Sterowanie rozmyte i neuronowe I

Istnieje potrzeba alternatywnych podejść Podejście konwencjonalne do sterowania – oparte o matematyczną teorię sterowania  oparte jest na modelach matematycznych, zwykle w postaci równań różniczkowych lub różnicowych  dla tych modeli opracowane zostały metody i procedury projektowania, analizy i weryfikacji ale .... podejście takie jest efektywne dla niezbyt szerokiej klasy modeli (liniowe modele i niektóre rodzaje modeli nieliniowych) nawet jeżeli uzyskanie modelu jest możliwe, brak jest czasem czasu i środków na realizację procedury jego budowania Istnieje potrzeba alternatywnych podejść

Sterowanie inteligentne Termin pojawił się około trzydzieści lat temu dla określenia paradygmatu sterowania stawiającego sobie bardziej ambitne cele niż sterowanie konwencjonalne: * osiągać określone cele sterowania nawet przy braku szczegółowej wiedzy o obiekcie/systemie sterowanym * radzić sobie w nieprzewidzianymi zmianami obiektu/systemu i jego otoczenia * pozyskiwać i organizować wiedzę o otoczeniu obiektu oraz przewidywać zachowanie tego otoczenia ......... Nie powstały do tej pory tak „inteligentne” systemy sterowania

Dzisiaj termin „inteligentny” używany jest dla łącznego określenia technik wywodzących się z dziedziny „sztucznej inteligencji”, których zamiarem jest replikacja pewnych kluczowych komponentów inteligencji jak np. uczenia się, wnioskowania, ..... Co uznaje się za cel sztucznej inteligencji? Celem sztucznej inteligencji, jako dziedziny badań i wiedzy, jest rozwijanie paradygmatów, metod i algorytmów, które wykorzystują komputery do realizacji zadań, rozwiązywanych przez człowieka lub inne żywe organizmy lub ich zbiorowości, i których realizacji przypisuje się konieczność występowania zdolności inteligentnych

Systemy sztucznej inteligencji muszą być zdolne wykonywać trzy rzeczy:  przechowywać wiedzę (w postaci jakiejś reprezentacji)  wykorzystywać przechowywaną wiedzę do rozwiązywania problemów (wnioskować w oparciu o wiedzę)  nabywać nową wiedzę drogą doświadczenia (uczenia)

Do technik sztucznej inteligencji zalicza się: * sztuczne sieci neuronowe * systemy rozmyte * algorytmy genetyczne * systemy ekspertowe * …….. * różne połączenia wymienionych narzędzi * sieci

Systemy rozmyte w inżynierii sterowania Początki i rozwój pierwsze prace L. Zadeh’a – lata sześćdziesiąte (1965) XX wieku brak akceptacji ze strony środowiska naukowego i przemysłu pierwsze prace E.H. Mamdani’ego dotyczące zastosowania systemów rozmytych w sterowaniu – lata siedemdziesiąte (1974) XX wieku stopniowa akceptacja systemów rozmytych jako metody naukowej w sterowaniu – lata dziewięćdziesiąte XX wieku

Z: C. Dualibe, M. Verleysen, P. G. A. Jespers (2003) Z: C.Dualibe, M.Verleysen, P.G.A. Jespers (2003). Design of Analog Fuzzy Logic Controllers in CMOS Technology. Kluwer Academic Press.

Z: C. Dualibe, M. Verleysen, P. G. A. Jespers (2003) Z: C.Dualibe, M.Verleysen, P.G.A. Jespers (2003). Design of Analog Fuzzy Logic Controllers in CMOS Technology. Kluwer Academic Press.

Z: C. Dualibe, M. Verleysen, P. G. A. Jespers (2003) Z: C.Dualibe, M.Verleysen, P.G.A. Jespers (2003). Design of Analog Fuzzy Logic Controllers in CMOS Technology. Kluwer Academic Press.

c.d.

c.d.

Systemy rozmyte - podstawy Systemy rozmyte są m.in. modelami przetwarzającymi informację za pomocą zbioru reguł rozmytych „jeżeli – to” Rozmytość jest sposobem reprezentowania niejednoznaczności (niepewności) w określeniach lingwistycznych (n.p. wysoka temperatura)

Jak wygląda system rozmyty i jak działa? Przykład: lingwistyczny system rozmyty Mechanizm/system wnioskowania rozmytego + y* Baza reguł rozmytych zmienna rozmyta wartość zmiennej rozmytej x* Aktualna wartość wejścia x*, ani Small, ani Medium na pewno nie Large – jaka powinna być odpowiadająca takiej aktualnej wartości wejścia, aktualna wartość wyjścia y * ?

