Projekt „AS KOMPETENCJI’’ Jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013 Człowiek- najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja dystrybuowana bezpłatnie

DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Morskich Zespół Szkół Technicznych ID grupy: 97/80_MF_G1 97/78_MF_GI Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Arytmetyka i algebra przez geometrię Semestr/rok szkolny:2010/2011

Spis Treści 1. Strona główna. 2. Dane informacyjne. 3. Cel prezentacji. 4. Liczby trójkątne i kwadratowe. 5. Liczby trójkątne. 6. Liczby kwadratowe. 7. Dywan Sierpińskiego. 8. Twierdzenie o niewymierności pierwiastka z dwóch. 9. Złoty podział odcinka. 10. Twierdzenie Pitagorasa. 11. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. 12. Odległość na osi liczbowej. 13. Wartość bezwzględna. 14. Przykłady. 15. Interpretacja geometryczna układów równań liniowych. 16. Przykłady. 17. Źródło. 18. Wykonali.

Cel prezentacji Zainteresowanie historią matematyki. Doskonalenie umiejętności. Gromadzenia i opracowania informacji. Doskonalenie umiejętności współpracy przez Internet. Doskonalenie umiejętności pracy w grupie.

Liczby trójkątne i kwadratowe Liczby trójkątne i kwadratowe są szczególnymi przypadkami tzw. liczb wielokątnych. Zostały one odkryte przez pitagorejczyków. liczby kwadratowe liczby trójkątne

Liczby trójkątne Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

Zależność na n-tą liczbę trójkątną można więc wyrazić za pomocą wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba  trójkątna o n-tym numerze jest sumą n kolejnych liczb naturalnych. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim:

Liczby kwadratowe Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

Zależność tę wyraża wzór: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc oczywiście kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego. Stąd też wynika twierdzenie, że suma kolejnych liczb nieparzystych równa się  kwadratowi ich liczby.

Dywan Sierpińskiego Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów

Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest zerowe Niech Sn oznacza pole zbioru Dn. Mamy zatem: skąd:

Zatem dla n dostatecznie dużych Sn jest dowolnie małe, co oznacza, że dywan Sierpińskiego zawarty jest w figurach o dowolnie małych polach powierzchni, musi zatem mieć zerowe pole powierzchni.

Twierdzenie o niewymierności pierwiastka z 2 – geometryczny dowód twierdzenia znany był już w starożytności i był znany m. in. Pitagorejczykom, którzy jednakże nie rozprzestrzeniali wieści o tym, iż istnieją odcinki, których długości nie są do siebie proporcjonalne tak jak pewne liczby całkowite.

Dowód geometryczny Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Wtedy istnieją będące najmniejszymi liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi . Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że stosunek długości przeciwprostokątnej do przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym wynosi . Weźmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości n i przeciwprostokątnej AC długości m. Niech , punkty leżą w tej kolejności na jednej prostej, oraz punkty leżą w tej kolejności na jednej prostej. Niech F będzie punktem przecięcia odcinków DE i BC.

Otrzymaliśmy w ten sposób ΔEBF oraz ΔFDC, które są prostokątne i równoramienne, a ich przyprostokątne mają długość n' = m − n, zaś przeciwprostokątne m' = 2n − m. Ponieważ n < m < 2n, to m − n < n oraz 2n − m < m. Mamy zatem liczby całkowite spełniające , co przeczy początkowemu założeniu, że są najmniejszymi liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi tę równość. Oznacza to więc, iż nie jest liczbą wymierną.

Złoty podział (łac.. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. "fi").

Wartość złotej liczby φ Korzystając z definicji można obliczyć wartość złotej liczby.

Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego: Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste: jedno z nich jest dodatnie:

Twierdzenie Pitagorasa Suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Odległość na osi liczbowej między a i b jest taka sama jak między b i a |a - b| = |b – a|

Wartość bezwzględną liczby ‘x’ to jej odległość na osi liczbowej od liczby 0. Liczby -7 i 7 leżą w tej samej odległości od 0 na osi liczbowej i mają tę samą wartość bezwzględną , równą 7 |-7| = 7 i |7| = 7

Przykład a) Rozwiąż równanie: |x| = 3 Liczbami spełniającymi to równanie są : x = -3 lub x = 3

b) Rozwiąż nierówność: |x| < 5 Nierówność jest spełniona dla -5 < x < 5, zatem x Є (-5;5)

c) Rozwiąż nierówność |x|≥ 2 Nierówność jest spełniona dla x≤ -2 oraz dla x ≥2 czyli jest prawdziwa dla x Є(-∞;-2> U <2;∞).

Przykład Rozwiąż równanie |x – 3| = 5 Szukamy takich liczb x , których odległość od 3 wynosi 5

Przykład Rozwiąż nierówność |x - 2| < 5 Szukamy takich liczb x, których odległość od 2 jest mniejsza niż 5 Zatem -3 < x < 7 , czyli x Є (-3;7)

Interpretacja geometryczna układu równań liniowych

Przykład 1 Rozwiązaniem układu jest para liczb Pierwsze równanie po przekształceniu do postaci kierunkowej ma postać y = -x -3, a drugie y = 3/2x + 2. Rysujemy obie proste i z wykresu odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych P(-2, -1).

Układ równań liniowych jest układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy proste opisane równaniami tego układu się przecinają.

Rozwiąż graficznie układ równań Przykład 2 Rozwiąż graficznie układ równań Równania przekształcamy do postaci kierunkowej. Rysujemy obie proste. Proste te nie mają punktów wspólnych. Zatem układ równań nie ma rozwiązania.

Układ równań liniowych jest układem sprzecznym wtedy i tylko wtedy, gdy proste opisane równaniami tego układu to dwie różne proste równoległe.

Rozwiąż graficznie układ równań. Przykład 3 Rozwiąż graficznie układ równań. Obydwa równania opisują tę samą prostą o równaniu kierunkowym y=2x-3. Zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, są nimi pary liczb: (x,2x-3), gdzie x Є R

Układ równań liniowych jest układem nieoznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy proste opisane równaniami tego układu się pokrywają.

Źródło Wikipedia, wolna encyklopedia

Wykonali Wojciech Babiański Lech Chańko Dorota Ponczek – ‘Matematyka’ Jędrzej Szerszeń Tomasz Pełnikowski