Dekompozycja sygnałów Szereg Fouriera Dekompozycja sygnału na składowe - idea Optymalna aproksymacja sygnału Sygnały ortogonalne Ortogonalność i sygnał wykładniczy Ortogonalny układ funkcji zespolonych Ortogonalny układ zespolonych sygnałów wykładniczych Wykładniczy szereg Fouriera Trygonometryczny szereg Fouriera Charakterystyki częstotliwościowe Joseph Fourier Podsumowanie „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Dekompozycja sygnału na składowe - idea ULS ULS Dekompozycja dowolnego sygnału x(t) na składowe wykładnicze Xnexp(snt) pozwala wyznaczyć odpowiedź ULS na dowolny sygnał wejściowy. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Optymalna aproksymacja sygnału Znamy sygnał x(t) oraz sygnał go aproksymujący xa(t). Poszukujemy amplitudy sygnału cxa(t) tak, aby zapewnić jak najlepszą aproksymację: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Rozwiązanie „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Aproksymacja impulsu prostokątnego 1 harmoniczna -0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 czas t y(t) = (4/pi) * cos(pi*t) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Aproksymacja impulsu prostokątnego 1 + 3 harmoniczna -0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 czas t y=(4/pi) * cos(pi*t) - (4/3pi) * cos(3*pi*t) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Aproksymacja impulsu prostokątnego 1 + 3 + 5 harmoniczna -0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 czas t y = (4/pi) * cos(pi*t) - (4/3pi) * cos(3*pi*t) + + (4/5pi) * cos(5*pi*t) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Aproksymacja impulsu prostokątnego 1 + 3 + 5 + ... + 11 harmoniczna 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 Aproksymacja za pomocą 11 harmonicznych 0.2 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 czas t „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Aproksymacja impulsu trójkątnego 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 harmoniczna 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.2 1.2 czas t „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Sygnały ortogonalne „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Sygnały ortogonalne „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Optymalna aproksymacja „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Błąd optymalnej aproksymacji W miarę wydłużania aproksymacji ortogonalnej jej błąd maleje. Nieskończona długość aproksymacji ortogonalnej umożliwia dokładną reprezentację ortogonalną sygnału. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Ortogonalność i sygnał wykładniczy ULS Czy można znaleźć ortogonalną reprezentację wykładniczą? łatwość wyznaczania współczynników reprezentacji; łatwość opisu przetwarzania sygnału w ULS. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Ortogonalny układ funkcji zespolonych „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Ortogonalny układ zespolonych sygnałów wykładniczych „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Ortogonalny układ zespolonych sygnałów wykładniczych „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Wykładniczy szereg Fouriera Wykładniczy szereg Fouriera przedstawia sygnał jako złożenie zespolonych drgań harmonicznych o różnych amplitudach. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Trygonometryczny szereg Fouriera Dla sygnałów rzeczywistych jest spełniony związek: Postać wykładnicza współczynnika szeregu Fouriera: Trygonometryczny szereg Fouriera przedstawia sygnał jako złożenie drgań harmonicznych o różnych amplitudach i fazach początkowych. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Trygonometryczny szereg Fouriera „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Okresowość szeregu Fouriera Wykładniczy szereg Fouriera jest okresowy, a więc generuje okresowe przedłużenie sygnału x(t) w przedziale rozwinięcia t0 < t < t0 + T. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Okresowość szeregu Fouriera x(t) -T/2 +T/2 t okresowe przedłużenie sygnału przez szereg Fouriera Trygonometryczny szereg Fouriera „pokrywa się” dokładnie z sygnałem, jeżeli jest on okresowy, a długość przedziału rozwinięcia jest równa okresowi. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Charakterystyki częstotliwościowe Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa (a-cz): Charakterystyka fazowo-częstotliwościowa (f-cz): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Charakterystyki częstotliwościowe Dla sygnałów rzeczywistych jest spełniony związek: Postać wykładnicza współczynnika szeregu Fouriera: Charakterystyka a-cz jest funkcją parzystą: Charakterystyka f-cz jest funkcją nieparzystą: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Charakterystyki częstotliwościowe 2 4 6 8 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Joseph Fourier Matematyk i fizyk francuski 1768 - 1830 1798 - wyprawa z Napoleonem do Egiptu 1807 - posiedzenie Francuskiej Akademii Nauk; J. Fourier przedstawia szereg trygonometryczny Badanie szeregów Fouriera przyczyniło się do wielu odkryć matematycznych - całek Riemanna i Lebesgue’a, mocy zbioru, rodzajów zbieżności szeregów funkcyjnych oraz uogólnień definicji funkcji i różniczkowalności. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Podsumowanie Dekompozycja dowolnego sygnału x(t) na składowe wykładnicze Xnexp(snt) pozwala wyznaczyć odpowiedź ULS na dowolny sygnał wejściowy. Minimalizacja błędu średniokwadratowego (w sensie całkowym) pozwala wyznaczyć optymalną aproksymację sygnału. Aproksymacja sygnału polepsza się wraz ze wzrostem liczby sygnałów aproksymujących. Ortogonalność (w sensie całkowym) sygnałów aproksymujących istotnie ułatwia wyznaczenie optymalnej aproksymacji. W miarę wydłużania aproksymacji ortogonalnej jej błąd maleje. Nieskończona długość aproksymacji ortogonalnej umożliwia dokładną reprezentację ortogonalną sygnału. Ortogonalny układ sygnałów wykładniczych można skonstruować, gdy dopuścimy urojone wartości wykładników. Trygonometryczny szereg Fouriera przedstawia sygnał jako złożenie drgań harmonicznych o różnych amplitudach i fazach początkowych. Wykładniczy szereg Fouriera przedstawia rozkład widmowy wyłącznie sygnałów okresowych. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir