Dane informacyjne Nazwa szkoły: Zespół Szkół Technicznych w Kole oraz Zespół Szkół Morskich im. Eugeniusza Kwiatkowskiego ID grupy: 97/78_MF_G1 oraz 97/80_MF_G1 Opiekun: Małgorzata Gralak oraz Krystyna Sułek Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Paradoksy nieskończoności Semestr/rok szkolny: semestr czwarty / 2011/2012

PARADOKSY NIESKOŃCZONOŚCI

Plan prezentacji Cele projektu Nieskończoność, wieczność i paradoks Rozumienie nieskończoności na przestrzeni wieków Paradoksy Zenona z Elei Równoliczność zbiorów Podsumowanie Źródła informacji

Cele projektu Lepsze zrozumienie pojęcia nieskończoności i innych pojęć z nim związanych Opisanie wybranych paradoksów z nieskończonością Wyjaśnienie przyczyn paradoksów

Nieskończoność, wieczność i paradoks

Potoczne rozumienie nieskończoności Od początku historii ludzie borykali się z problemem nieskończoności, która była jak mityczny Cerber strzegący bram piekieł. „Istnieje liczba największa, ale dosięgnąć jej nie zdoła człowiek. Tylko bogowie maja tę moc i oni jedni potrafią policzyć gwiazdy na niebie” – taki jest motyw przewodni starożytnych, a nawet i nowszych religii. Świadczy on o obsesji, jaką od niepamiętnych czasów ten problem stwarzał ludziom, a także zawiera wyznanie, że człowiek go nie rozwiąże, że nigdy nie policzy „aż do końca”.

Potoczne rozumienie nieskończoności – c.d. Obecnie także sięgamy do materialnych porównań, gdy chcemy wyobrazić sobie nieskończoność. Myślimy wtedy np. o ziarnkach piasku na pustyni, o kroplach wody w oceanie lub o gwiazdach na firmamencie, często nie zdając sobie sprawy, że te porównania są dziecinne, gdyż wszystko to są ilości skończone. W potocznym rozumieniu nieskończoność pojmuje się przez jej negację (to jest skończoność) albo jako coś czego nigdy nie można dosięgnąć.

Nieskończoność Nieskończoność – byt nieograniczony (w sensie wielkości bądź ilości), który przyjęło się oznaczać za pomocą znaku nieskończoności, symbolem podobnym do przewróconej ósemki (lemniskata).

Nieskończoność – c.d. Źródłosłów pojęcia „nieskończoność” odsyła nas do tego co nieskończone, czyli: bezgraniczne, nieograniczone; przekraczające to co skończone, ale również transcendujące to wszystko, co nam potocznie dostępne; Nieskończoność wykracza poza granice naszego codziennego doświadczenia. Zawodzą więc często nasze potoczne intuicje i pojawiają się paradoksy. Z drugiej zaś strony nieskończoność jest bliska człowiekowi, ponieważ wpisuje się w wyczuwalną przez niego potrzebę transcendencji. W rozwoju pojęcia nieskończoności główną rolę odegrały dwie dziedziny nauki: filozofia i matematyka.

Wieczność W popularnym mniemaniu, wieczność jest równoznaczna z nieskończonością, jednak przez wielu określana jest jako istnienie poza czasem. Wieczność występuje m.in. w eschatologii chrześcijańskiej, w której występuje wiara w pośmiertne życie wieczne. Zwolennicy istnienia wieczności, między innymi Arystoteles, twierdzą, że materia, siły i czas muszą istnieć wiecznie.

Paradoks (gr. parádoksos – nieoczekiwany, nieprawdopodobny) – twierdzenie logiczne prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków. Sprzeczność ta może być wynikiem błędów w sformułowaniu twierdzenia, przyjęcia błędnych założeń a może też być sprzecznością pozorną, sprzecznością z tzw. zdrowym rozsądkiem, np. paradoks hydrostatyczny, czy paradoks bliźniąt.

