Wybrane zadania automatyka, w których stosuje on modele: (a) Sterowanie procesami (regulacja w otoczeniu pewnego nominalnego punktu pracy, śledzenie trajektorii z znacznymi procesami przejściowymi, sterowanie optymalne...); Projektowanie regulatora Pożądana jakość Model obiektu Parametry/nastawy regulatora Regulator Trajektoria/wartość zadana Obiekt sterowany

(b) Predykcja zachowań systemu sterowanego (krótkookresowych, długookresowych) – sterowanie predykcyjne, sterowanie adaptacyjne; Przeszłe wejścia (sterowania) i wyjścia Przyszłe wejścia (sterowania) Model obiektu Predykowane wyjścia Trajektoria referencyjna wyjścia Optymalizator Różnica wyjść Ograniczenia Funkcja kryterialna

(c) Przetwarzanie sygnałów (likwidacja szumów, filtrowanie (np (c) Przetwarzanie sygnałów (likwidacja szumów, filtrowanie (np. zastosowanie filtru Kalmana wymaga modelu procesu generującego dane), interpolacja ...);

(d) Estymacja, w oparciu o pomiary pośrednie, wielkości, których pomiary są niedostępne (budowa obserwatorów, filtrów). System Obserwator

(rzeczownik odczasownikowy od modelować) Modelowanie Modelowanie (rzeczownik odczasownikowy od modelować) - robienie, tworzenie modelu model Reprezentacja istniejącego lub hipotetycznego fragmentu rzeczywistości w postaci innej niż ta, w jakiej on istnieje lub będzie istniał (występuje lub będzie występował) naprawdę modelowanie Tworzenie reprezentacji istniejącego lub hipotetycznego fragmentu rzeczywistości w postaci innej niż ta, w jakiej on istnieje lub będzie istniał (występuje lub będzie występował) naprawdę

Modelowanie Właściwości modelowania 1. Tworzenie reprezentacji Na tworzoną reprezentację ma wpływ cel jakiemu ma ona potem służyć Niezależne od tego do czego będzie służyć? Nie! 2. Tworzenie reprezentacji Tworzona reprezentacja może być uproszczona, pozbawiona szczegółów i cech nieistotnych dla celów modelowania Dokładne? Nie! Ścisłe? Precyzyjne?

Modelowanie Modelowanie to tworzenie, w określonym celu, reprezentacji istniejącego lub hipotetycznego fragmentu rzeczywistości w postaci innej niż ta, w jakiej on istnieje lub będzie istniał (występuje lub będzie występował) naprawdę, pozbawionej szczegółów i cech nieistotnych dla osiągnięcia postawionego celu Definicja modelowania: Definicja modelu: Modelem nazywamy reprezentację istniejącego lub hipotetycznego fragmentu rzeczywistości w postaci innej niż ta w jakiej on istnieje lub będzie istniał (występuje lub będzie występował) naprawdę, tworzoną w określonym celu, pozbawioną szczegółów i cech nieistotnych dla osiągnięcia postawionego celu

Matematyka a modelowanie matematyczne - Dodatek A (przymiotnik określający jakie jest działanie o podanej nazwie) matematyczne oparte na metodach właściwych matematyce Matematyka a modelowanie matematyczne - Dodatek A

Modelowanie matematyczne - tworzenie, w określonym celu, reprezentacji istniejącego lub hipotetycznego fragmentu rzeczywistości w postaci innej niż ta, w jakiej on istnieje lub będzie istniał (występuje lub będzie występował) naprawdę, pozbawionej szczegółów i cech nieistotnych dla osiągnięcia postawionego celu matematyczne - oparte na metodach właściwych matematyce

metody właściwe matematyce Modelowanie matematyczne metody właściwe matematyce Matematyka zajmuje się:  zbiorami liczb, operatorów (przekształceń, funkcji, relacji) i innych elementów abstrakcyjnych Matematyka tworzy:  zasady posługiwania się (operowania) tymi zbiorami i ich elementami matematyczne korzystające ze zbiorów liczb (mogą być zapisane symbolami) i operatorów matematycznych z którymi związane są ścisłe zasady posługiwania się nimi

Modelowanie matematyczne - tworzenie, w określonym celu, reprezentacji istniejącego lub hipotetycznego fragmentu rzeczywistości, z wykorzystaniem skończonego zbioru symboli i operatorów matematycznych, z którymi związane są ścisłe zasady posługiwania się nimi, pozbawionej szczegółów i cech nieistotnych dla osiągnięcia tego celu

Modelowanie matematyczne  model jest reprezentacją fragmentu rzeczywistości Przypomnienie  jest budowany w określonym celu, zawsze związanym z ustalaniem związków (operatory) pomiędzy wielkościami (symbole) , które opisują interesujący nas fragment rzeczywistości Symbole i operatory muszą mieć interpretację odnoszącą je do konkretnych elementów modelowanego fragmentu rzeczywistości

Modelowanie matematyczne Definicja modelu matematycznego: Modelem matematycznym nazywamy reprezentację istniejącego lub hipotetycznego fragmentu rzeczywistości, tworzoną w określonym celu, z wykorzystaniem skończonego zbioru symboli i operatorów matematycznych, z którymi związane są ścisłe zasady posługiwania się nimi, pozbawioną szczegółów i cech nieistotnych dla osiągnięcia postawionego celu. Zawarte w modelu symbole i operatory matematyczne mają interpretację odnoszącą je do konkretnych elementów modelowanego fragmentu rzeczywistości

Na potrzeby tego przedmiotu modelowanie będzie rozumiane jako proces ustalania struktury modelu w oparciu o dostępną wiedzę i/lub dostępne obserwacje

Zakres stosowalności modelowania matematycznego - Dodatek B Rozwój modelowania – wykorzystywane podobieństwa – Dodatek C

Rożne definicje systemu - Dodatek D Zwięzła definicja systemu: System - jest to wyodrębniony z otoczenia fragment rzeczywistości, którego właściwości chcielibyśmy badać, składający się z elementów tworzących funkcjonalna całość, na który otoczenie zwykle oddziałuje za pomocą wielkości wejściowych (bodźców) i który zwykle oddziałuje na otocznie za pośrednictwem wielkości wyjściowych (reakcji) Idee wokół których budowane jest pojecie systemu:  wyodrębnienie systemu z otoczenia  funkcja spełniana przez system  budowa systemu z zależnych elementów  …… Rożne definicje systemu - Dodatek D

wyodrębnienie systemu z otoczenia Istotny krok definiowania systemu: wyodrębnienie systemu z otoczenia Wyodrębnienie systemu z otoczenia: określenie wielkości wejściowych i wyjściowych wiążących system z otoczeniem

Przykłady: Oferty kupna Cena akcji IBM Rynek papierów wartościowych Oferty sprzedaży Rynek papierów wartościowych Cena akcji IBM Cena akcji Intel’a Wysiłek, starania prowadzących MiPI5: Modelowanie i podstawy identyfikacji Stopnie studentów Oceny prowadzących Wysiłek, starania studentów Wejścia, wyjścia systemu sterowanego – Dodatek E

Fakt: prawie każdy system rzeczywisty jest systemem dynamicznym System dynamiczny Fakt: prawie każdy system rzeczywisty jest systemem dynamicznym Jak przejawia się dynamika systemu? Na wartości wielkości wyjściowych systemu w chwili t, mają wpływ nie tylko wartości wielkości wejściowych w tej właśnie chwili, ale również ich wartości w chwilach wcześniejszych od t Jak rozpoznać systemy dynamiczne? System przejawia właściwości dynamiczne, jeżeli zawiera elementy posiadające zdolność magazynowania i oddawania energii

Przykłady: k/2 f M Mn Mo 

uf - + Cf R iwe ig if eg uwe uwy uwe -K Rwe, Rwy Przykłady: uwe(t) uwy(t) uR(t) uL(t) uC(t) iRL(t) iobc(t) iC(t) R L C

Natężenie wypływu wody Qwy Natężenie dopływu wody Qwe L Powierzchnia A Ts Ti T Przewodzenie, K Konwekcja, h Przykłady: Natężenie wypływu wody Qwy Natężenie dopływu wody Qwe Objętość wody w zbiorniku V Powierzchnia lustra wody A h Zawór

