FUNKCJA POTĘGOWA
Funkcją potęgową o wykładniku c ( c 0 ) nazywamy funkcję x y = x c Definicja: Funkcją potęgową o wykładniku c ( c 0 ) nazywamy funkcję x y = x c I. Niech c N+ i c jest liczbą nieparzystą . Narysujmy wykresy funkcji : 1) y = x 1 2) y = x 3 3) y = x 5
y y = x 3 y = x 5 y = x 1 -1 1 x -1
. . . Własności: D = R Y = R ma miejsce zerowe jedno x0 = f w R f w R parzystość: jest nieparzysta różnowartościowość: jest różnowartościowa . . .
II. Niech c N+ i c jest liczbą parzystą . Narysujmy wykresy funkcji : 1) y = x 2 2) y = x 4 3) y = x 6
y y = x6 y = x4 y = x2 1 -1 1 x
. . . Własności: D = R Y = R+ { 0 } ma miejsce zerowe jedno x0 = f f w R- f w R+ parzystość: jest parzysta różnowartościowość: nie jest różnowartościowa . . .
III. Niech c C- i c jest liczbą nieparzystą . Narysujmy wykresy funkcji : 1 1) y = x –1 = x Z : x 0 1 2) y = x –3 = x3
y y = x-1 1 y = x –3 -1 1 x -1
. . Własności: D = R \ { 0 } Y = R \ { 0 } miejsca zerowe: nie ma miejsc zerowych f w R- f w R+ . parzystość: y = x –3 jest nieparzysta . różnowartościowość: jest różnowartościowa
IV. Niech c C- i c jest liczbą parzystą . Narysujmy wykresy funkcji : 1 Z : x 0 1) y = x –2 = x2 1 2) y = x –4 = x4
y y = x -2 y = x -4 1 x -1 1
. . Własności: D = R \ { 0 } Y = R + miejsca zerowe: nie ma miejsc zerowych f w R- f w R+ parzystość: . . jest parzysta różnowartościowość: nie jest różnowartościowa
y V. Niech c W Aby narysować wykres funkcji y =x 1 Aby narysować wykres funkcji y =x 2 dla x R + { 0 } należy 1 zauważyć , że funkcja y = x 2 jest funkcją odwrotną do y = x 2 Funkcja y = x2 w zbiorze R + { 0 } jest różnowartościowa zatem : y = x y 1 2 = x 1 Zamieniając zmienne otrzymujemy y = x 2
Obrazem punktu P ( x , y ) w symetrii osiowej Wykresy funkcji i funkcji do niej odwrotnej są symetryczne względem dwusiecznej ćwiartki I i III , czyli prostej y = x Przypomnienie: Obrazem punktu P ( x , y ) w symetrii osiowej względem prostej y = x jest punkt P ( y , x).
y (2,4) 4 (4,4) 2 (4,2) (2,2) 2 4 x
Aby narysować wykres funkcji y = x Zatem : 1 Aby narysować wykres funkcji y = x 2 Najpierw rysujemy wykres funkcji y = x 2 w R + { 0 } , a następnie przekształcamy go symetrycznie względem prostej : y = x
y y = x2 y = x ( 2 , 4 ) 4 1 y = x 2 2 ( 4 , 2 ) 1 ( 1 , 1 ) x 1 2 4
Czy jest to funkcja potęgowa? NIE Ćwiczenie: 1. Sporządź wykres funkcji : y = x3 + 1 y = x3 + 1 Etapy konstrukcji : a ) rysujemy wykres funkcji y = x 3 y = x3 y b) przekształcamy go przez Tu u = [ 0,1 ] 1 1 x Czy jest to funkcja potęgowa? NIE
Czy jest to funkcja potęgowa? NIE y = x 4 y Ćwiczenie: 2. Sporządź wykres funkcji : y = x4 - 3 Etapy konstrukcji : a ) rysujemy wykres funkcji y = x 4 b) przekształcamy go przez Tu y = x4 - 3 u = [ 0,-3 ] 1 1 x Czy jest to funkcja potęgowa? NIE -3
Czy jest to funkcja potęgowa? NIE y = x 4 y Ćwiczenie: 3. Sporządź wykres funkcji : y = 2 - x4 Etapy konstrukcji : a ) rysujemy wykres funkcji y = x 4 b) przekształcamy go przez S x 2 i otrzymujemy wykres y = - x4 1 c) otrzymany wykres przekształcamy przez Tu , u [ 0 , 2 ] 1 x y = 2 - x4 Czy jest to funkcja potęgowa? NIE y = -x4
Czy jest to funkcja potęgowa? NIE Ćwiczenie: y 4. Sporządź wykres funkcji : y = -x -4 + 2 Etapy konstrukcji : y = x -4 a ) rysujemy wykres funkcji y = x -4 b) przekształcamy go przez S x i otrzymujemy wykres y = -x -4 y = -x -4 + 2 1 c) a następnie przez Tu u = [ 0 , 2 ] -1 1 x Czy jest to funkcja potęgowa? -1 NIE y = -x -4
Ćwiczenie: 5. Sporządź wykres funkcji y = x gdy x R+ { 0 } 1 5. Sporządź wykres funkcji y = x 3 y gdy x R+ { 0 } y = x 3 Etapy konstrukcji: y = x a) Rysujemy wykres funkcji y = x 3 b) Przekształcamy go przez symetrię osiową względem prostej y = x 1 y = x 3 1 1 Czy jest to funkcja potęgowa? x TAK