PROBLEM ZAPASÓW, ALE POZIOM ZAPASÓW NIE JEST ZMIENNĄ DECYZYJNĄ Matematyczne techniki zarządzania - 181 Metody rozwiązywania obu problemów rachunek ekonomiczny kilku wariantów programowanie nieliniowe programowanie dynamiczne Wyniki i interpretacja strategia dostaw surowców optymalny plan produkcji analiza wrażliwości PROBLEM ZAPASÓW, ALE POZIOM ZAPASÓW NIE JEST ZMIENNĄ DECYZYJNĄ      ZAGADNIENIE WYMIANY Cel problemu ustalenie optymalnego momentu wymiany pracu-jącego środka trwałego na nowy (teoria odnowy) kryterium decyzyjne: minimalizacja kosztów działalności firmy zmienna decyzyjna: rok wymiany Problem taksów-karza

Kdział = Kekspl + Kamort Szuka się najkrótszej drogi w tej sieci!  Matematyczne techniki zarządzania - 182 Kdział = Kekspl + Kamort Dwie strategie krańcowe  wymiana samochodu co roku: niskie koszty eksploatacji, duże amortyzacji  długa eksploatacja auta: niskie ko-szty amortyzacji, wysokie eksploatacji   Optymalny moment wymiany cij Dane cena nowej maszyny [f=g(t)] wartość zużytej maszyny [k=g(t)] koszt eksploatacji maszyny [k=g(t)] Metody rozwiązywania rachunek ekonomiczny kilku wariantów programowanie nieliniowe programowanie dynamiczne (SIEĆ) kolejne lata eksploatacji Szuka się najkrótszej drogi w tej sieci!

  PLANOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ NIEPRODUKCYJNYCH Matematyczne techniki zarządzania - 183  PLANOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ NIEPRODUKCYJNYCH  Cel problemu właściwa organizacja remontów, organizacji inwestycji i prac badawczo-rozwojowych (R&D) kryterium decyzyjne: minimalizacja czasu realizacji przedsięw-zięć przy posiadanych środkach usprawnienie organizacji polega na równoczesnym wykonywa-niu możliwie jak największej liczby czynności (wchodzących w skład przedsięwzięcia) równocześnie można wykonywać tylko niektóre czynności PRECZ Z ANGIELSKIM SŁOWEM „TECHNOLOGIA” Z TAKICH UKŁADÓW BUDUJE SIĘ SIEĆ, W KTÓREJ SZUKA SIĘ NAJDŁUŻSZEJ DROGI UKŁAD SZEREGOWY UKŁAD RÓWNOLEGŁY Dane wykaz czynności podstawowych czas trwania poszczególnych czynności powiązanie (kolejność wykonywania) czynności (technika realizacji) Źródło oszczędności czasu

  Matematyczne techniki zarządzania - 184 Metody rozwiązywania zbudowanie sieci (trudne przy wielu czynnościach) znalezienie najdłuższej drogi w sieci od jej początku do końca, która wyznacza najkrótszy możliwy czas realizacji remontu lub inwestycji sieć można rozwiązać przy pomocy programowania liniowego lub dy-namicznego (w praktyce przy użyciu programu komputerowego) Dwie metody planowania przedsięwzięć metoda ścieżki (drogi) krytycznej (CPM = Critical Path Method) metoda PERT (Project Evaluation and Review Technique), która jest stochastycznym wariantem metody CPM (czasy realizacji czynności są zmiennymi losowymi) Wyniki najdłuższa droga w sieci, czyli przebieg drogi krytycznej długość najdłuższej drogi w sieci analiza wrażliwości (szczególnie określenie, jakim kosztem można skrócić najdłuższą drogę) Interpretacja najkrótszy możliwy czas realizacji przedsięwzięcia 

czynność pusta (ślepa, zerowa) Matematyczne techniki zarządzania - 185 wykaz czynności krytycznych (leżących na najdłuższej drodze), które wymagają szczególnej opieki kierownictwa, gdyż ich opóźnienie spowo-duje opóźnienie wykonania całego przedsięwzięcia wykaz czynności niekrytycznych (pozostałych), które mają zapas czasu i mogą być bez szkody opóźnione w pewnych granicach Przykład 40. Pan domu został słomianym wdowcem i postanowił sam ugotować sobie obiad. Porównamy je-go działanie z organizacją pracy jego żony. Czynności tworzące przedsięwzięcie „gotowanie obiadu” A — gotowanie zupy: 15 min B — obranie ziemniaków: 5 min C — gotowanie ziemniaków: 25 min D — usmażenie kotleta: 15 min E — zrobienie sałatki: 10 min Problem obiadu  ZŁA ORGANIZACJA: czas gotowania obiadu 70’ czynność pusta (ślepa, zerowa) Którędy biegnie ścieżka krytyczna? Ile wynosi czas gotowania obiadu? 30 min

       TEORIA KOLEJEK (MASOWEJ OBSŁUGI) Matematyczne techniki zarządzania - 186  Które czynności mają zapas czasu: czy pani domu może wyjść na chwilę do sąsiadki? czy może odstąpić jeden palnik innej rodzinie?      TEORIA KOLEJEK (MASOWEJ OBSŁUGI) Cel problemu ustalenie optymalnej wielkości jednostki usługowej z losowym napływem klientów (brygady awaryjne, poczta, banki, sklepy, domy towarowe, stacje obsługi, centrale telefoniczne, lotniska, skrzyżowania, parkingi, dziekanat) kryterium decyzyjne: minimalizacja kosztów działalno-ści firmy (sumy kosztów utrzymania jednostki i strat spo- wodowanych staniem w kolejce) jednostka usługowa składa się z kanałów obsługi, do których wchodzą klienci z kolejki według określonego regulaminu zmienną decyzyjną jest optymalna liczba kanałów ob-sługi (liczba okienek, kas, pracowników, brygad itd.) optymalna liczba może być negocjowana i jest zależna od ustalonych założeń (jest ustalana pośrednio!) PROBLEM DZIEKANATU 

KOLEJKI NIE DA SIĘ UNIKNĄĆ Matematyczne techniki zarządzania - 187  KOLEJKI NIE DA SIĘ UNIKNĄĆ Objaśnienie funkcji: kosztów utrzymania kosztów strat dla przedsiębiorstwa produkcyjnego i usługowego Dwie strategie krańcowe  jednostka mała: niskie koszty utrzyma-nia, duże straty przez długie kolejki  jednostka duża: małe kolejki i niskie straty, wysokie koszty utrzymania   Optymalna wielkość jednostki Dane rozkład częstotliwości napływu klientów rozkład czasu obsługi klientów mało klientów, duże prawdopod. dużo klientów, małe prawdopodobieństwo Metoda rachunek prawdopodobieństwa Wzory są zależne od rodzaju systemu obsługi i od typu w/w rozkładów Rozkład wykładniczy (Erlanga)

Matematyczne techniki zarządzania - 188 Teoria masowej obsługi (Obretenow i Dimitrow, PWN, W-wa 1989) wyróżnia m..in.: strumienie zgłoszeń: prosty (Poissona), rekurencyjny, rozrzedzony, Ber-noulliego itd. rozkłady czasu obsługi: Erlanga, Poissona, hiperwykładniczy itd. systemy obsługi: systemy ze stratami, systemy z oczekiwaniem jednoka-nałowe i wielo-kanałowe, systemy priorytetowe (odwrotny porządek obsłu-gi, losowy wybór, priorytet stopniowany, systemy z ograniczeniami i nie-cierpliwymi klientami, systemy zamknięte (ze skończonym źródłem klien-tów), systemy z grupowymi klientami itd. Wyniki rozkład czasu oczekiwania na obsługę rozkład czasu przebywania w systemie rozkład długości kolejki rozkład liczby klientów w systemie Z tych rozkładów można obliczyć np.: P, że nie ma kolejki P, że czas czekania > 15 min P, że długość kolejki < 10 osób P, że czas usunięcia awarii < 120 min Interpretacja polega na szukaniu minimum lub wg kryterium decydenta: dziekanat dobry, jeśli P(t>10 min)<0,10: przy 5 paniach P=0,06, a przy 4 paniach P=0,11 — negocjacja studentów z dziekanem parking pod supermarketem dobry, jeśli P(straty klienta)<0,05

PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH RYZYKA ANALIZA RYZYKA Matematyczne techniki zarządzania - 189      TEORIA DECYZJI, TEORIA GIER  PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH RYZYKA Rozróżniamy ryzyko od niepewności: ryzyko — decydent nie wie co będzie, ale potrafi określić jakie są możli-we rzeczowe i finansowe skutki podjętej decyzji i jakie jest prawdopodo-bieństwo ich wystąpienia  niepewność — decydent nie wie co będzie i nie potrafi określić ani jej efektów ani tym bardziej prawdopodobieństwa  Ryzyko polega więc na możliwości wystąpienia kilku stanów NATURY Weźmy — dla przykładu — dwa stany natury przy decyzji o realizacji jakie-goś przedsięwzięcia: S1 oraz S2 Cel problemu należy rozstrzygnąć, czy dane przedsię-wzięcie jest opłacalne należy rozstrzygnąć, czy dane przedsię-wzięcie jest lepsze czy gorsze od innych możliwości zainwestowania kapitału przez firmę węzeł natury (szansy)

 Matematyczne techniki zarządzania - 190 Dane Metody rozwiązywania  prawdopodobieństwa Pi: dane historyczne analizy statystyczne teoria danego zjawiska  efekty finansowe Vi: analizy ekonomiczne scenariusze rachunek dyskontowy (NPV) Metody rozwiązywania teoria decyzji drzewko decyzyjne (dendryt) rachunek bayesowski teoria gier analiza wrażliwości analiza wielowariantowa  Z. Łucki Ocena inwestycji i podejmo-wanie decyzji w górnictwie naftowym i gazownictwie Kraków 1995 TEORIA DECYZJI Posługuje się kryterium decyzyjnym opartym na maksymalizacji wartoś-ci oczekiwanej efektu finansowego EMV (Expected Monetary Value) jeżeli EMV>0, przedsięwzięcie jest opłacalne spośród wielu opłacalnych przedsięwzięć wybieramy to, które ma naj-większą wartość EMV jeżeli EMV<0, przedsięwzięcie jest nieopłacalne i nie powinno być reali-zowane Uwaga! Przy wstawianiu do wzoru, wartości Vi bierzemy ze znakiem (straty „minus”)

  Optymista: widzi tylko duży zysk, zdecyduje — inwestować Matematyczne techniki zarządzania - 191 Przykład 41. Oblicz, czy powinna być realizowana inwestycja, która przy-niesie 200 tys. zł zysku z szansą 30% lub stratę w wysokości 100 tys. zł z prawdopodobieństwem 70%. Dwie strategie krańcowe  Optymista: widzi tylko duży zysk, zdecyduje — inwestować  Pesymista: widzi tylko dużą szansę straty — zdecyduje nie inwestować Decyzja racjonalna będzie brzmiała: nie inwestować DRZEWKO DECYZYJNE Składa się z węzłów decyzyjnych, węzłów natury oraz gałęzi i gałązek INNY TEKST DO RYSUNKU decyzja rolnika (farmera) decyzja geologa naftowego  Decydent ma do wyboru trzy możliwości: kupić akcje firmy F1 (Dec1) i narazić się na ryzyko S1, S2, S3 kupić akcje firmy F2 (Dec2) i narazić się na ryzyko S4, S5, S6 zdeponować kapitał w banku i nie ryzykować

IDZIEMY DO DORA-DCY, KTÓREGO ZA-LECENIE NIE JEST W PEŁNI WIARYGODNE Matematyczne techniki zarządzania - 192 Aby znaleźć optymalną decyzję (co robić?), należy dla każdego punktu końcowego znać wartości Pi oraz Vi. Sposób rozwiązywania drzewka dla każdego węzła natury obliczamy wartość oczekiwaną efektu finansowego dla każdego węzła decyzyjnego znajdujemy decyzję o największej wartości EMV i tę decyzję przyjmujemy za decyzję optymalną DRZEWKO Z ZAKUPEM DODATKOWEJ NIEDOSKONAŁEJ INFORMACJI drzewko to rozwią-zuje się według wyżej podanych zasad, od najcieńszych gałązek do konarów konieczny jest ra-chunek bayesowski, gdyż informacja — a-czkolwiek niedoskona-ła — zmienia szanse wystąpienia poszcze-gólnych stanów natu-ry IDZIEMY DO DORA-DCY, KTÓREGO ZA-LECENIE NIE JEST W PEŁNI WIARYGODNE CEL: CO ROBIĆ W A, B i C ?

 Matematyczne techniki zarządzania - 193 Wartość idealnej informacji (Wii) Jest to najwyższa cena, jaką można zapłacić za informację niedoskonałą (potrzebne do negocjacji z jej dostarczycielem) TEORIA DECYZJI FUNKCJONUJE NA ZASADZIE PRAWA WIELKICH LICZB Nie da się jej sprawdzić na pojedynczym przykładzie NAJLEPSZY WYNIK FINANSOWY OSIĄGNIE TEN DECYCENT, KTÓRY BĘDZIE SYSTEMATYCZNIE WYBIERAŁ DO REALIZACJI PROJEKTY O NAJWIĘKSZEJ WARTOŚCI OCZEKIWANEJ EFEKTU FINANSOWEGO (EMV) W brydżu sportowym: pani Zosia wygra jedno rozdanie, ale nie wygra turnieju W nafcie: jedna inwestycja da albo zysk albo stratę, ale nigdy nie da wartości EMV TEORIA GIER Cel Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka polega przy tym ujęciu na tym, że przyjmujemy iż decydent jest graczem mającym do czynienia z innym graczem (graczami), który ma odmienne interesy Każdy gracz może stosować różne strategie postępowania, ale żaden z nich nie wie co zrobi strona przeciwna Problem polega na tym, żeby wybrać taką strategię, która jest najbar-dziej korzystna dla gracza niezależnie od tego, co zrobi przeciwnik 

ZAKŁADAMY, ŻE PRZECI-WNIK JEST RÓWNIE ZDOLNYM GRACZEM Matematyczne techniki zarządzania - 194 Gra — to model rzeczywistości, a przeciwnikiem decydenta może być inne przedsiębiorstwo, inne państwo, inna partia polityczna, rynek, giełda, warunki geologiczne, klimatyczne (Natura) Gry mogą być: dwuosobowe lub wieloosobowe o sumie zerowej lub niezerowej (konflikt całkowity lub częściowy) kooperacyjne lub niekooperacyjne Gra dwuosobowa o sumie zerowej ZAKŁADAMY, ŻE PRZECI-WNIK JEST RÓWNIE ZDOLNYM GRACZEM co gracz A wygra, to gracz B przegra wartości Kij to wypła-ty gracza B na rzecz gracza A (przy minusie odwrotnie) rodzaj gry i wypłaty zależą od regulaminu gry szachy to gra dwu-osobowa o sumie zero są takie gry, w któ-rych wygrywa gracz zaczynający grę STRATEGIE GRACZA B STRATE-GIE GRA-CZA A Dane rodzaj gry liczba graczy rodzaje strategii każdego gracza macierz wypłat Kij PROBLEM REKTORA PROBLEM WIĘŹNIA

      Matematyczne techniki zarządzania - 195 Metody rozwiązywania metoda minimaksu (maksyminu), gdy gra ma punkt siodłowy programowanie liniowe, gdy gra nie ma punktu siodłowego Wyniki wartość gry optymalna strategia gracza A optymalna strategia gracza B Dwa rodzaje rozwiązań zdeterminowane: A (0,0,1), B (0,1,0) gdy gra ma punkt siodłowy zrandomizowane: A (0,15;0,85), B (0,42; 0,58) gdy gra nie ma punktu siodłowego Gra ma punkt siodłowy, gdy każdy z graczy potrafi określić swą optymalną strategię i będzie ją stosował niezależnie od tego, co zrobi drugi gracz, oraz gdy max min = min max . Punkt ten leży na przecięciu się tych strategii. Przykład 42. Macierz wypłat przedstawia się następująco: Wpierw szukamy, czy nie ma stra-tegii dominujących: NIE MA! Byłaby, gdyby były np. dwa wiersze 7 5 4 oraz 6 5 3 (ten drugi wykreślimy)       Następnie dla każdej strategii gracza A szukamy najgorszego wyniku i z nich wybie-ramy najlepszy max min (A) = 4 Identycznie dla gracza B (ale teraz znaczenie liczb jest odwrotne) min max = 4 Mamy więc punkt siodłowy i rozwiązanie gry: gracz A (A1), gracz B (B3), V = 4