W rzeczywistych systemach dynamicznych przebieg wielkości wyjściowych y do chwili t nie zależy od wielkości wejściowych w chwili t i chwilach późniejszych - domniemanie, że między wielkościami wejściowymi i wyjściowymi istnieje związek przyczynowy

Przejawianie przez systemy właściwości dynamiki wynika z następujących zasad:  przy ograniczonych wydajnościach źródeł, każda, nie nieskończenie mała, zmiana stanu energetycznego, materiałowego lub informacyjnego wymaga pewnego czasu - bezwładność • każde skończone przemieszczenie się materii, energii lub informacji w przestrzeni wymaga czasu - opóźnienie transportowe

Mn Mo  Przykłady: Bezwładność . u y vt L Opóźnienie

Stan systemu dynamicznego (nie wykazującego występowania opóźnień) Przez stan systemu rozumie się najmniejszą liczbę wielkości, których znajomość wartości w danej chwili t0, przy znajomości wartości wielkości wejściowych, począwszy od tej chwili t0, pozwala określić jednoznacznie stan i wielkości wyjściowe systemu w przyszłości (w chwilach następnych) u(t); t  t0 x(t); t  t0 x(t0) y(t); t  t0

Stan systemu dynamicznego (wykazującego występowanie opóźnień) Przez stan systemu rozumie się najmniejszą liczbę wielkości, których znajomość wartości w danej chwili t0 oraz na przedziale czasu o długości opóźnienia poprzedzającego chwilę t0, przy znajomości wartości wielkości wejściowych, począwszy od tej chwili t0, pozwala określić jednoznacznie stan i wielkości wyjściowe systemu w przyszłości (w chwilach następnych) u(t); t  t0 x(t); t  t0 x(t0) x(t); t[Td t0) y(t); t  t0

Modele wejście-wyjście i modele stanu Modele wejście-wyjście to dowolna reprezentacja matematyczna relacji pomiędzy zmiennymi wejścia i wyjścia systemu Modele stanu to dowolna reprezentacja matematyczna relacji pomiędzy zmiennymi wejścia, stanu i wyjścia systemu

Jak rozpoznać system statyczny? Systemy statyczne - wartości wielkości wejściowych w chwilach innych niż bieżąca chwila t nie mają wpływu na wartości wielkości wyjściowych w tej chwili Jak rozpoznać system statyczny? System przejawia właściwości statyczne, jeżeli zawiera jedynie elementy posiadające zdolność rozpraszania i/lub przekształcania energii

- + Uf Rf if ig eg - K Uwy Uwe1 R1 i1 Uwe1 Uwe2 Uwe2 R2 i2 Przykłady: iwe(t) uwy (t) uwe(t) Rp Rw iwy (t) Inne przykłady: dźwignia dwuramienna prasa hydrauliczna przekładnia zębata

Modele matematyczne i sterowanie Interesuje nas budowanie modeli, które mogą być zastosowane przy rozwiązywaniu problemów sterowania Sterowanie to proces celowego oddziaływania człowieka lub skonstruowanych przez niego urządzeń na środowisko lub inne skonstruowane przez niego urządzenie Na pojęcie sterowania składają się pojęcia szczegółowe: proces sterowany, ograniczenia sterowania, cele sterowania, wskaźnik jakości sterowania

Proces sterowany - to część otaczającego nas środowiska lub urządzenie, na które oddziałujemy. Użycie słowa proces podkreśla, że nie traktujemy oddziaływania i jego skutków chwilowo, statycznie, a interesują nas one jako przebieg dynamiczny w pewnym przedziale czasu Ograniczenia sterowania - to te uwarunkowania związane z procesem sterowanym, które sprawiają, że nie możemy oddziaływać na ten proces w sposób dowolny Cel sterowania - to postulowany, pożądany rezultat naszego oddziaływania. Jeżeli cel sterowania jest osiągalny, to zazwyczaj można go osiągnąć w różnoraki sposób. Staramy się ocenić, który ze sposobów jest lepszy Wskaźnik jakości sterowania – jest miarą jakości przebiegu procesu sterowanego, która umożliwia wybranie sposobu osiągnięcia celu sterowania

ograniczeniach sterowania i wskaźnikach jakości sterowania Definicja modelu matematycznego problemu sterowania: Modelem matematycznym problemu sterowania, będziemy nazywać reprezentację wiedzy o: procesie sterowanym, celu sterowania, ograniczeniach sterowania i wskaźnikach jakości sterowania wyrażoną językiem matematyki (z użyciem symboli i operatorów matematycznych), pomocną przy rozwiązywaniu określonego problemu sterowania lub monitorowania

Modelowanie a symulacja  sztuczne odtwarzanie (np. w warunkach laboratoryjnych; często za pomocą komputerów) właściwości danego obiektu, zjawiska lub przestrzeni występujących w naturze, lecz trudnych do obserwowania, zbadania, powtórzenia itp.

Modelowanie matematyczne – to tworzenie w języku matematyki reprezentacji systemów hipotetycznych lub istniejących w rzeczywistości Symulacja - to eksperymentowanie na modelu badanego systemu, przy wykorzystaniu oddziaływań i obserwacji mających swoje odpowiedniki w badanym systemie, przy czym eksperymentowanie to zapewnia eksperymentatorowi, w pewnym stopniu, złudzenie kontaktu z systemem rzeczywistym Symulacyjny model matematyczny – to taki model matematyczny, który został zbudowany dla potrzeb symulacji

Model symulacyjny:  daje możliwość oddziaływania na model systemu wielkościami mającymi swoje odpowiedniki w badanym systemie, których efekt oddziaływania chcielibyśmy obserwować  daje możliwość obserwacji na modelu systemu wielkości, które mają swoje odpowiedniki w badanym systemie i które chcielibyśmy obserwować

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu

Dodatki Matematyka a modelowanie matematyczne - Dodatek A Zakres stosowalności modelowania matematycznego - Dodatek B Rozwój modelowania – wykorzystywane podobieństwa – Dodatek C Wybrane definicje systemu - Dodatek D Wejścia wyjścia systemu sterowanego – Dodatek E Modele są bardzo użyteczne, ale są one tylko przybliżonym opisem rzeczywistości „Nie zakochuj się w swoim modelu” „Nie przykrawaj rzeczywistości do modelu”

Matematyka a modelowanie matematyczne – podobieństwa i różnice Dodatek A Matematyka a modelowanie matematyczne – podobieństwa i różnice Łańcuch postępowania w matematyce: Aksjomaty Rozumowanie dedukcyjne Twierdzenia Łańcuch postępowania w modelowaniu matematycznym: Założenia Model matematyczny Wnioski

Matematyka Aksjomaty: abstrakcyjne relacje pomiędzy symbolami; Wymaganie: wewnętrzna niesprzeczność zbioru aksjomatów Twierdzenia: wnioski wyprowadzane drogą dedukcji przy przyjęciu aksjomatów Matematykę nie interesuje zgodność, ani aksjomatów, ani twierdzeń z rzeczywistością

Modelowanie matematyczne ma za zadanie opis rzeczywistości Wnioski wyprowadzone w oparciu o model matematyczny muszą być zgodne z rzeczywistością, z doświadczeniem

Dodatek B Modelowanie matematyczne ma zastosowanie tam, gdzie występuje powtarzalność lub podobieństwo zjawisk, a zjawiska mają charakter ilościowy Przykłady: • fizyka • ekonomia ? • nauki przyrodnicze  procesy biologiczne  procesy ekologiczne  procesy ewolucyjne  procesy społeczne • nauki społeczne • nauki techniczne (projektowanie, eksploatacja, szkolenie)

Modelowanie matematyczne nie może być stosowane w naukach typu idiograficznego, których zainteresowania dotyczą faktów, zdarzeń, a nie ich klas Przykłady: • archeologia • historiografia

• geometryczne Dodatek C Modele fizyczne „w skali” (dwuwymiarowe, trójwymiarowe) • geometryczne Podobieństwo: Odwzorowanie obiektu rzeczywistego w model przez wprowadzenie pożądanych stosunków wymiarów obiektu rzeczywistego i modelu • kinematyczne Odwzorowanie obiektu rzeczywistego w model przez wprowadzenie takich stosunków wymiarów obiektu rzeczywistego i modelu, które zapewniają uzyskanie w odpowiedniej skali czasowej wymaganych stosunków wielkości kinematycznych (prędkości, przyśpieszenia, ..) • dynamiczne Odwzorowanie obiektu rzeczywistego w model przez wprowadzenie takich stosunków wymiarów obiektu rzeczywistego i modelu, które zapewniają uzyskanie w odpowiedniej skali czasowej wymaganych stosunków wielkości dynamicznych (siły, momenty, ..) które zależą od wartości parametrów związanych z modelowanym obiektem (gęstości, sprężystości, współczynników tarcia, ...) Modele analogowe

Modele fizyczne „w skali” (dwuwymiarowe, trójwymiarowe) 1. Podobieństwo: geometryczne - wymiarów 2. Podobieństwo: kinematyczne – wielkości kinematycznych 3. Podobieństwo: dynamiczne – wielkości dynamicznych Modele analogowe Podobieństwo: Wielkości różne co do swej natury, podlegają prawom opisywanym przez identyczne formalnie (strukturalnie) zależności matematyczne Modele matematyczne (analityczne) Podobieństwo: Symbole i operatory matematyczne posiadają swoją interpretację w rozważanym fragmencie rzeczywistości

Dodatek D Wybrane definicje systemu: (Gutenbaum, 1992) SYSTEM (definicja przyrodnicza) jest to zbiór współdziałających ze sobą elementów, połączonych w całość wspólną funkcją niesprowadzalną do funkcji poszczególnych elementów (Gutenbaum, 1992) SYSTEM (definicja matematyczna) jest to podzbiór N-elementowej relacji, czyli iloczynu kartezjańskiego zbioru własności systemu Gdzie: - symbol iloczynu kartezjańskiego - j-ty zbiór właściwości systemu

(Ossenbruggen, 1994) SYSTEM jest zorganizowaną, połączoną w jedną całość jednostką, która służy wspólnemu celowi. Zwykle jest ona złożona z wielu różnych elementów (Gutenbaum, 1992) SYSTEM (definicja cybernetyczna) jest to składająca się z elementów funkcjonalna całość wyodrębniona z otoczenia, na którą otoczenie oddziałuje za pośrednictwem wielkości wejściowych (bodźców), i która zwrotnie oddziałuje na otoczenie za pośrednictwem wielkości wyjściowych (reakcji)

(Daellenbach, 1994) (1) SYSTEM jest pewnym zorganizowanym zespołem elementów. „Zorganizowanym” znaczy, że istnieją określone powiązania pomiędzy elementami (2) SYSTEM robi coś, co pozwala go wyróżnić, to znaczy okazuje rodzaj zachowania unikatowy dla systemu (3) Każdy element wnosi swój wkład do zachowania SYSTEMU i ulega wpływom bycia w SYSTEMIE. Żaden element nie ma niezależnego wpływu na zachowanie systemu. Zachowanie systemu zmienia się, jeżeli jakikolwiek element zostanie usunięty lub opuści system (4) Grupa elementów w obrębie systemu może posiadać, sama w sobie, właściwości (1), (2) i (3), to znaczy mogą one tworzyć PODSYSTEM (5) SYSTEM posiada pewne zewnętrze – otoczenie, które dostarcza wejść do systemu i przyjmuje wyjścia z systemu. (6) SYSTEM został postrzeżony przez kogoś jako coś wartego specjalnego zainteresowania, poznania, .....

Dodatek E Sposób patrzenia na systemy sterowane – bodźce i reakcje systemu sterowanego Wielkości wejściowe poprzez które realizowane jest sterowanie:  wielkości sterujące (sterowania) lub  wielkości decyzyjne (decyzje) Wielkości wejściowe nie będące wielkościami sterującymi (niesterowalny wpływ otoczenia na system):  wielkości zakłócające (zakłócenia) Wielkości wyjściowe determinujące realizację funkcji systemu:  wielkości sterowane (wyniki) Pozostałe obserwowane wielkości wyjściowe:  wielkości pomocnicze