97_12_MF_G1 maria. felchner ,,Kongruencje i ich zastosowania”

Nazwa szkoły: Informacyjne Liceum Ogólnokształcące ,,Computer College” ID Grupy: 97_12_MF_G1 Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: ,,Kongruencje i ich zastosowania” 2011/2012 Semestr IV

Kongruencja i ich zastosowania

Spis treści: Algorytm Euklidesa Kongruencja, własności kongruencji Zastosowanie kongruencji: Znajdowania dni tygodnia określonych dat z przeszłości Rozwiązywania równań diofantycznych Wyznaczania liczb podzielonych przez liczby całkowite Wyznaczania cech podzielności prze liczby całkowite Badanie własności wielomianów o współczynnikach całkowitych

Algorytm Euklidesa

Praktycznym i szybkim sposobem obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb całkowitych jest algorytm Euklidesa. Jest to jeden z najstarszych algorytmów - został opisany przez Euklidesa ok. roku 300 p.n.e. Opiera się on na spostrzeżeniu, że jeśli od większej liczby odejmiesz mniejszą, to mniejsza liczba i otrzymana różnica będą miały taki sam największy wspólny dzielnik jak pierwotne liczby. Jeśli w wyniku kolejnego odejmowania otrzymasz parę równych liczb, oznacza to, że znalazłeś NWD. Algorytm Euklidesa jest algorytmem rekurencyjnym, chociaż w bardzo prosty sposób można go przekształcić do formy iteracyjnej. Mając do policzenia NWD(a, b) sprawdzamy, czy b = 0. Jeśli tak jest to NWD(a, b) = a. W przeciwnym wypadku wywołujemy rekurencyjnie algorytm dla liczb b i reszty z dzielenia a przez b.

Dane są dwie liczby naturalne a i b. 1 Dane są dwie liczby naturalne a i b. 1. Jeśli b ≠ 0 oblicz c jako resztę z dzielenia a przez b i zastąp a przez b, zaś b przez c. 2. Jeżeli b = 0, NWD wynosi a, w przeciwnym wypadku wróć do punktu pierwszego i kontynuuj. Nasuwa się pytanie, czy takie postępowanie zawsze się skończy. Istotnie dla liczb naturalnych zawsze tak jest. Korzyść z algorytmu Euklidesa jest taka, że ostatnia niezerowa reszta jest, co łatwo sprawdzić jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b.

Przykład

243 : 111 = 2, reszty 21 111 : 21 = 5, reszty 6 21 : 6 = 3, reszty 3 6 : 3 = 2, reszty 0 Ostatnia niezerowa reszta wynosi 3. NWD(243, 111) = 3 NWD(432, 230) = ? (algorytm Euklidesa) 432 : 230 = 1, reszty 202 230 : 202 = 1, reszty 28 202 : 28 = 7, reszty 6 28 : 6 = 4, reszty 4 6 : 4 = 1, reszty 2 4 : 2 = 2, reszty 0 NWD(432, 230) = 2

Kongruencja

Kongruencja to sposób zapisu tego, że pewne dwie liczby całkowite a i b dają tę samą resztę przy dzieleniu przez liczbę naturalną m. W postaci kongruencji zapisuje się to tak: a≡b (mod m). Bardziej ścisła definicja kongruencji: a≡b (mod m) (a przystaje do b modulo m), jeśli liczba a − b dzieli się przez m. (a i b są tu liczbami całkowitymi, natomiast m – liczbą naturalną) Kongruencje pozwalają krótko i elegancko zapisywać rozwiązania zadań o podzielności liczb.  

Notacja a≡b ma część własności analogicznych do własności zwykłej równości. a) jest to relacja równoważności, zatem spełnia warunki: a≡a (mod m). (zwrotność) Np. 5≡5 (mod2)   Jeśli a≡b (mod m), to b≡a (mod m). (symetria) Np. 9≡17 (mod4), to 17≡9 (mod4) Jeśli a≡b (mod m) i b≡c (mod m), to a≡c (mod m). (przechodniość) Np. 10≡4 (mod3) i 25≡4 (mod3), to 10≡25 (mod3

b) działania na kongruencjach: Jeśli a≡b (mod m) oraz c jest dowolną liczbą całkowitą, to:   a+c≡b+c (mod m), Np. 19≡7 (mod4) 31≡19(mod4) a−c≡b−c (mod m) Np. 9-4≡17-4 (mod4) 5≡13(mod4) , a*c≡b*c (mod m). Np.9≡5(mod4) 45≡25(mod4)

Ogólniej

Kongruencje o tym samym module można dodawać, odejmować , mnożyć i potęgować stronami, tzn.: Jeśli a≡b (mod m) i c≡d (mod m), to: a+c≡b+d (mod m), a−c≡b−d (mod m), a*c≡b*d (mod m), an≡bn (mod m)

Zastosowanie kongruencji do znajdywania dni tygodnia określanych dat z przeszłości.

