Aksjomaty Hilberta
Aksjomatyka Hilberta to zestaw aksjomatów geometrii euklidesowej podany przez Davida Hilberta w roku 1899 w jego pracy Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii). System Hilberta jest podstawą większości współczesnych ujęć geometrii euklidesowej. Podana tu aksjomatyka nie pochodzi z oryginalnej pracy Hilberta (pierwotnie aksjomatów było 21), a z następnych jego prac i liczy 20 aksjomatów. Hilbert podał swój system aksjomatów po tym, jak pod koniec XIX wieku okazało się, że zestaw pewników Euklidesa podany w Elementach zawiera luki. System Hilberta jest już zupełny.
I Aksjomaty incydencji 1.Dla dowolnych dwóch punktów A, B istnieje prosta a, zawierająca oba te punkty.
I Aksjomaty incydencji 2. Dla dowolnych dwóch różnych punktów A, B istnieje co najwyżej jedna prosta zawierająca oba te punkty.
I Aksjomaty incydencji 3. Na dowolnej prostej leżą co najmniej dwa różne punkty. Istnieją co najmniej trzy różne punkty, nie leżące na jednej prostej.
I Aksjomaty incydencji 4. Dla dowolnych trzech punktów A, B, C, które nie leżą na tej samej prostej, istnieje płaszczyzna α zawierająca wszystkie te trzy punkty. Każda płaszczyzna zawiera co najmniej jeden punkt.
I Aksjomaty incydencji 5. Dla dowolnych trzech punktów A, B, C, które nie leżą na tej samej prostej, istnieje dokładnie jedna płaszczyzna α zawierająca wszystkie te trzy punkty.
I Aksjomaty incydencji 6. Jeżeli dwa punkty A, B leżące na prostej a leżą na płaszczyźnie α, to każdy punkt prostej a leży na płaszczyźnie α.
I Aksjomaty incydencji 7. Jeżeli dwie płaszczyzny α i β mają punkt A wspólny, to mają co najmniej jeszcze jeden punkt wspólny B różny od A.
I Aksjomaty incydencji 8. Istnieją co najmniej cztery punkty nie leżące w jednej płaszczyźnie.
II Aksjomaty uporządkowania 1. Jeżeli punkt B leży pomiędzy punktami A i C, to punkty A, B, C są różnymi punktami leżącymi na jednej prostej.
II Aksjomaty uporządkowania 2. Dla dowolnych punktów A, C istnieje na prostej AC punkt B taki, że C leży pomiędzy A i B.
II Aksjomaty uporządkowania 3. Dla dowolnych trzech punktów A, B, C jednej prostej jeden i tylko jeden leży pomiędzy pozostałymi dwoma.
II Aksjomaty uporządkowania 4. Dla dowolnych trzech punktów A, B, C nie leżących na jednej prostej i prostej a leżącej w płaszczyźnie ABC lecz nie zawierającej żadnego z punktów A, B, C: jeśli prosta a ma punkt wspólny z odcinkiem AB, to ma również punkt wspólny z odcinkiem AC lub odcinkiem BC.
Aksjomat ( słynny V postulat Euklidesa 1. Niech a będzie dowolną prostą i niech A będzie punktem leżącym na prostej a ; wówczas na płaszczyźnie na której leży punkt A i prosta a można przeprowadzić nie więcej niż jedną prostą przechodzącą przez punkt A i nie przecinającej prostej a.
Bibliografia : http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta http://www.xlo.torun.pl/gimnazjum/matma/prace_uczniow/r86a/21agniedz/geom_el_agnieszka/akhilban.html