OPTYMALNA STRATEGIA KONKURENCYJNA OPTYMALNA STRATEGIA KOOPERACYJNA Matematyczne techniki zarządzania - 196 Jeżeli któryś z graczy nie zna teorii gier i wybierze inną strategię — straci na tym! Co robić, gdy gra nie ma punktu siodłowego (a rzadko ma!). Zakładamy, że można grać wiele razy i stosujemy rachunek prawdopodobieństwa. Przykład 43. Przed laty, w trakcie wyboru rektora AGH powstała następująca sytuacja PROBLEM REKTORA Gra nie ma punktu siodłowego, więc budujemy model Rozwiązanie x1 = 0,857 x2 = 0,143 V = 5,43 DEKLARACJA WYDZIAŁU WYNIK WYBORÓW KORZYŚCI DLA WYDZIAŁU Przykład 44. Dwaj więźniowie (terroryści) osadzeni w areszcie mają w perspektywie następujące „wypłaty” (lata więzienia) PROBLEM WIĘŹNIA OPTYMALNA STRATEGIA KONKURENCYJNA OPTYMALNA STRATEGIA KOOPERACYJNA

     SYMULACJA KOMPUTEROWA Matematyczne techniki zarządzania - 197 Zalety teorii decyzji i teorii gier: decydent ma pogląd na wszystko co się może zdarzyć — w zależności od jego decyzji i zacho-wania się Natury już samo zestawienie wszystkich możliwości (drzewko decyzyjne, macierz wypłat) jest zna-cznym krokiem naprzód (normalnie ludzie wi-dzą tylko jeden aspekt sprawy) metody te umożliwiają podjęcie optymalnej decyzji na zasadzie prawa wielkich liczb całą analizę przeprowadza się przed wydat-kowaniem pieniędzy Analiza wrażliwości Przykład 41 cd. (pl. 191) WNIOSEK      SYMULACJA KOMPUTEROWA PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI NAZWA NIE OD... , LECZ OD RULETKI... Niepewność — decydent nie wie co będzie i nie potrafi określić ani jej efektów decyzji, ani tym bardziej ich prawdopodobieństwa METODA MONTE CARLO II W.Św.

WZROST DOKŁADNOŚCI OPISU RZECZYWISTOŚCI DŁUGI WSTĘP... Matematyczne techniki zarządzania - 198 W BO zajmujemy się tylko zastosowaniem symulacji komputerowej do oceny opłacalności inwestycji Miejsce symulacji komputerowej w ocenie rzeczywistości model deterministyczny — każdy parametr ma tylko jedną wartość, ocena punktowa (dziś już nikt tego nie chce) analiza wrażliwości — komputer określa w jakich granicach mogą zmieniać się wartości parametrów, aby decyzja nie uległa zmianie (programowanie parametryczne) analiza kilku scenariuszy, ewentualnie z prawdopodobieńst-wami ich wystąpienia (użycie kryterium EMV) — ocena sto-chastyczna inwestycji analiza kilkudziesięciu wariantów powstałych z kombinacji szeregu wartości poszczególnych parametrów symulacja komputerowa (kilkaset lub kilka tysięcy wariantów) Z. Łucki Ocena inwestycji i podejmo-wanie decyzji w górnictwie naftowym i gazownictwie Kraków 1995 WZROST DOKŁADNOŚCI OPISU RZECZYWISTOŚCI ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ocena deterministyczna, oparta na jednej wartości kosztów produkcji, ceny wyro-bów, podatków itd. co odpowiemy, gdy klient (szef) się spyta: co będzie, gdy ceny spadną? odpowiedź dla klienta (szefa)

Matematyczne techniki zarządzania - 199 ANALIZA SCENARIUSZY Przykład 45. Rozpatrujemy projekt nowej in-westycji na podstawie sześciu scenariuszy WSZYSTKIE OBLICZENIA EKONO-MICZNE POWINNY ZAWIERAĆ ANALIZĘ WRAŻLIWOŚCI Ocena projektu ANALIZA WIELU WARIANTÓW (WIELO-CZYNNIKOWA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI) Przykład 46. Rozpatrujemy projekt in-westycyjny z uwzględnieniem trzech czynników wpływających na jej ren-towność (V): cena produktu (C), wy-dajność (W) oraz zatrudnienie (P) Z TYCH DANYCH MOŻNA WY-LICZYĆ 27 WARIANTÓW Z ICH PRAWDOPODOBIEŃSTWAMI A Z NICH... DLA KAŻDEGO Z TYCH PARAMETRÓW PRZYJMIEMY TRZY WARTOŚCI I PRAWDOPODOBIEŃSTWA

 Matematyczne techniki zarządzania - 200 zbudować rozkład prawdopo-dobieństwa teraz jesteśmy już bardzo blisko metody Monte Carlo... SYMULACJA KOMPUTEROWA (METODA MONTE CARLO) koncepcja zaproponowana przez von Neumana i Ulama w 1944 roku wiele zależności powstających w nieprobabilistycznych okolicznościach łatwiej jest ocenić na drodze eksperymentów stochastycznych niż standardowymi metodami analitycznymi pierwsze zastosowanie symulacji komputerowej do oceny inwestycji miało miejsce w 1964 roku (D. B. Hertz) setki lub tysiące wariantów uzyskuje się przez przyjęcie wielu wartości (rozkładów prawdopodobieństwa) dla każdego z czynników oraz przez losowe tworzenie kombi-nacji wartości poszczególnych czynników rozkłady te zwykle tworzą eksperci przez podanie trzech wartości (najmniejszej, najbardziej prawdopodobnej i największej) dających rozkład trójkątny

Matematyczne techniki zarządzania - 201 Sześć etapów procedury symulacji przy ocenie inwestycji 1. Określenie czynników (zmiennych) określających rentowność V 2. Budowa modelu symulacyjnego 3. Wyznaczenie rozkładów prawdopo-dobieństwa dla czynników 4. Ustalenie zależności pomiędzy czyn-nikami 5. Wielokrotne losowanie wartości i wstawianie ich do modelu (kroki sy-mulacyjne) 6. Analiza otrzymanego rozkładu Czynniki koszt urządzeń produkcyjnych wielkość rynku czas życia produktu ceny sprzedaży produktów tempo rozwoju rynku udział w rynku inne nakłady inwestycyjne wartość końcowa inwestycji koszty operacyjne koszty stałe czas życia urządzeń i maszyn Budowa modelu symulacyjnego dotychczas nie było sprecyzowane jak się liczy efekt finansowy V idea efektu finansowego (zysku) dla inwestycji P — przychody N — nakłady Ko — koszty operacyjne w przypadku inwestycji o trwałości dłuższej niż kilka lat konieczny jest rachunek dyskontowy uwzględniający oprocentowanie kapitału i wszystkich strumieni finansowych pojawiających się w związku z bu-dową i funkcjonowaniem inwestycji V = NPV (Net Present Value) NPV — zaktualizowana (bieżąca) nadwyżka finansowa netto (zysk zdyskontowany)

IDEA RACHUNKU DYSKONTOWEGO Matematyczne techniki zarządzania - 202 ai — współczynnik dyskontowy dla roku i oraz stopy r r — stopa dyskontowa (stopa procentowa odpowiadająca najlepszym możliwościom inwestycyjnym firmy) i — kolejny rok funkcjonowania inwestycji n — liczba lat funkcjonowania inwestycji NPVr może być liczone przed opodatkowaniem lub po opodatkowaniu TU NIE CHODZI O INFLACJĘ, TYLKO O ODSETKI (PROCENT SKŁADANY) OD KAPITAŁU TABLICA WSPÓŁCZYNNIKA DYSKONTOWEGO IDEA RACHUNKU DYSKONTOWEGO NPV>0 Reguła decyzyjna jeżeli NPV>0, inwestycja jest ren-towna i powinna być realizowana (jeżeli nie ma lepszej od niej) jeżeli NPV<0, inwestycja jest nie-opłacalna i nie powinna być reali-zowana IRR (%) = odsetki jakie inwestycja jest w stanie zapewnić NPV=0 NPV<0

Matematyczne techniki zarządzania - 203 PROGRAM WEZYR W PAKIECIE KALIF NPV jest funkcją r — funkcja ta nosi naz-wę profilu NPV, który stanowi charakte-rystykę inwestycji i umożliwia jej porów-nywanie z innymi przedsięwzięciami TO JEST CIĄGLE TA SAMA INWESTYCJA POD WZGLĘDEM TECHNICZNYM I EKONOMICZNYM! TO NIE JEST ANALIZA WRAŻLIWOŚCI! TO SĄ TYLKO DYWAGACJE FINANSOWE! DO OCENY INWESTYCJI PRZYJMUJE SIĘ NPV(r), przy czym r jest ustalane przez zarząd (właścicieli, akcjonariuszy) firmy Modelem symulacyjnym jest zwykle bardziej rozbudowane równanie wyz-naczające wartość NPV(r) Rozkłady prawdopodobieństwa dla czynników rozkłady te wyznaczają eksperci od kosztów, techniki, rynku itd. mogą to być różne rozkłady z grupy jednomodalnych, które można aprok-symować rozkładem trójkątnym (eksperci podają trzy wartości czynnika) na przykład — eksperci podają trzy ceny ropy naftowej na okres trwania inwestycji: minimalna — 15, najbardziej prawdopodobna — 18, maksymal-na — 28 dolarów/baryłkę (159 litrów, c. wł. ropy średnio = 0,82)

Matematyczne techniki zarządzania - 204 z tych trzech liczb komputer wyznaczy funkcję dystrybuanty dla danego czynnika, którą wykorzysta potem przy losowaniu jego wartości Zależności pomiędzy czynnikami (nieobowiązkowo) Zależności te wprowadza się po to, aby uniknąć skojarzenia — w trakcie losowania — nie pasujących do siebie wartości różnych czynników, na przykład: duże nakłady na marketing, mały udział w rynku duże nakłady na badania i rozwój, krótki czas życia produktu Przykładowe zależności pomiędzy czynnikami udział w rynku = f(nakładów na marketing) cena produktu = f(udziału w rynku) czas życia produktu = f (nakładów na badania i rozwój) czas życia inwestycji = f(nakładów inwestycyjnych) ZALEŻNOŚCI TE TO MODELE REGRESJI X1 X2 Kroki symulacyjne Powtarza się kilkaset lub kilka tysięcy razy jeden krok symulacyjny obejmujący: przedział losowania wartości X1 wylosowana wartość czynnika X2 wylosowanie dla każdego czynnika niezależnego jednej wartości, z prawdopodobieństwem odpo-wiadającym wynikającym z wprowadzonego rozkładu wylosowanie dla każdego czynnika zależnego jednej wartości, z prawdopodobieństwem odpowia-dającym rozkładowi przedziału prognozy z krzywych Neymana

PROGRAM ALI W PAKIECIE KALIF Matematyczne techniki zarządzania - 205 każde losowanie odbywa się przez wygenerowanie liczby losowej z przedziału od 00 do 99, a następnie przez znalezienie jej odpowiednika w dystrybuancie odpowiedniego rozkładu wszystkie wylosowane wartości czynników zostają wstawione do modelu symulacyjnego wynik obliczeń z modelu zostaje zapamiętany i dołączony do wyników z poprzednich kroków Analiza wyniku symulacji Otrzymujemy rozkład NPV Interpretacja wydruku i wykresu rozkładu wszystko co się może zdarzyć i z jakim prawdopodobieństwem minimalne NPV (skutek zbiegu bardzo niekorzystnych okoliczności) najbardziej prawdopodobne NPV (normalne okoliczności) maksymalne NPV (skutek zbiegu wyjątkowo korzystnych okoliczności) prawdopodobieństwo poniesienia strat szanse uzyskania zysku > K PROGRAM ALI W PAKIECIE KALIF wartość średnia NPV odchylenie standardowe NPV

KONIEC BRYKA TERAZ TEORIA PROGRAMOWANIE LINIOWE Matematyczne techniki zarządzania - 206 Wykorzystanie wyniku symulacji do analizy ryzyka bez symulacji z symulacją brak złoża brak złoża małe złoże inwestować inwestować średnie złoże jest złoże KONIEC BRYKA TERAZ TEORIA duże złoże nie inwestować nie inwestować Rozpatrzone: 4 możliwości 2001 możliwości PROGRAMOWANIE LINIOWE Przypomnienie (alokacja środków produkcji i problem mieszanki) A [aij] — macierz współczynników technologicznych B [bi] — macierz ograniczeń C [cj] — macierz zysków lub kosztów jednostkowych X [xj] — macierz zmiennych decyzyjnych PONIŻEJ PODAJE SIĘ TYLKO NAJWAŻNIEJSZE ZAGADNIENIA TEORETYCZNE, GDYŻ SZCZEGÓŁY PRAKTYCZNE PODANE SĄ W SKRYPCIE I OMAWIANE NA ĆWICZENIACH 

POLEGA NA USUNIĘCIU ZNAKU NIERÓWNOŚCI Matematyczne techniki zarządzania - 207 Ogólna postać modelu liniowego funkcja celu POSTAĆ KANONICZNA warunki ograniczające POSTAĆ STANDARDOWA warunki nieujemności W problemie alokacji środków produkcji  POLEGA NA USUNIĘCIU ZNAKU NIERÓWNOŚCI tak postępujemy z każdym warunkiem ogra-niczającym: wprowadzamy kolejno x4, x5... dodane zmienne noszą nazwę zmiennych swo-bodnych (dodatkowych) zmienne te też są nieujemne (xi  0) zmienne te w funkcji celu mają współczynnik 0 zmienne te w warunkach ograniczających mają współczynnik +1 lub —1 po rozwiązaniu modelu otrzymane wartości tych zmiennych interpretuje się następująco:  ilość niewykorzystanego środka produkcji (xi=0: środek całkowicie wykorzystany)  nadmiar komponentu w mieszance (xi=0: brak nadmiaru) W problemie mieszanki (diety)  WSTAWIANIE TYCH ZMIENNYCH REALIZUJE PROGRAM, ALE MY MUSIMY ZNALEŹĆ ICH WARTOŚCI NA WYDRUKU

Twierdzenia związane z programowaniem liniowym ROZWIĄZANIE OPTYMALNE Matematyczne techniki zarządzania - 208 Twierdzenia związane z programowaniem liniowym 1. ZBIÓR ROZWIĄZAŃ DOPUSZCZALNYCH PROGRAMOWANIA LINIO-WEGO JEST ZBIOREM WYPUKŁYM ROZWIĄZANIE OPTYMALNE   2. ROZWIĄZANIE OPTYMALNE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZNAJ-DUJE SIĘ NA WIERZCHOŁKU ZBIORU ROZWIĄZAŃ DOPUSZCZALNYCH Na którym? — o tym decyduje przebieg izolinii funkcji celu  DLA OSOBY, KTÓRA LUBI GÓRY I ZNA SIĘ NA MAPACH, TE IZOLINIE TO WARSTWICE A ROZWIĄZANIA DOPUSZCZALNE TO POLE GAZDY, NA KTÓRYM SZUKAMY...PUNKTU

ROZWIĄZANIA OPTYMALNE Matematyczne techniki zarządzania - 209 3. JEŚLI ISTNIEJĄ DWA ROZWIĄZANIA OPTYMALNE O TAKIEJ SAMEJ WARTOŚCI FUNKCJI CELU, TO ISTNIEJE NIESKOŃCZENIE WIELE TAKICH ROZWIĄZAŃ Jeżeli znamy dwa rozwiązania X1 oraz X2, to możemy wyznaczyć dalsze wzorem ROZWIĄZANIA OPTYMALNE  Metody rozwiązywania programowa-nia liniowego geometryczna (2 zmienne) simplex (sympleks) przekształcenia Jordana duplex METODA SIMPLEX Polega na „mądrym” przeszukiwaniu wierzchołków zbioru rozwiązań do-puszczalnych Liczba iteracji (1,5-3)m  0 1 2 3 4 5 6 7 8 numer iteracji (kroku)

Jak będzie chodzić po krawędziach mysz-optymalizatorka? Matematyczne techniki zarządzania - 210 „Mądrość” polega na tym, że szukając rozwiązania optymalnego chodzi się po krawędziach hiperbryły z wierzchołka na wierzchołek kierując się do tych, które dają największe możliwości poprawy wartości funkcji celu Wartości Z(X) dla poszczególnych wierz-chołków obliczamy z ich współrzędnych: x1=3, x2=2, x3=1 (wymiary bryły)  Jak będzie chodzić po krawędziach mysz-optymalizatorka? Krok 0: x1 = x2 = x3 = 0 Z(X) = 0 Mysz się rozgląda — w którą stronę najkorzystniej iść? Porównuje i wybiera Krok 1: x1 = 3, x2 = x3 = 0 Z(X) = 18 Mysz ponownie rozgląda się — najkorzystniej drapać się na wierzchołek Krok 2: x1 = 3, x2 = 2, x3 = 0 Z(X) = 26 Myszy pozostała już tylko jedna droga (nie może zejść do gorszej wartości) Krok 3: x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1 Z(X) = 29 Mysz już nie widzi lepszego wierzchołka — znalazła optymalne rozwiązanie!!!