Prosty algortym określający dni tygodnia został zaproponowany przez Krystiana Zeller’a. Algorytm Zeller’a został uproszczony przez matematyka, Mike'a Keitha do postaci: dzień tygodnia = ([23m/9] + d + 4 + y + [z/4] - [z/100] + [z/400] - c) mod 7 gdzie [ ] oznacza część całkowitą liczby mod - funkcja modulo (reszta z dzielenia) m - numer miesiąca (month) (od stycznia = 1 do grudnia = 12) d - numer dnia (day) miesiąca y - rok (year) z - rok z poprawką: z = y - 1 jeżeli m < 3; z = y, jeżeli m >= 3 c - korekta (correction): c = 0, jeżeli m < 3; c = 2, jeżeli m >= 3 dni tygodnia - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0 - niedziela, 1 - poniedziałek, 2 - wtorek, 3 - środa, 4 - czwartek, 5 - piątek, 6 - sobota

Przykłady

1.Znaleźć dzień w którym zostało ogłoszone zakończenie II wojny światowej Data ta to 08-05-1945 m=5 d=8 y=1945 z=1945 c=2 dzień tygodnia =([23x5/9+8+4+1945+[1945/4]+ -[1945/100]+[1945/400]-c)mod 7 dzień tygodnia=(12+8+4+1945+486-19+4-2)mod 7 dzień tygodnia=2438(mod 7) Reszta z dzielenia wynosi 2,a to wskazuje że tym dniem był wtorek.

Znaleźć dzień w którym nastąpił atak na wieżę World Trace Center Data ta 17-09-2001 m=9 d=17 y=2001 z=2001 c=2 dzień tygodnia =([23x9/9]+11+4+2001+[2001/4]-[2001/100]+[2001/100]+[2001/400]-2) dzień tygodnia (23+11+4+2001+500-20+5-2)mod 7 dzień tygodnia=2532(mod7) Reszta z dzielenia wynosi 2. A więc to był wtorek.

RÓWNANIA DIOFANTYCZNE

1.Równaniem diofantycznym nazywamy równanie, na ogół o kilku niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w liczbach całkowitych. Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia greckiego matematyka. Diofantosa (III w. n. e.).   2.Twierdzenie o NWD. Jeżeli a oraz b są liczbami całkowitymi, nie równocześnie równymi zero, to istnieją liczby całkowite x oraz y spełniające równanie diofantyczne. NWD(a,b)=ax+by

Przykłady

Jak znaleźć przynajmniej jedną parę takich liczb x, y. Przykład: a=222 Jak znaleźć przynajmniej jedną parę takich liczb x, y? Przykład: a=222 b=189 Stosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD( a, b) 222=1*189+33 189=5*33+24 33=1*24+9 24=2*9+6 9=1*6+3 3=1*3+0 3=9-6=9-(24-2*9)=9-24+2*9=-24+3*9=-24+3(33-24)=-24+3*33-3*24=3*33-4*24=3*33-4(189-5*33)=3*33-4*189+20*33=-4*189+23*33=-4*189+23(222-189)=-4*189+23*222-23*189=23*222-27*189 stąd x=23, y=-27

Równanie ax+by=c Twierdzenie: Równanie diofantyczne ax+by+c=0 posiada rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a,b) dzieli c. Jeżeli para liczb całkowitych xₒ, yₒ jest rozwiązaniem równania ax+by=c, to wszystkie rozwiązania dane są wzorami: x=xₒ+[b/NWD( a, b)] *t y=yₒ- [a/NWD( a, b)]*t gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą

Przykład

Rozwiązać równanie. 13x+29y=31 Szukamy NWD(13,29) 29=2. 13+3 13=4 Rozwiązać równanie 13x+29y=31 Szukamy NWD(13,29) 29=2*13+3 13=4*3+1 3=3*1+0 NWD(13,29)=1 1=13-4*3=13-4(29-2*13)=13-4*29+8*13=9*13-4*29 9*13-4*29=1/*31 279*13-124*29=31 xₒ=279, yₒ=-124 Korzystamy z wyżej podanego twierdzenia i otrzymamy; x=279+29t y=-124-13t, gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą

Równanie a₁x₁+…+anxn=b posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a1,…,an)|b

Rozwiązać równania diofantyczne 18x+20y+15z=1 Ponieważ NWD(18,20)=2, więc 18x+20y=2(9x+10y)=2u u=9x+10y Równanie 18x+20y+15z=1 zastępujemy układem równań 18x+20y=2u 2u+15z=1 Rozwiązujemy drugie równanie 2u+15z=1 stosujemy algorytm Euklidesa

Ponieważ NWD(2,15)=1 to spełniona jest równość 2(-7)+15. 1=1 uₒ=-7 Ponieważ NWD(2,15)=1 to spełniona jest równość 2(-7)+15*1=1 uₒ=-7 zₒ=1 u=-7+15t z=1-2t tϵC 9x+10y=u 18x+20y=2(-7+15t)/:2 9x+10y=1 NWD(9,10)=1 stąd spełniona jest równość: 9*(-1)+10*1=1 9(7-15)+10(-7+15t)=-7+15t xₒ=7-15t, yₒ=-7+15t x=7-15t+10w y=-7+15t-9w, gdzie wϵC Rozwiązaniem wyjściowego równania jest trójka x=7-15t+10w y=-7+15t-9u z=1-2t gdzie t oraz w są dowolnymi liczbami całkowitymi

Twierdzenie Pitagorasa

Wszyscy wiemy, że istnieje trójkąt prostokątny, którego boki mają długości 3, 4 oraz 5. Pytanie Jakie inne trójkąty prostokątne, których boki są liczbami naturalnymi, można jeszcze skonstruować? Prowadzi to do wyznaczenia rozwiązań równania diofantycznego x²+y²=z² zwanego równaniem Pitagorasa. Uwaga Trójka xₒ, yₒ, zₒ jest rozwiązaniem równania Pitagorasa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej d trójka dxₒ, dyₒ, dzₒ też jest rozwiązaniem tego równania, bo (dxₒ)²+(dyₒ)²=(dzₒ)²<=>xₒ²+yₒ²=zₒ² Definicja Rozwiązanie xₒ, yₒ, zₒ równania Pitagorasa nazywamy właściwym, jeśli NWD(xₒ, yₒ, zₒ) = 1.

1. Każde rozwiązanie równania Pitagorasa jest postaci dxₒ, dyₒ, dzₒ , gdzie xₒ, yₒ, zₒ jest właściwym rozwiązaniem tego równania. Zatem, aby znaleźć wszystkie rozwiązania równania Pitagorasa wystarczy znaleźć jego rozwiązania właściwe. 2. Jeżeli xₒ, yₒ, zₒ jest właściwym rozwiązaniem równania Pitagorasa, to dokładnie jedna z liczb xₒ lub yₒ jest parzysta. Czy wiesz jak to uzasadnić? Wsk. Rozważ równanie Pitagorasa modulo 4. Twierdzenie Każde właściwe rozwiązanie xₒ, yₒ, zₒ równania x²+y²=z² dla którego yₒ jest liczbą parzystą jest postaci xₒ=m²-n², yₒ=2mn, zₒ=m²+n² gdzie m, n są dowolnymi liczbami naturalnymi takimi, że m > n , NWD(m, n) = 1 oraz dokładnie jedna z nich jest parzysta

Twierdzenie Fermata

P. Fermat około roku 1637, studiując łaciński przekład dzieł Diofantosa na marginesie rozdziału o trójkach pitagorejskich napisał: ”Nie można podzielić sześcianu na dwa sześciany ani czwartej potęgi na dwie czwarte potęgi, ani ogólnie żadnej potęgi wyższej niż druga na dwie takie same potęgi; znalazłem naprawdę zadziwiający dowód, który nie zmieści się na tym zbyt wąskim marginesie” Można to napisać następująco: Wielkie Twierdzenie Fermata Dla n ­ 3 równanie xn+yn=zn nie posiada rozwiązań w liczbach naturalnych Historia zmagań ze znalezieniem dowodu WTF jest długa i obfitowała w wiele pomyłek znanych matematyków. W roku 1993 amerykański matematyk Andrew Wiles na wykładzie w Instytucie Newtona uniwersytetu w Cambridge ogłosił, że udowodnił WTF. Jednak dopiero po dwóch latach, w roku 1995, po usunięciu luk w dowodzie, ukazały się dwie prace naukowe Wilesa, zawierające pełny dowód. P.Ribenboim, Wielkie Twierdzenie Fermata dla laików, WNT, Warszawa 200

Inne przykłady równań diofantycznych

112x+129y=2 13x+29y=31 2x+8y+112z=9

Podzielność liczb całkowitych

Liczba m jest podzielna przez n, jeżeli iloraz m/n jest liczbą całkowitą. Liczbę n nazywamy w taki przypadku dzielnikiem liczby m.