W systemach rozmytych zależności pomiędzy zmiennymi systemu są reprezentowane za pomocą reguł IF-THEN mających ogólną następującą postać Przykłady reguł nazywanych regułami rozmytymi

Rozmyta reguła IF – THEN – możliwa postać Inne nazwy: reguła rozmyta (fuzzy rule), rozmyta implikacja (fuzzy implication), rozmyte zdanie warunkowe (fuzzy conditional statement) Forma: gdzie x, y – zmienne rozmyte/lingwistyczne A, B – wartości zmiennych rozmytych/lingwistycznych, odpowiednio x i y, zdefiniowane jako zbiory rozmyte na przestrzeniach rozważań X i Y Określenia: x is A – poprzednik, przesłanka y is B – następnik, konkluzja, rezultat,

Stwierdzenie przesłanki ma zawsze postać: Stwierdzenie konkluzji może mieć różną postać w zależności od typu systemu rozmytego

System rozmyty: Zbiór reguł wyposażony w odpowiedni system wnioskowania i stosowne do systemu wnioskowania systemy wejścia i wyjścia

Typowy układ sterowania rozmytego – struktura i elementy Regulator rozmyty składa się z czterech następujących elementów: 1. Bazy reguł (zbiór reguł If-Then), która zawiera wyrażoną w logice rozmytej kwantyfikację lingwistycznego opisu tego jak osiągnąć dobre sterowanie

Typowy układ sterowania rozmytego – struktura i elementy – c.d. 2. Mechanizmu wnioskowania (nazywanego też modułem wnioskowania rozmytego), który emuluje podejmowanie decyzji interpretując i stosując wiedzę o to tym jak najlepiej sterować procesem

Typowy układ sterowania rozmytego – struktura i elementy – c.d. 3. Interfejsu rozmywania (fuzzification interface), który przetwarza ostre (crisp) wejścia regulatora w informację, którą mechanizm wnioskowania może łatwo użyć do uaktywnienia i stosowania reguł

Typowy układ sterowania rozmytego – struktura i elementy – c.d. 4. Interfejsu wyostrzania (deffuzification interface), który przetwarza konkluzje mechanizmu wnioskowania w rzeczywiste wejścia dla procesu

Czy istnieje jeden rodzaj systemów rozmytych? Nie Wymienimy najczęściej stosowane w sterowaniu i podejmowaniu decyzji:  System rozmyty Mamdani’ego (M) - lingwistyczny system rozmyty  System rozmyty Takagi-Sugeno (TS)

Zmienne rozmyte, wartości zmiennych rozmytych Wszystkie zbiory definiujemy w przestrzeni rozważań Definicja:    - przestrzeń rozważań, uniwersalny zbiór będący przedmiotem naszego zainteresowania

Definicj: Zbiór rozmyty (fuzzy set) Niech X , dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem rozmytym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par: gdzie: A jest funkcją przynależności (membership function) zbioru rozmytego A, która każdemu elementowi xX przypisuje stopień jego przynależności (grade of membership) A (x) do zbioru rozmytego A, przy czym:

Przykład: Funkcja przynależności zbioru zwykłego Funkcja przynależności zbioru rozmytego

Wysoki w Chinach Wysoki w Europie Wysoki w NBA Definicja zbioru rozmytego jest subiektywna (zależy od osądów autora) i zależna od kontekstu Wysoki w Chinach Wysoki w Europie Wysoki w NBA

Przykład definiowania wartości zmiennych rozmytych dla sterowania wahadłem odwróconym Obiekt Struktura systemu sterowania

Odchylenie od położenia pożądanego Położenie pożądane Wejścia regulatora: Odchylenie od położenia pożądanego Położenie pożądane Położenie aktualne Wyjście regulatora: Zmiana odchylenia od położenia pożądanego Siła przyłożona do wózka – u(t)

Zmienne lingwistyczne: Pożądane położenie: „Odchylenie” – e(t) r(t) = 0 „Zmiana odchylenia” – Zależności: „Siła” – u(t) Konwencja: Położenie  +  Odchylenie - ; Położenie  -  Odchylenie + Zmiana położenia  +  Zmiana odchylenia - ; Zmiana położenia  -  Zmiana odchylenia + Siła  +

