T A L E S z Miletu Dowód twierdzenia Pokaz programu PowerPoint XP Źródło tła: http://eduseek.interklasa.pl/pictures/artykuly/a_24/6w.jpg T A L E S z Miletu Dowód twierdzenia Opracowała: Magdalena Pęska Publiczne Gimnazjum Samorządowe w Kazimierzy Wielkiej Pokaz programu PowerPoint XP

Jak najłatwiej znieść nieszczęśliwy los? Zapytano Talesa: Jak najłatwiej znieść nieszczęśliwy los? Odpowiedział: Jeśli się widzi, że wrogowie są w jeszcze gorszym położeniu od nas. VI wiek p.n.e. Źródło fotografii: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~k2011/matematycy/tales.jpg

Tales z Miletu uważany jest za jednego z "siedmiu mędrców" czasów antycznych i za ojca nauki greckiej. Talesowi przypisuje się autorstwo następujących twierdzeń geometrycznych: Dowód, że średnica dzieli koło na połowy. Odkrycie twierdzenia, że kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym są równe. Twierdzenie o równości kątów wierzchołkowych. Twierdzenie o przystawaniu trójkątów o równym boku i przyległych dwóch kątach.

Tales sformułował ważne twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych. Znane są różne wersje tego twierdzenia. Oto jedna z nich. l A B C D E k l, k – proste równoległe Jeżeli dwie proste przecięte są kilkoma prostymi równoległymi, to stosunek dowolnych dwóch odcinków jednej prostej równa się stosunkowi odpowiednich odcinków drugiej prostej.

l, k – proste równoległe a b = c d c a b d Długości odcinków oznaczmy małymi literami. c a b d l k Założenie: l, k – proste równoległe Teza: a c b d =

PΔADB =½ b h1 PΔDEB =½ d h1 PΔADB PΔDEB ½ b h1 ½ d h1 b d = = PΔADB Trójkąty ADB i DEB mają wspólną wysokość h1. PΔADB =½ b h1 PΔDEB =½ d h1 C c Stosunek pól tych trójkątów wynosi: PΔADB PΔDEB ½ b h1 ½ d h1 b d B = = a PΔADB PΔDEB b d = h1 A b D d E l k l, k – proste równoległe

PΔADB =½ a h2 PΔDCB =½ c h2 PΔADB PΔDCB ½ a h2 ½ c h2 a c = = PΔADB Trójkąty ADB i DCB mają wspólną wysokość h2. Analogicznie: PΔADB =½ a h2 PΔDCB =½ c h2 C c Stosunek pól tych trójkątów wynosi: PΔADB PΔDCB ½ a h2 ½ c h2 a c B = = a PΔADB PΔDCB a c h2 = A b D d E l k l, k – proste równoległe

PΔDEB = PΔDCB Zauważmy, że: Trójkąty DEB i DCB C mają wspólną podstawę i równe wysokości, więc ich pola są równe. B PΔDEB = PΔDCB A D E l, k – proste równoległe k l

PΔADB PΔDCB = a c PΔADB PΔDEB = b d PΔDEB = PΔDCB PΔADB PΔDCB = a c = Uzasadniliśmy, że PΔADB PΔDCB = a c PΔADB PΔDEB = b d PΔDEB = PΔDCB , i Łącząc w jeden zapis otrzymujemy: l, k – proste równoległe C PΔADB PΔDCB = a c = PΔADB PΔDEB = b d c B wobec czego a a c b d = b d A D E co należało dowieść. k l

l, k – proste równoległe a c b d = a b = c d a b = a+c b+d a+c a = b+d Założenie: k l a b c d l, k – proste równoległe Teza: a c b d = y x Można udowodnić, że z twierdzenia Talesa wynikają też inne proporcje, często wykorzystywane przy rozwiązywaniu zadań: a b = c d a b = a+c b+d a+c a = b+d b x b = y b+d x a = y a+c