Dane INFORMACYJNE: Nazwa szkoły: Zespół Szkół Morskich ID grupy: 97/80_MF_G1 Opiekun: Krystyna Sułek Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Wzór Eulera dla wielościanów Semestr/rok szkolny: 2011/2012

WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW

W — liczba wierzchołków S — liczba ścian K — liczba krawędzi Twierdzenie Eulera o wielościanach, twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych — twierdzenie o wielościanach wypukłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu. gdzie: W — liczba wierzchołków S — liczba ścian K — liczba krawędzi

Dowód Wyobraźmy sobie wykonany z jakiegoś materiału (np. z tektury) wielościan. Jeżeli go rozetniemy wzdłuż krawędzi, tak jednak, aby jedna ściana przylegała do sąsiedniej, to możemy całą bryłę rozwinąć na płaszczyźnie. Otrzymamy w ten sposób szereg wielokątów o bokach do siebie parami przystających. Rozpatrzmy jeden z tych wielokątów, tj. jedną ze ścian: wtedy S = 1, liczba boków tego wielokąta, czyli liczba krawędzi będzie równa liczbie wierzchołków, tj. W = K, a zatem otrzymujemy zależność

Rozważmy teraz dwa przyległe do siebie wielokąty łącznie Rozważmy teraz dwa przyległe do siebie wielokąty łącznie. Będzie wówczas S = 2, ponieważ te wielokąty będą miały jeden bok wspólny i dwa wierzchołki wspólne, więc liczba krawędzi będzie o 1 większa niż wierzchołków: K = W + 1, a więc będzie znowu S + W = K + 1. Dołączając trzeci wielokąt, spostrzeżemy w taki sam sposób, że zależność poprzednio otrzymana pozostanie bez zmiany (będzie S = 3, W = K − 2). Postępując w ten sposób dalej, stwierdzić możemy, że wciąż zależność nasza będzie taka sama, aż dopiero kiedy dołączymy ostatni wielokąt i wszystkie wielokąty zamkniemy, tworząc dany wielościan, spostrzeżemy, że przez ostatnie dołączenie liczba krawędzi i wierzchołków pozostanie bez zmiany (były one już rozważone poprzednio), przybędzie tylko jedna ściana, a zatem będzie ostatecznie

W 1752 roku znakomity matematyk szwajcarski Euler, podówczas profesor Akademii Nauk w Berlinie, odkrył zadziwiający związek między liczbami s, k, w ścian, krawędzi i wierzchołków dowolnego wielościanu wypukłego W. Związek ten jest obecnie nazywany wzorem Eulera dla wielościanów i zwykle zapisuje się go w postaci s - k + w = 2

Wielościan foremny (bryła platońska) - wielościan spełniający następujące trzy warunki: ściany są przystającymi wielokątami foremnymi, w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian, jest bryłą wypukłą Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające)

CZWOROŚCIAN ś-4, k-6, w-4 SZEŚCIAN ś-6, k-12, w-8

OŚMIOŚCIAN ś-8, k-12, w-6 DWUNASTOŚCIAN ś-12, k-30, w-20

DWUDZIESTOŚCIAN ś-20, k-30, w-12

Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon pisząc Timajosa nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa (ucznia Platona). Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych. W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień - czworościan, ziemia - sześcian, powietrze - ośmiościan, woda - dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian - Saturn. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

tetraedr heksaedr oktaedr dodekaedr ikosaedr BRYŁY PLATOŃSKIE W-K+S = 2                                                                                        tetraedr heksaedr oktaedr dodekaedr ikosaedr

Źródła: Wikipedia. pl Moskat. pl Wiw Źródła: Wikipedia.pl Moskat.pl Wiw.pl Edytował : Tomasz Pełnikowski Jędrzej Szerszeń Marcelina Wiercińska