Analiza czasowo-częstotliwościowa Piotr Król

Plan prezentacji Wstęp Zastosowanie Zasada działania analizatora czasowo- częstotliwościowego Analiza sygnałów z projektu WPST Bibliografia

Wstęp Metody czasowo-częstotliwościowe analizy sygnałów wykorzystywane są do wydobywania informacji zawartej w zmieniającym się w czasie (np. mowa) lub przestrzeni (np. obraz) widmie częstotliwościowym badanego sygnału. W ogólności analiza czasowo-częstotliwościowa dotyczy sygnałów niestacjonarnych. Istnieje bardzo wiele reprezentacji czasowo-częstotliwościowych jednak w ramach poniższego wykładu zostanie przedstawiony jedynie spektrogram. Do najpopularniejszych metod analizy czasowo(przestrzenno)-częstotliwościowej po za spektrogramem zaliczamy: Transformacje Gabora – wykorzystywaną m.in. przy dekompozycji tęczówki oka w rejestratorach biometrycznych STFT (ang. Short Time Fourier Transform) – krótkoczasowa tranformacja Fouriera, wykorzystywana do generowania spektrogramów Transformacja falkowa Transformacja Wigner’a-Ville’a Reprezentacje czasowo-częstotliwościową klasy Cohena

Zastosowanie Analiza sygnałów biologicznych (mowa, EKG, EEG)‏ Echografia impulsowa (geosejsmika, radiolokacja, diagnostyka ultrasonograficzna, defektoskopia materiałowa)‏ Telekomunikacja Analizy czasowo-częstotliwościową stosuje się często w biometryce ze względu na niestacjonarny charakter sygnałów biometrycznych.

Zasada działania analizatora czasowo-częstotliwościowego Zestawienie widm lokalnych tworzy spektrogram prezentowany w układzie (czas – oś odciętych, częstotliwość – oś rzędnych) Wzdłuż sygnału x(t) przesuwane jest okno czasowe, a następnie wyodrębniony przez okno fragment sygnału poddawany jest analizie widmowej (np. za pomocą periodografu zmodyfikowanego). Wynikiem takiej operacji jest widmo lokalne („bieżące”). Źródło: http://www.radartutorial.eu/10.processing/pic/slw_anim.gif

Zasada działania analizatora czasowo-częstotliwościowego wL[n] x[n] yL[n] yK[n] YK[k] EK FK | |2 |YK[k]|2 10log()‏ SK[k] [dB] Spróbkowany sygnał poddawany jest okienkowaniu. Następnie wyodrębiona przez odpowiednie okno część próbek jest uzupełniana zerami do długości K i poddawana transformacie Fouriera. Moduł kwadratu K-punktowego DFT daje nam gęstość widmową mocy, która poddawana jest modyfikacji w zależności od rodzaju okna (U) i zeropaddingu (L). Następnie wynik jest przedstawiany w układzie liniowym bądź logarytmicznym. lin. 1/(LU)‏ Schemat blokowy periodografu zmodyfikowanego

Analiza sygnałów z projektu WPST Model matematyczny sygnału: Fc jest częstotliwością nośną , Fm jest częstotliwością sygnału modulującego, a I(t) jego obwiednią, Φm i Φc są odpowiednio, fazą początkową sygnału modulującego i zmodulowanego Dla zamodelowania sygnału dzwonu: Powyżej zostały przedstawiony model matematyczny dla sygnałów dzwonu wygenerowanych w ramach projektu WPST. Jak widać jest to modulacja częstotliwości.

Schemat blokowy algorytmu tworzącego sygnał Gs – generator symboli o wartościach całkowitych Konwerter symbol/bity – dokonuje on konwersji symbolu wygenerowanego na ciąg bitów mu odpowiadających L↑ - L-krotny zeroinsterter powoduje wprowadzenie L zer pomiędzy każde dwie próbki sygnału wejściowego Hi – filtr kształtujący. W każdej gałęzi znajduje się filtr kształtujący o odpowiedzi impulsowej będącej przebiegiem sygnału akustycznego zamodelowanego według wzorów podanych na poprzednim slajdzie. Σ – sumator sygnałów pochodzących z poszczególnych filtrów Hi

Przykładowy przebieg czasowy

Spektrogram przykładowego przebiegu czasowego Zauważyć można, że składowe podstawowe występują na wyróżniających się częstotliwościach. Każdej składowej odpowiadają harmoniczne na częstotliwościach będących wielokrotnością częstotliwości podstawowej.

Analiza przykładowych spektrogramów Na powyższym spektrogramie zauważyć można że bardzo trudno określić dokładną częstotliwość podstawową wygenerowanego sygnału jest to wynikiem zastosowania krótkiego okna przy generowaniu spektrogramu. Dodatkowo zauważyć można, że polepszyła się rozdzielczość czasowa ponieważ widać wyraźnie spadek amplitudy sygnału wraz z trwaniem sygnału, a także charakterystyczne prążki świadczące o liczbie segmentów czasowych w jakich analizowany był sygnał (małe okno -> wiele segmentów). Elementy pojawiające się po za głównym prążkiem (ok. 500Hz) powstały w wyniku zastosowania okna prostokątnego jako wyodrębniającego próbki. Okno prostokątne o długości 25 Sa. Częstotliwość podstawowa 450 Hz.

Analiza przykładowych spektrogramów Ta sama sytuacja co na poprzednim slajdzie tylko dla wyższej częstotliwości. Okno prostokątne o długości 25 Sa. Częstotliwość podstawowa 750 Hz.

Analiza przykładowych spektrogramów W tym przypadku sytuacja jest dokładnie odwrotna kosztem pogorszonej rozdzielczości czasowej (w przypadku składowej czasowej trudno mówić o wygasaniu sygnału) uzyskujemy lepszą rozdzielczość częstotliwościową. Widać, ze segmentów czasowych jest mnie niż na poprzednich dwóch spektrogramach (szerokie okno -> mało segmentów). Większa rozdzielczość częstotliwościowa pozwala na dokładne określenie częstotliwości podstawowej oraz częstotliwości harmonicznych. Okno prostokątne o długości 356 Sa. Częstotliwość podstawowa 450 Hz.

Analiza przykładowych spektrogramów Ten sam przykład dla wyższych częstotliwości. Okno prostokątne o długości 213 Sa. Częstotliwość podstawowa 750 Hz.

Pomiar pitchu dla okna krótszego od okresu podstawowego Pitch to podstawowa zauważalną (perceive) częstotliwość dźwięku. Wyznaczany jest jako DFT z przekroju spektrogramu po czasie. Dla okien krótszych od okresu podstawowego powinien być przebiegiem okresowym o okresie równym częstotliwości podstawowej

Pomiar pitchu dla okna krótszego od okresu podstawowego Jeżeli zmierzylibyśmy okres przedstawionej sinusoid moglibyśmy określić częstotliwość sygnału.

Pomiar pitchu dla okna krótszego od okresu podstawowego

Spektrogram utworu Aphex Twin „∆Mi-1=αΣn=1NDi[n] ΣjЄc{i}Fji[n-1]Fext i[n-1]” z singla „Windowlicker”.

Bibliografia M. Blok „Ćwiczenie 3. Spektrogram sygnałów niestacjonarnych” T. Zieliński „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”

Dziękuję za uwagę