Matematyka Starzenia – Modele Skracania Telomerów Andrzej Świerniak Politechnika Śląska, Instytut Automatyki

Skracanie telomerów-matematyka starzenia niekompletna replikacja : polimeraza DNA porusza się w jednym kierunku i końce 3’ nie są kopiowane u bakterii problemu nie ma, bo chromosomy są koliste

Hipotezy Eukaryota mają liniowe chromosomy, coś trzeba skorygować, bo w innym przypadku sukcesywnie by się skracały Idea: Trzeba dodać nadmiarowe zakończenia, które można skracać bez utraty informacji genetycznej Telomery są zbudowane z końcowych fragmentów ograniczonych (TRF’s), u człowieka złożonych z powtórzeń TTAGGG lub podobnych. Olovnikov (JTB 1974) postawił hipotezę o starzeniu się komórek: somatyczne komórki z każdym podziałem tracą telomerowe zakończenia

Blackburn (2000) Nature

Shiels et al (1999) Nature Cloned Control Telomery słynnej owcy

Długości telomerów w klonowanych myszach

Telomeraza Tromans (2000) Nature Cell Biology

Najprostszy model

Zredukowany model

Deterministyczny model różnicowy M i (t ) - liczba komórek typu i, w pokoleniu t

Dla dużych czasów: Zachowanie asymptotyczne

Model stochastyczny Warunek początkowy: M ij (0) =  ij A dla: M i (0) > 0, i  N j j-1 j-2...   M ij (t) - średnia liczba komórek typu j pochodzących od przodka typu i Czas międzypodziałowy - zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym z parametrem

Dowolny rozkład czasów międzypodziałowych Przypadek identycznych rozkładów dla różnych typów G(t) jest średnią liczbą komórek typu i – j w n-tej generacji gdzie * oznacza splot, G *n jest n-krotnym splotem funkcji rozkładu, a

Dodatnie sprzężenie w modelach Kompartm. Model deterministyczny

wykł dowolny

Inne asymptotyki(Olofsson 2000) Prawdopodobieństwo przeżycia komórki typu 0 wynosi p, a pozostałych - q p = q p < q p > q

0<p<q<1 }

Uwagi końcowe W rozważanym procesie modele miały postać liniowych nieskończenie wymiarowych układów równań, których pełna analiza jest złożona. Stosując różne metody teorii sterowania możliwe jest jednak Stosunkowo proste określenie zachowań asymptotycznych. Z wiekiem długość zakończeń telomerowych maleje, ale jest szansa, że nie do zera. Czy Szwedzi mają dłuższe telomery, czy tylko lepiej liczą asymptoty? Tak czy tak, średnio żyją dłużej niż my.