Dzielnik Cecha podzielności Przykład 1 wszystkie liczby całkowite dzielą się przez 1 - 2 liczba całkowita dzieli się przez 2, jeżeli ostatnią cyfrą jest 0,2,4,6 lub 8 Liczba 1238 dzieli się przez 2, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 8 3 liczba całkowita dzieli się przez 3, jeżeli suma cyfr dzieli się przez 3 Liczba 199287 dzieli się przez 3, ponieważ 1+9+9+2+8+7=36, a liczba 36 dzieli się bez reszty przez 3 4 liczba całkowita dzieli się przez 4, jeżeli liczba złożona z ostatnich dwóch cyfr dzieli się przez 4 lub dwie ostatnie cyfry tej liczby są zerami Liczba 161916 dzieli się przez 4, ponieważ 16 dzieli się przez 4 i liczba 161900 dzieli się przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry są zerami 5 liczba całkowita dzieli się przez 5, jeżeli ostatnią cyfrą jest 0 lub 5 Liczba 25800 dzieli się przez 5, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 0 6 liczba całkowita dzieli się przez 6, jeżeli dzieli się przez 2 i 3 Liczba 6618 dzieli się przez 6, ponieważ 6618 dzieli się przez 2 i 3 7 wiele metod na tyle skomplikowanych, że w praktyce się ich nie stosuje 8 Liczba jest podzielna przez 8, jeśli liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez 8. (Można też wziąć liczbę utworzoną przez trzy ostatnie cyfry, podzielić ją przez 2 i sprawdzić podzielność przez 4) Liczba 368040 dzieli się przez 8, ponieważ liczba złożona z cyfr 0,4,0 - czyli 40 dzieli się przez 8 9 liczba całkowita dzieli się przez 9, jeżeli suma cyfr dzieli się przez 9 Liczba 3357 dzieli się przez 3, ponieważ 3+3+5+7=18 a liczba 18 dzieli się bez reszty przez 9 10 liczba całkowita dzieli się przez 10, jeżeli ostatnia z cyfr tej liczby jest zerem Liczba 7690 dzieli się przez 10, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 0

Twierdzenie podzielności liczb

Dowód wynika wprost z własności kongruencji Dowód wynika wprost z własności kongruencji. Każdą liczbę rzeczywistą możemy zapisać w dziesiętnym systemie pozycyjnym w postaci :

Cecha podzielności liczb przez 9

Przykład ilustrujący: 2322 2*10^0+2*10^1+3*10^2+2*10^3 1≡1(mod9) 10≡1(mod9) 100≡1(mod9) 1000≡1(mod9) 2≡2(mod9) 20≡2(mod9) 300≡3(mod9) 2000≡2(mod9) 2322≡9(mod9)

Reszta z dzielenia liczby 2322 przez 9 jest równa reszcie dzielenia sumy tej liczby przez 9

Cecha podzielności przez 11

Przykład ilustrujący: 61974 4*10^0+7*10&1+9*10^2+1+10^3+6*10^4 1≡+1(mod11) 10≡-1(mod11) 100≡+1(mod11) 1000≡-1(mod11) 10 000≡+1(mod11) 4≡4(mod11) 7≡-7(mod11) 900≡9(mod11) 60 000≡6(mod11) 61974≡11(mod11)

Badania własności wielomianów o współczynnikach całkowitych

f (x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a2x2 + a1x+ a0 Funkcją wielomianową (wielomianem) zmiennej x stopnia n nazywamy funkcję f: R ® R postaci f (x) = anxn + an-1  xn-1 + ... + a2x2 + a1x+ a0 gdzie nϵN,  a0,a1,...,anϵ N i a n ≠ 0.

Liczby a0,a1,. ,an nazywamy współczynnikami wielomianu Liczby a0,a1,........,an nazywamy współczynnikami wielomianu. Współczynnik a0  nazywamy wyrazem wolnym wielomianu. n- stopień wielomianu. wielomian zmiennej x często oznaczamy w następujący sposób: W(x), P(x), Q(x) itp.     Wielomianem zerowym nazywamy wielomian W(x), który dla każdego x Î R przyjmuje wartość zero, tzn. wielomian określony wzorem W(x) = 0.     Przyjmujemy, że wielomian zerowy nie ma określonego stopnia.     Dwa niezerowe wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.     Dzieląc wielomian W(x) przez wielomian niezerowy P(x) otrzymujemy iloraz Q(x) i resztę R(x), jeśli zachodzi równość W(x) = P(x)×Q(x) + R(x) gdzie Q(x) i R(x) są wielomianami i stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x) lub R(x) jest  wielomianem zerowym.

Jeśli reszta  R(x)  jest wielomianem zerowym, to mówimy, że wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x). Wówczas W(x) = P(x)×Q(x).     Jeśli wielomian R(x) jest resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) i P(x) jest wielomianem stopnia pierwszego, to   R(x) = a P(x) jest wielomianem stopnia drugiego, to      R(x) = ax + b P(x) jest wielomianem stopnia trzeciego, to     R(x) = ax2 + bx + c.    Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x- q  jest równa W(q).

Przykłady

Rozwiązanie

Przygotowali: Magdalena Ćwik Anita Dudek Jagoda Glegoła Adriana Jaworska Daniela Karasińska Paulina Kilianek Milena Korgiel Paweł Lesiak

Dziękujemy z uwagę 