Wykłady z matematyki „W y z n a c z n i k i” Wykładowca dr. Lechosław Hącia Przygotował Grzegorz Żabierek Politechnika Poznańska Wykład z Matematyki Temat wykładu : ''Wyznaczniki'' Politechnika Poznańska

Wyznaczniki definicje i przykłady Definicja Wyznaczników Wyznaczniki I – go stopnia: Definicja: np. Wyznaczniki II – go stopnia: Definicja

Wyznaczniki definicje i przykłady Wyznaczniki III – go Stopnia Wyznaczniki III – go stopnia określamy metodą Surrusa Definicja: Wyznaczniki n – tego stopnia Wyznaczniki n – tego stopnia definiujemy metodą Laplace’a w następujący sposób : Aik są dopełnieniami algebraicznymi, przy czym Mik są podwyznacznikami (minorami) otrzymanymi z wyznacznika W przez skreślenie w nim i, tego wiersza i k, tej kolumny. - +

Wyznaczniki definicje i przykłady Przykłady z wnioskami i twierdzeniami Przykład nr 1. Metoda Sarrusa UWAGA: Z definicji Laplace’a wynika że : wyznacznik stopnia n – tego sprowadza się do n – wyznaczników stopnia (n-1) –ego. im więcej zer w wybranym wierszu (kolumnie), tym mniej minorów potrzebnych do wyliczenia . jeżeli wiersz składa się z samych zer, to wartość wyznacznika wynosi 0. wartość wyznacznika nie ulega zmianie bez względu na wybór wiersza lub kolumny. zamiana dwóch wierszy (kolumn) powoduje zmianę znaku wykładnika. zamiana wierszy na kolumny i odwrotnie nie odgrywa roli. Rozwiniecie Laplace’a względem I wiersza

Wyznaczniki wnioski i twierdzenia Wniosek 1 : W celu obliczenia wyznacznika należy go tak przekształcić, aby w wybranym wierszu (kolumnie) uzyskać jak największa ilość zer; w tym celu wykorzystujemy twierdzenie: Twierdzenie 1 : Pomnożenie wiersza (kolumny) przez jakąś liczbę i dodanie go do innego wiersza (kolumny) nie zmienia wartości wyznacznika Wniosek 2 : Wartość wyznacznika wynosi zero, jeżeli 2 wiersze (kolumny) są równe lub proporcjonalne.

Wyznaczniki przykłady (-1) -1 -1 (-2) 1 1 -1 -2 -1

Wyznaczniki przykłady Przykład nr 3. Przykład nr 4. 1 2 -3 -2 Bo wiersze 1 i 3 są jednakowe -1

Własności wyznaczników: Przykład nr 5 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 = 3 1 3 = 3 1 3 1 2 2 1 1 1 Własności wyznaczników: Wartość wyznacznika nie ulega zmianie jeżeli dowolny wiersz lub kolumnę pomnożymy przez jakąś liczbę i dodamy do innego wiersza lub kolumny. Wartość wyznacznika zmieni znak jeśli przedstawimy ze sobą dwa sąsiednie wiersze lub kolumny. Wspólny czynnik danego wiersza lub kolumny można włączyć przez znak wyznacznika. Przepisujemy pierwsze dwa wiersz

Wyznaczniki własności Wartość wyznacznika wynosi zero jeżeli : Wszystkie elementy danego wiersza lub kolumny są zerami . Gdy wiersze lub kolumny są jednakowe. Gdy wiersze lub kolumny są proporcjonalne. Wspólny czynnik danego wiersza lub kolumny można wyłączyć przed znak wyznacznika . Przestawienie wszystkich wierszy wyznacznika na miejsce jego kolumn i odwrotnie , bez zmiany ich porządku nie zmienia wartości wyznacznika. U W A G A: Znajomość działania zgodnie z własnościami wyznaczników pozwala na właściwe działania na macierzach , a co za tym idzie możliwość rozwiązywania równań z wieloma niewiadomymi. Na przykład : Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych nazywany wyznacznikiem charakterystycznym układu pozwala na zastosowanie twierdzeniach opracowanych przez wybitnego matematyka Cramera wzory, które wprowadził do nauk matematycznych ,pozwalają na sprawne rozwiązywanie równań o wielu niewiadomych.

Wyznaczniki zastosowanie twierdzenia Cramera Przykłady równań o dwóch niewiadomych Przykład nr 5. Mamy równania o dwóch niewiadomych x + 2y = 3 2x - y = 1 Tworzymy wyznacznik główny przy niewiadomych . Następnie tworzymy wyznaczniki przy niewiadomych x , y . W tym przypadku zastępujemy kolumnę przy niewiadomych kolumną wyrazów wolnych. Następnie zgodnie z wzorami Cramera obliczmy niewiadome x i y Podobnie postępujemy gdy mamy równania o większej liczbie niewiadomych