Rozumienie nieskończoności na przestrzeni wieków

Zenon z Elei i nieskończoność W starożytności Grecy stanęli wobec pojęcia nieskończoności z powodu kłopotliwych paradoksów, które są przypisywane filozofowi Zenonowi z Elei (490 – 430r. p.n.e.). Są to paradoksy, które łączy ukazanie trudności w rozumieniu czasu i przestrzeni jako wielkości ciągłych, które można w związku z tym dzielić w nieskończoność. Oprócz znaczenia czysto filozoficznego paradoksy te mają też znaczenie matematyczne i fizyczne. Paradoksy te znane są pod nazwami: dychotomii, Achillesa, strzały i stadionu.

Nieskończoność potencjalna W starożytności była znana tzw. metoda wyczerpywania czyli metoda polegająca na dzieleniu figur na dużą liczbę prostych figur lub brył i obliczaniu ich sumy. Ta metoda doprowadziła do wprowadzenia przez Eudoksosa z Knidos (uczeń Platona) pojęcia nieskończoności potencjalnej. Nieskończoność potencjalna umożliwiła rozwinięcie pojęcia granicy i w XIX wieku była podstawą do oparcia teorii rachunku różniczkowego i całkowego na solidnym fundamencie. Sto lat później Archimedes posługiwał się nieskończonością potencjalną do określenia pól i objętości z wykorzystaniem wielkości nieskończenie małych.

Pitagorejczycy i nieskończoność U Pitagorejczyków była to nieskończoność aproksymatywna, brała się z rozważań proporcji, harmonii, czyli u Pitagorejczyków była metoda wyczerpywania, która miała umożliwić kwadraturę koła, trysekcję kąta, czyli te proste czynności które w starożytności zajmowały matematyków. Ponieważ zauważono, że liczb które można przyporządkować odcinkom konstruowanych figur jest nieskończenie wiele (i to był problem).

Platon o nieskończoności Platon uważał, że jakiś pierwiastek nieskończoności trzeba przyjąć, aby można było to co skończone zanurzyć w tym nieograniczonym, ale co to za „jakiś pierwiastek”, jakiej natury to nie precyzował.

Arystoteles i nieskończoność. Arystoteles (384-322 p.n.e.) jako pierwszy próbował dać dobre określenie nieskończoności, oparte na głębokiej analizie tego pojęcia. U Arystotelesa wszystko się brało z głębokiej analizy rzeczywistości, którą traktował jako rzeczywistość dynamiczną. Arystoteles odróżnił: nieskończoność potencjalną w działaniu (w metodzie wyczerpywania: przeliczyć, podzielić) – nie da się coś wyczerpać, do końca zliczyć, dlatego jest niewykończona czynność, jest to pewien typ nieograniczoności; nieskończoność aktualną (rzeczywistą, właściwą) – czyli taką wielkość, która wyklucza wszelkie powiększanie, a jeśli nie wyklucza to znaczy, że jest potencjalna.

Galileusz i nieskończoność Galileusz (1564 – 1642) jako pierwszy zwrócił uwagę na nieskończoność aktualną, przeszedł od nieskończoności potencjalnej (tej ze starożytności) do nieskończoności aktualnej, znalazł bowiem wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między liczbami naturalnymi a ich kwadratami. W dziele „Discori” Galileusz zauważa, że liczb kwadratowych postaci 1, 4, 9, 16,... Jest tyle samo co liczb naturalnych 1, 2, 3, 4,..., co przeczyło intuicji, która mówiła, że część musi być mniejsza od całości.

