METHOD OF LINES (MOL) Poznan University of Life Sciences Department of Hydraulic and Sanitary Engineering Hamdi, Schiesser & Griffiths: Partial Differential Equations dr inż. Mateusz Hammerling

METHOD OF LINES Principle: derivatives in the partial differential equation are approximated by linear combinations of function values at the grid points 2

Approximation of first-order derivatives 3

Błędy wynikające z zastosowania równań różnicowych Pominięte wyrazy równania różnicowego Błędy zaokrągleń Dyskretność metody (spełnienie równania w skończonej liczbie punktów a nie w każdym punkcie) 4

Analysis of truncation errors 5

Approximation of second-order derivatives 6

Approximation of mixed derivatives 7

Analysis of the truncation error 8

Application to second-order derivatives 9

High-order approximations 10

Przykłady rozwiązania pochodnych funkcji z wykorzystaniem schematów różnicowych Rozpatrując prostą funkcje analityczną można sprawdzić dokładność różnych formuł różnicowych poprzez porównanie wartości pochodnych uzyskanych analitycznie z wartości pochodnych uzyskanych poprzez zastosowanie formuł dyskretyzacyjnych. 11

Przykłady rozwiązania pochodnych funkcji z wykorzystaniem schematów różnicowych Wprost z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora można otrzymać następujące aproksymacje : Pierwszej pochodnej: –iloraz różnicowy przedni –iloraz różnicowy wsteczny –iloraz różnicowy centralny –formuła trzypunktowa niesymetryczna

Przykłady rozwiązania pochodnych funkcji z wykorzystaniem schematów różnicowych –formuła pięciopunktowa symetryczna Druga pochodna –formuła trzypunktowa symetryczna –formuła trzypunktowa niesymetryczna –formuła pięciopunktowa symetryczna Wyrażenia 0 (  x n ) nazywane są resztą wzoru Taylora. 13

16

17

Przykłady rozwiązania pochodnych funkcji z wykorzystaniem schematów różnicowych Formuła trzypunktowa niesymetryczna i pięciopunktowa pozwalają najdokładniej aproksymować pierwszą pochodną. Dobre przybliżenia daje również formuła trzypunktowa niesymetryczna. 18

Przykłady rozwiązania pochodnych funkcji z wykorzystaniem schematów różnicowych Przy aproksymacji II pochodnej wyraźnie widać, że najdokładniejszą formułą jest pięciopunktowa formuła symetryczna, a następnie w zależności od rodzaju funkcji formuła trzypunktowa symetryczna. Najmniej dokładna jest formuła trzypunktowa niesymetryczna. 19

Podsumowanie Dokładność rozwiązania można zwiększyć przez zagęszczenie siatki różnicowej. Wraz ze wzrostem rzędu formuły aproksymacyjnej rośnie dokładność dla siatki zagęszczonej, natomiast dla siatki rzadkiej obserwujemy małą poprawę dokładności. –Może się więc okazać, że dla rzadkiej siatki formuła pięciopunktowa aproksymująca pierwszą pochodną da gorsze wyniki niż iloraz różnicowy centralny. Poprawa dokładności wynikająca z zastosowania aproksymacji wyższego rządu zależy w sposób wyraźny od ciągłości poszukiwanego rozwiązania. 20

Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora Oszacujmy błąd równania drugiej pochodnej przy aproksymacji centralnej. Drugą pochodną węźle j można przybliżać w następujący sposób: gdzie przez h =  x oznaczono krok siatki. Węzeł centralny siatki znajduje się w punkcie j o współrzędnej x, możemy zapisać zatem: 21

Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora Uwzględniając założenia, formułę można napisać w sposób następujący: Rozwijając funkcję y(x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x możemy zapisać: 22

Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru (28) otrzymujemy: Porównując lewą i prawą stronę powyższego równania widać że aproksymacja drugiej pochodnej funkcji w wyżej przedstawiony sposób różni się od wartości ścisłej o wartość: 23

Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora Pierwszy składnik powyższej sumy można traktować jako główną wartość błędu operatora różnicowego. –Błąd ten jest proporcjonalny do h 2, rośnie zatem (i maleje) z kwadratem długości siatki różnicowej. –Dwukrotnemu zmniejszeniu h towarzyszyć będzie zatem czterokrotne zmniejszenie tego błędu. 24