Wartości lingwistyczne (dla wszystkich zmiennych):  ujemna, duża co do wartości – „neglarge”  ujemna, mała co do wartości – „negsmall”  zero – „zero”  dodatnia, mała co do wartości – „possmall”  dodatnia, duża co do wartości – „poslarge”

Wahadło odwrócone w różnych pozycjach Położenie pożądane Odchylenie dodatnie Odchylenie ujemne Odchylenie zerowe Zmiana odchylenia dodatnia Zmiana odchylenia ujemna Siła dodatnia

Zdefiniowanie wartości rozmytych dla poszczególnych zmiennych rozmytych

Charakterystyczne zbiory rozmyte Pusty zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość zero dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem pustym i oznaczany jest symbolem : Uniwersalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość jeden dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem uniwersalnym i oznaczany jest symbolem U:

Normalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) przyjmuje wartości pomiędzy 0 a 1, łącznie z 1, nazywany jest zbiorem normalnym rozmytym

Singleton (jednoelementowy zbiór rozmyty): Singleton jest to taki zbiór rozmyty A, którego nośnik S(A) zawiera tylko jeden element o stopniu przynależności różnym od zera

Operacje (logiczne, mnogościowe) na zbiorach rozmytych Główne operatory logiczne: 1. Operacja przecięcia (intersection) zbiorów rozmytych 2. Operacja połączenia (union) zbiorów rozmytych 3. Operacja negacji (complement) zbioru rozmytego

Definicja: Zawieranie (containment) lub podzbiór  Zbiór rozmyty A jest zawarty w zbiorze rozmytym B (lub, równoważnie, A jest podzbiorem B, lub A jest mniejszy lub równy B) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x Przykład:

Definicja klasyczna: Przecięcie (intersection) zbiorów rozmytych  Przecięcie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C, co zapisuje się jako C = A  B lub C = A AND B, którego funkcja przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością: Przykład:

Operator min nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji przecięcia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji przecięcia Najczęściej stosowanymi operatorami przecięcia zbiorów rozmytych AB są tak zwane T-normy (triangular norm)

Operatory T – normy dzielą się na nastawialne (sparametryzowane) i nienastawialne Niektóre nienastawialne operatory T – normy

Definicja: Połączenie (union) zbiorów rozmytych  Połączenie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C, co zapisuje się jako C = A  B lub C = A OR B, którego funkcja przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością: Przykład:

Operator max nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji połączenia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji połączenia Najczęściej stosowanymi operatorami połączenia zbiorów rozmytych AB są tak zwane S-normy

Operatory S – normy dzielą się na nastawialne (sparametryzowane) i nienastawialne Niektóre nienastawialne operatory S – normy

Operacja negacji (complement, negation) zbioru rozmytego W logice nierozmytej: Definicja: Negacja (complement) zbioru rozmytego  Negacja zbioru rozmytego A jest zbiorem rozmytym A, określonym zależnością: Przykład:

Inne operacje negacji 1. Negacje Sugeno (parametryzowane) gdzie 2. Negacje Yager’a (parametryzowane) gdzie

Dla wyróżnienia operatory: przecięcie połączenie negacja są nazywane klasycznymi lub standardowymi operatorami rozmytymi

System rozmyty Mamdani’ego (M) - lingwistyczny system rozmyty Można pokazać, że jako ogólną postać bazy reguł rozmytych można rozważać bazę składającą się z reguł o następującej jednolitej postaci: gdzie, Aij oraz Bi są zbiorami rozmytymi w Xj  R oraz Y  R Ponadto oraz x oraz y są nazywane odpowiednio wejściami i wyjściem systemu rozmytego () Taką bazę reguł nazywamy bazą w postaci koniunkcyjnej

Zbiór reguł przy koniunkcyjnej formie przesłanek bazy reguł dzieli dziedzinę wejścia na kratownicę rozmytych hiperskrzynek. Każda hiperskrzynka jest przecięciem odpowiednich jednowymiarowych zbiorów rozmytych wejścia systemu Liczba reguł w koniunkcyjnej formie, potrzebna do pokrycia całego obszaru wejścia określona jest wzorem gdzie p jest wymiarem przestrzeni wejścia a Ni jest liczbą wartości lingwistycznych przypisywanych i-tej zmiennej wejścia (przesłanki)