Galileusz i nieskończoność- c.d. By pokazać odpowiedniość możemy zapisać: 1 2 3 4 1 4 9 16

Hotel Hilberta David Hilbert (matematyk, 1862-1943) jest autorem drugiego przykładu, który koresponduje ze spostrzeżeniem Galileusza, znanego pod nazwą Hotel Hilberta. Jest to hotel o nieskończonej ilości pokoi. W tym hotelu znajduje się komplet gości, wszystkie pokoje są zajęte i teraz pojawia się problem: jak przyjąć następnego gościa, który się nagle pojawi?

Hotel Hilberta – c.d. Rozwiązanie 1: gościa z pokoju nr 1 przenosimy do pokoju nr 2, gościa z pokoju nr 2 przenosimy do pokoju nr 3 i tak dalej kontynuujemy to przenoszenie. Ponieważ jest nieskończenie wiele pokoi, więc można przenieść wszystkich gości, a pokój nr 1 zwolni się dla gościa, który się właśnie pojawił. Tak więc mimo, że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta...

Hotel Hilberta – c.d. Rozwiązanie 2: gościa z pokoju nr 2 przenosimy do pokoju nr 4, gościa z pokoju nr 3 przenosimy do pokoju nr 9 i tak dalej kontynuujemy to przenoszenie. W ten sposób możemy zwolnić nieskończenie wiele pokoi , nie tylko jeden i przyjąć nieskończenie wielu nowych gości. Jest to połączenie nieskończoności potencjalnej i aktualnej.

Bernard Bolzano o nieskończoności Bernard Bolzano (1781-1848) – chciał rozwiązać paradoksy nieskończoności, ale ich nie rozwiązał, natomiast analizując te paradoksy wskazał na ich naturę. Udzielił odpowiedzi na pytanie, w czym tkwi paradoksalność używania nieskończoności: „zbiór nieskończony jest to wielość, która jest większa od dowolnej wielkości skończonej, a więc każda skończona mnogość stanowi jej część.”

George Cantor i nieskończoność Cantor (1845-1918) głosił tezę radykalną, że istnieje nieskończoność aktualna w postaci zbioru nieskończonego, choć nie odcinał się również od traktowania nieskończoności jako pewien proces, zwłaszcza wtedy gdy pojawiło się pojęcie granicy ,wtedy wyraźnie było widać że ciąg jest zbieżny, wtedy gdy zmierza do jakiejś granicy.

Paradoksy Zenona z Elei

Paradoksy ruchu (dychotomia) Sprinter ma do przebiegnięcia skończony dystans. Zanim jednak pokona całą odległość musi najpierw dobiec do 1/2 długości, ale zanim dobiegnie do 1/2 musi najpierw dobiec do 1/4, ale zanim dobiegnie do 1/4 musi najpierw dobiec do 1/8, i tak w nieskończoność. Wynika z tego, że biegacz ma do przebycia nieskończoną liczbę odcinków o skończonej długości. Ponieważ nie da się pokonać nieskończonej liczby odcinków w skończonym czasie, biegacz nigdy nie ukończy biegu.

Paradoksy ruchu (dychotomia) – c.d. Co więcej, biegacz nie może nawet zacząć biegu, bo ten sam paradoks stosuje się również do dystansu dowolnie zmniejszonego: tak samo, jak nie da się (według powyższego rozumowania) dobiec na dystans 100 m, nie da się również na dystans jednego metra ani na dystans jednego milimetra. Paradoksy ruchu miały na celu udowodnienie , że ruch w świecie, który postrzegamy, jest jedynie złudzeniem, które nie jest możliwe w rzeczywistości

Achilles i żółw Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu "ucieknie" pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność. Wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość.

Achilles i żółw – c.d.

Strzała Załóżmy, że wystrzelona z łuku strzała pokonała określony dowolny odcinek drogi. Można więc powiedzieć, że w momencie wystrzelenia znajdowała się ona na początku tej trasy, a po dotarciu do celu – na końcu. Pytanie: gdzie przebywała strzała w trakcie pokonywania tej drogi? Można odpowiedzieć, że w 1/4 czasu pokonywania tego odcinka musiała być niewątpliwie w 1/4 odcinka. Gdy zadamy pytanie, gdzie była po 1/2 czasu lotu, znowu można odpowiedzieć, że w 1/2 odcinka. Po 3/4 czasu – w 3/4 odcinka, i tak dalej w nieskończoność.

Strzała – c.d. Możemy sobie wyobrażać dowolną chwilę lotu, w którym strzała znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, w konkretnej odległości od łucznika. Czyli możemy powiedzieć, że skoro w każdej chwili znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, więc w każdej chwili była w spoczynku. Wniosek: Niemożliwe jest zatem aby w każdej chwili czasu strzała pozostawała w spoczynku i poruszała się jednocześnie

Strzała – c.d. Strzała – c.d.

Stadion Rozważmy wyścig rydwanów. Szybkość z jaką rydwany poruszają się jest jednocześnie taka i inna, mniejsza i większa, w zależności od tego, względem jakich innych przedmiotów (rydwanów) jest rozważana. Jeśli zaś ruch dokonuje się z szybkością, która jest jednocześnie "taka i nie taka" to jest sprzeczny i nie może istnieć.

Równoliczność zbiorów

Moc zbioru Własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów: zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.

Zbiór liczb parzystych i naturalnych Zbiór parzystych (i nieparzystych) liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych. Inaczej mówiąc: zbiór nieskończony może być równoliczny ze swoim właściwym podzbiorem! Funkcja wzajemnie jednoznaczna może być opisana na przykład jako ciąg par: {(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), ... } 2 4 6 8 …. 1 2 3 4

Zbiór liczb naturalnych i całkowitych Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych. Funkcja wzajemnie jednoznaczna między tymi zbiorami może być opisana na przykład w postaci ciągu par: {(1,0), (2,1), (3,-1), (4, 2), (5,-2), (6, 3), (7,-3)...} 1 2 3 4 5 6 7 0 1 -1 2 -2 3 -3

Krzywa Peano Giuseppe Peano w latach 1890-91 rozpatrywał krzywe, które całkowicie wypełniałyby płaszczyznę dwuwymiarową, czyli przechodziłyby przez wszystkie punkty na tej płaszczyźnie. Cała krzywa mieści się w kwadracie, względem pierwotnej prostej, obróconym o 45°. To właśnie ten kwadrat prosta będzie całkowicie wypełniać. Konstrukcja krzywej jest widoczna na rysunku.

Krzywa Peano – c.d. Kwadrat, w którym znajduje się krzywa zaznaczony jest na ciemny odcień szarego. Konstrukcja krzywej w pierwszym kroku zaznaczona jest grubszą czarną linią. W drugim kroku, pierwsza krzywa jest modyfikowana, każdy odcinek jest zamieniany na krzywą (taką jak w kroku pierwszym), w wyniku czego powstaje krzywa, składająca się jednocześnie z grubszych jak i cieńszych linii zaznaczonych na rysunku. Strzałki obrazują kolejność rysowania odcinków w pierwszym kroku. Obrazek w rogu obrazuje nam to w troszkę inny, łatwiejszy do zapamiętania sposób.

Krzywa Peano – c.d. W każdym kroku długość krzywej zwiększa się trzykrotnie, oraz długość pojedynczego odcinka maleje trzykrotnie, z czego wynika, że długość krzywej w k-tym kroku wynosi 3k, a długość pojedynczego odcinka 1/3k.         

Podsumowanie

Zakończenie Nieskończoność rozważana była już od czasów starożytności. Przez długi czas podchodzono do niej bardzo nieufnie - szybko zorientowano się, że pojęcie to prowadzi do wielu paradoksów (z których najbardziej znane to paradoksy Zenona z Elei). Dowodzono, iż w świecie rzeczywistym nie można dzielić odcinków w nieskończoność, a także, że wszystkie zjawiska zachodzące w nim są ciągłe, a nie punktowe, jak w ujęciu Zenona z Elei.

Zakończenie – c.d. Obecnie dwa paradoksy Zenona z Elei (Strzała i Achilles) wyjaśnia się zauważając, ze choć opisane sytuacje tworzą nieskończone ciągi zdarzeń, w których droga wyrażona jest przez nieskończony szereg geometryczny, to suma tych szeregów jest skończona, więc i czas osiągnięcia celu jest skończony. Zauważano także takie absurdy, jak fakt, że liczb naturalnych i kwadratów liczb naturalnych jest tyle samo, co przeczyło intuicji, która mówiła, że część musi być mniejsza od całości.

Zakończenie – c.d. Proklos Diadochus w V wieku naszej ery wyrażał to w taki sposób: wielkości są wprawdzie dzielone w nieskończoność, ale nie na nieskończenie wiele części. To ostatnie powodowałoby, że aktualnie byłoby nieskończenie wiele części, tamto pierwsze, że tylko potencjalnie; to ostatnie daje nieskończoności istnienie substancjalne, tamto przyznaje jej tylko stawanie się. Giovanni Bendetti (1530-1590) twierdził, iż "zatrzymywanie" obiektów w ich ruchu to dostrzeganie jedynie części zjawiska, bowiem między statycznymi obrazami znajdują się nieskończenie krótkie odcinki czasu, w których obiekt przebywa odpowiednie odcinki drogi

Zakończenie – c.d. Gottfried Wilhelm Leibniz w XVII wieku pisał: nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby aktualnie nieskończonej. Z przymrużeniem oka – nieskończoność to największa liczba, do której można doliczyć, chociaż nie można do niej doliczyć. Jedyną osobą, której się to udało, jest Chuck Norris.

Cytaty Będąc człowiekiem nie jestem bliższy nieskończoności niż gdybym był mrówką, ale też nie jestem dalszy niż gdybym był ciałem niebieskim. Giordano Bruno Nieskończoność! Żadne inne pytanie nie poruszyło tak głęboko duszy człowieka. David Hilbert Tylko dwie rzeczy są nieskończone: Wszechświat oraz ludzka głupota, choć nie jestem pewien co do tej pierwszej. Albert Einstein Z przymrużeniem oka – nieskończoność to największa liczba, do której można doliczyć, chociaż nie można do niej doliczyć. Jedyną osobą, której się to udało, jest Chuck Norris.

Cytaty – c.d. (...) czasem, gdy morze bardzo jest rozhukane, woła coś na nich wśród nocy i ciemności po nazwisku. Jeżeli nieskończoność morska może tak wołać, to być może, że gdy się człowiek zestarzeje, woła także na niego i inna nieskończoność, jeszcze ciemniejsza i bardziej tajemnicza, a im jest bardziej zmęczony życiem, tym milsze są mu te nawoływania. Ale, by ich słuchać, trzeba ciszy. Henryk Sienkiewicz „Latarnik” Następne sześćdziesiąt sekund może być jak nieskończoność. Bob Dylan Nie wnika się w nieskończoność uciekając ku innej nieskończoności. Umberto Eco

Źródła informacji http://pl.wikipedia.org/wiki/Niesko%C5%84czono%C5%9B%C4%87 http://chomikuj.pl/Lorrain/Stosunki+mi*c4*99dzynarodowe/Statystyka/Teoria+mnogo*c5*9bci+-+skrypt,361318877.doc http://filozofia.upjp2.edu.pl/_files/czasopismo_artykul/868fa0511261dc691bc382967df49e20.4Polak.pdf http://elamat.republika.pl/ciekawostki/googol.htm http://tages.fm.interia.pl/fraktale.html#peano nonsensopedia.wikia.com/wiki/Nieskończoność Youtube – Hilbert’s Hotel and Infinity http://pl.wikiquote.org/wiki/Niesko%C5%84czono%C5%9B%C4%87