Własność 1 Prawdziwa jest następująca równość : Zauważmy, że: ………………… Udowodnimy teraz cztery własności liczb Fibonacciego w oparciu o prostą metodę dodawania stronami całego zespołu oczywistych równości. Własność 1 Prawdziwa jest następująca równość : Zauważmy, że: ………………… Dodając te równości stronami otrzymujemy Co należało wykazać.

Własność 2 Pokażemy, że suma liczb Fibonacciego o wskaźnikach nieparzystych jest równa: Dla dowodu zauważmy, że: ………………… Dodając je stronami otrzymujemy równość z własności 2.

Własność 3 Suma liczb Fibonacciego o wskaźnikach parzystych jest równa: Z własności 1 wiemy, że: z własności 2: Po odjęciu stronami otrzymujemy Co było do wykazania.

Własność 4 Suma kwadratów początkowych n liczb Fibonacciego jest równa: Zauważmy, że: Korzystając z powyższego i dodając stronami równości: ………………… Otrzymujemy tezę.

Związek z trójkątem Pascala Sumując po niebieskich przekątnych otrzymujemy kolejne liczby Fibonacciego.

Wzór Bineta Jeśli i oraz to: Dowód indukcyjny: Zatem wzór Bineta jest prawdziwy dla n=1.

Zatem dla n=2 wzór jest również prawdziwy. Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla początkowych k wyrazów. W szczególności jest on zatem prawdziwy dla k-tego i k-1 wyrazu ciągu. W dalszych rozważaniach niech: i

Przy naszych oznaczeniach mamy: Zauważmy, że: Zatem wzór Bineta jest prawdziwy dla k+1 go wyrazu. Zatem jest on prawdziwy dla każdej liczby naturalnej.

Ile par królików rodzi się w ciągu jednego roku z jednej pary?

Natura królików jest taka, że jedna para co miesiąc wydaje na świat drugą parę . Te z kolei rodzą od drugiego miesiąca po swoim urodzeniu.

Zauważmy, że liczba par w danym miesiącu jest równa sumie par z dwóch poprzednich miesięcy. Tak więc w dwunastym miesiącu będziemy mieli 144 pary królików.

Liczby Fibonacciego wśród pszczół Trutnie mają tylko matkę(królową) – powstają bez udziału ojca. Z kolei królowa ma dwoje rodziców – matkę(inną królową) i ojca(trutnia)

Ilustracja przedstawiająca schemat opisujący liczbę przodków pojedynczego trutnia w roju pszczół

Ile krów urodzi się w ciągu dwunastu lat?

Jeżeli krowa rodzi swoje pierwsze cielę-jałówkę w wieku dwóch lat (w trzecim roku od urodzenia), a potem nową jałówkę każdego roku, to ile krów będzie po 12 latach - przy założeniu, że żadna nie padnie? To zadanie podał znany twórca łamigłówek H. Dudeney. Przyjął on, że każda jałówka po 2 latach także zacznie rodzić cielęta - jałówki Postępując dalej według schematu, zgodnie z definicją ciągu Fibonacciego można stwierdzić, że po dwunastu latach będziemy mieli 144 krowy

Układ liści Na rysunku poniżej jest pokazane drzewo, które rośnie według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. Ten model wzrostu wydaje się być nawet bardziej realistyczny, niż rozmnażanie się stada królików- biolodzy potrafią wskazać drzewa, które tak właśnie się rozrastają.

Złoty podział Podział odcinka na 2 części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej.

Liczba φ zwana złotą liczbą jest niewymierna, Liczba występuje w sztuce i ma bardzo wiele wspólnego z liczbami Fibonacciego. Mianowicie kolejne ilorazy Liczb Fibonacciego są coraz doskonalszymi przybliżeniami liczby φ. … …

Konstrukcja złotego podziału odcinka Rysujemy odcinek AB Rysujemy prostą prostopadłą do tego odcinka w jednym z końców Na prostej wyznaczamy odcinek BC, który jest połową długości odcinka AB Łączymy punkt A i C Rysujemy łuk o środku b punkcie C i promieniu BC Na odcinku AC zaznaczamy punkt D Rysujemy łuk o środku w punkcie a promieniu AD 8. Wyznaczamy na odcinku AB punkt E, który dzieli odcinek AB według złotego podziału.

Złoty prostokąt -to prostokąt w którym długości boków pozostają w złotym stosunku. Rysujemy kwadrat Kwadrat dzielimy na dwa jednakowe prostokąty W jednym prostokącie prowadzimy przekątną Kreślimy łuk o promieniu równym długości przekątnej prostokąta Prowadzimy prostopadłą do punktu przecięcia łuku z linią podstawy Złoty prostokąt

Algebraiczny dowód poprawności konstrukcji oraz

Zastosowanie w geometrii Można pokazać, że bok dziesięciokąta wpisanego w okrąg o promieniu R jest równy: Innymi słowy bok dziesięciokąta foremnego jest równy większej części promienia okręgu otrzymanej za pomocą złotego podziału. W praktyce można brać stosunki kolejnych liczb Fibonacciego przyjmując w przybliżeniu, że lub

Pięciokąt foremny a złota liczba 1. Punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział. 2. Przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem.

Złota spirala Kształt spirali równokątnej jest ściśle związany ze złotym podziałem (dlatego czasem nazywa się ją złotą spiralą) i liczbami Fibonacciego - co wyraźnie pokazuje rysunek poniżej - boki kolejnych kwadratów, w które wpisano ćwiartki łuków okręgów, są kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego (pamiętajmy, że stosunki kolejnych coraz dalszych liczb Fibonacciego coraz lepiej przybliżają liczbę złotą).  

Nazwa równokątna wzięła się stąd, że każda półprosta wychodząca ze środka spirali przecina każdy jej zwój pod tym samym kątem. Spirala równokątna jest figurą samopodobną, tzn. że dowolny jej fragment odpowiednio powiększony (lub pomniejszony) pokrywa się z pewnym innym jej fragmentem. To właśnie samopodobieństwo tłumaczy, dlaczego taka a nie inna spirala pojawia się na muszlach. Wraz ze wzrostem ciała mięczaka powiększa się również muszla, która go chroni. Organizm staje się coraz większy, ale wciąż zachowuje swój pierwotny kształt. Muszla zachowuje się podobnie.

Przykłady występowania:

Złota liczba została wykorzystana przy budowie piramid w Gizie Złota liczba została wykorzystana przy budowie piramid w Gizie. Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy (połowa wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i różni się od liczby φ tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku. W konstrukcji Partenonu – antycznej Greckiej świątyni bogini Ateny - również został wykorzystany złoty podział.

Jeżeli przyjrzymy się układowi listków na wspólnej łodydze , to okaże się, że miedzy każdymi dwiema parami listków trzecia leży w miejscu złotego cięcia. Nasiona słoneczników tworzą spirale układające się w dwóch przeciwnych kierunkach. W niektórych gatunkach tych roślin jest 21 spiral rozwijających się w jedną stronę i 34 w drugą stronę. Istnieją również gatunki, dla których liczba spiral wynosi odpowiednio 34 i 55. Wspomniane liczby to kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Rysunek Leonarda da Vinci przedstawia złote proporcje ludzkiego ciała. Leonardo da Vinci zauważył, że ciało człowieka zbudowanego proporcjonalnie jest wpisane w kwadrat i w koło. Taki kwadrat i koło wyznaczają prostokąt ABCD, który dla człowieka o prawidłowych proporcjach jest złoty, czyli wysokość człowieka do długości dolnej części ciała (od pępka w dół) jest złotą liczbą (stosunek długości dolnej części ciała do górnej jest również złotą liczbą).

Przykład kości dłoni pozostających względem siebie w złotej proporcji. A = 1,000000 cm B = 1,618033 cm C = 2,618033 cm D = 4,236067 cm Liczby te wyznaczają długości kolejnych kości dłoni - oczywiście przy założeniu, że długość najkrótszej kości wynosi 1cm. Jednak niezależnie od długości kości, proporcje między nimi zawsze będą wyznaczone przez złotą liczbę.

Serdecznie dziękujemy za uwagę Grupa matematyczno – fizyczna z Zespołu Szkól Budowlanych im. Kazimierza Wielkiego w Szczecinie.

Bibliografia N.N. Worobjow Liczby Fibonacciego Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann The Fabulous Fibonacci Numbers Richard A. Dunlap Golden Ratio and Fibonacci Numbers http://www.mcs.surrey.ac.uk