Cecha poprawnie zbudowanej bazy reguł Kompletność. Zbiór reguł JEŻELI-TO jest kompletny (zupełny), jeżeli dla każdego elementu przestrzeni rozważań istnieje co najmniej jedna reguła w bazie taka, że w jej przesłance istnieje zbiór rozmyty do którego stopień przynależności elementu jest różny od zera (większy od zera)

Rozszerzenie cylindryczne zbioru rozmytego Operacje na zbiorach możemy przeprowadzać na zbiorach zdefiniowanych w jednej przestrzeni rozważań Jak realizować operacje na zbiorach rozmytych zdefiniowanych w różnych przestrzeniach rozważań? Rozszerzenie cylindryczne zbioru rozmytego Każdy n-wymiarowy zbiór rozmyty może być rozszerzony do wymiaru n+1 za pomocą rozszerzenie cylindrycznego Projekcja zbioru rozmytego Każdy n+1 - wymiarowy zbiór rozmyty może być ścieśniony do wymiaru n za pomocą projekcji

Przykład: rozszerzenie cylindryczne z R do R2

Przykład: projekcja z R2 do R

Operacje takie jak połączenie lub przecięcie zastosowane do zbiorów rozmytych zdefiniowanych w różnych przestrzeniach rozważań prowadzą do wielowymiarowych zbiorów rozmytych na iloczynach kartezjańskich tych przestrzeni W istocie operacje takie realizowane są poprzez, najpierw realizację rozszerzenia cylindrycznego a dopiero potem samej wymaganej operacji na rozszerzeniach zbiorów

Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych Niech A i B będą zbiorami rozmytymi w przestrzeniach X i Y odpowiednio, określonymi w nich funkcjami przynależności μA(·) i μB(·). Iloczyn kartezjański zbiorów A i B, oznaczony AxB, jest zbiorem rozmytym w przestrzeni X x Y mającym funkcję przynależności mającym funkcję przynależności np.

Suma kartezjańska zbiorów rozmytych Niech A i B będą zbiorami rozmytymi w przestrzeniach X i Y odpowiednio, określonymi w nich funkcjami przynależności μA(·) i μB(·). Suma kartezjańska zbiorów A i B, oznaczona A+B, jest zbiorem rozmytym w przestrzeni X x Y mającym funkcję przynależności np.

Model lingwistyczny - wnioskowanie Wnioskowanie rozmyte, nazywane też rozumowaniem przybliżonym, jest procedurą wnioskowania, która wyprowadza konkluzje w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia Wnioskowanie w systemie opartym o reguły rozmyte jest procesem opartym na złożeniowej zasadzie wnioskowania (Zadeh-1973)

Szkic podejścia uproszczonego – wnioskowania Mamdaniego Możliwe realizacje:  Podejście formalne  Podejście uproszczone – wnioskowanie Mamdaniego Szkic podejścia uproszczonego – wnioskowania Mamdaniego

Wnioskowanie Mamdani’ego 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł przez fakt: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia (wniosku) dla każdej z reguł: 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia:

Wnioskowanie Mamdani’ego – ilustracja

Wyostrzanie - defuzyfikacja Defuzyfikacja zbioru rozmytego B’(y) (całościowej wynikowej funkcji przynależności zbioru reguł i faktu) to operacja określenia „ostrej” wartości y’ reprezentującej ten zbiór (w sposób jak najbardziej sensowny) Najbardziej znane metody defuzyfikacji:  metoda środka maksimum (SM) – Middle of Max (MOM), Mean of Maxima (MOM)  metoda pierwszego maksimum (PM) – Smallest of Max (SOM),  metoda ostatniego maksimum (OM) – Largest of Max (LOM)  metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG)  metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA)

Wyostrzanie - defuzyfikacja

Metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG) Metoda środka ciężkości (SC) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y środka ciężkości powierzchni pod krzywą określoną tą funkcją

Metoda środka maksimum (SM) - Middle of Max (MOM) Metoda środka maksimum (SM) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y będącą wartością średnią wyjść dla których wynikowa funkcja przynależności osiąga maksimum

Przypomnienie - wnioskowanie Mamdani’ego: przypadek SISO 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia poszczególnych reguł: 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia: } Wymaga modyfikacji ! } Nie wymaga modyfikacji } Nie wymaga modyfikacji Rozważana pojedyncza reguła ma postać a wejście systemu pytamy o wyjście systemu

Modyfikacja kroku 1.

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu