dr hab. inż. Monika Lewandowska Kinematyka Ruch jednowymiarowy Elementy rachunku wektorowego Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni RHW t.1 rozdz. 2-4 dr hab. inż. Monika Lewandowska

Ruch jednowymiarowy (I) Przykładowa zależność położenia od czasu

Ruch jednowymiarowy (II) Prędkość średnia vśr = Dx/Dt = tg a

Przykład 2.1 Jechałeś samochodem z po prostej drodze z szybkością 70 km/h. Po przebyciu km skończyło ci się paliwo i samochód się zatrzymał. Musiałeś iść pieszo 2 km do stacji benzynowej, co zajęło 30 min. Ile wynosiło twoje przemieszczenie od początku podróży do stacji benzynowej? Ile czasu upłynęło od początku podróży, do chwili przybycia na stację benzynową? Ile wynosiła twoja prędkość średnia w czasie od początku podróży do przybycia na stację benzynową (2 sposobami). Załóżmy, że nabrałeś benzyny i wróciłeś do samochodu co zajęło ci 45 min. Ile wynosi twoja średnia prędkość i średnia szybkość w czasie od początku podróży do chwili powrotu z benzyną do samochodu. Załóżmy, że po nalaniu benzyny powróciłeś do punktu startu z prędkością 35 km/h. Ile wynosi średnia prędkość dla całej podróży?

Przykład 2.2 Na rysunku (a) przedstawiono wykres położenia od czasu windy początkowo nieruchomej a następnie jadącej do góry i w końcu zatrzymującej się. Zakładając, że podczas przyspieszania i hamowania winda poruszała się ruchem jednostajnie zmiennym sporządź wykres v(t) i a(t) RHW rys. 2.6

Ruch jednowymiarowy – podstawowe definicje i wzory Przemieszczenie = zmiana położenia Prędkość średnia = przemieszczenie/(przedział czasu, w którym ono nastąpiło) Średni moduł prędkości (szybkość) = droga/ (czas potrzebny na jej przebycie) Prędkość chwilowa: Przyspieszenie średnie = (przyrost prędkości)/ (przedział czasu, w którym on nastąpił) Przyspieszenie chwilowe:

Elementy rachunku wektorowego (I) Geometryczne dodawanie i odejmowanie wektorów

Elementy rachunku wektorowego (II) Układ współrzędnych kartezjańskich, składowe wektora Wersor – wektor jednostkowy Wersory wyznaczające położenie osi układu współrzędnych : Składowa wektora – rzut wektora na dany kierunek, np. na oś układu współrzędnych długość wektora

Elementy rachunku wektorowego (III) Działania na wektorach przy użyciu składowych dodawanie i odejmowanie mnożenie przez skalar Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy RHW Rys. 3.20. Reguła prawej dłoni wyz-naczania zwrotu iloczynu wektorowego

Przykłady 4.2-4.4 Współrzędne biegnącego królika opisują równania: x(t)= -0.31t2 +7.2t+28 oraz y(t)=-0.22t2 -9.1t+30, gdzie t wyrażono w sekundach, a x i y w metrach. Znajdź wektor położenia królika w chwili t=10 s i wyraź go za pomocą współrzędnych oraz przez długość i kierunek. Wykreśl tor królika od t=0 do t=25 s. Znajdź wektor prędkości oraz wektor przyspieszenia królika w chwili t=10 s i wyraź go za pomocą współrzędnych oraz przez długość i kierunek.

Przykład: Rzut ukośny Z urwiska o wysokości h wystrzelono pocisk nadając mu prędkość początkową v0 skierowaną pod kątem q0 do poziomu. Na jaką maksymalną wysokość wzniesie się pocisk? Po jakim czasie, w jakiej odległości od podstawy urwiska oraz pod jakim kątem do poziomu pocisk uderzy w ziemię? Obliczenia wykonaj dla h = 100 m, q0 = 30o i v0 = 100 m/s. Na rysunku pokazano wektor prędkości początkowej i wektory prędkości pocisku w różnych punktach toru oraz składowe tych wektorów. Składowa pozioma prędkości pozostaje stała, zaś jej składowa pionowa zmienia się w sposób ciągły. RHW Rys. 4.10. Tor pocisku

Ruch po okręgu (I) j - droga kątowa [rad], droga przebyta przez cząstkę: Prędkość kątowa jest wektorem o wartości [rad/s] i kierunku prostopadłym do płaszczyzny okręgu. Zwrot wektora określa reguła prawej dłoni. Prędkość liniowa [m/s] wektor styczny do okręgu Przyspieszenie liniowe [m/s2] Wektor przyspieszenie kątowego [rad/s2] jest równoległy (gdy ciało przyspiesza) lub antyrównoległy (gdy zwalnia) do wektora . Wartość przyspieszenia stycznego wynosi , zaś przyspieszenia dośrodkowego (normalnego) wynosi .

Ruch po okręgu (II) W ruchu jednostajnym po okręgu (w = const, e = 0) czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego obiegu (tzn. drogi kątowej 2p rad) nazywamy okresem T. Zachodzi związek: T = 2p/w . Odwrotność okresu, równą liczbie obiegów wykonanych w jednostce czasu nazywamy częstotliwością f =1/T = w/2p [Hz] .

Przykład Talerz adaptera o średnicy d = 20 cm obraca się ruchem jednostajnym wykonując 33 obroty/min w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Oblicz prędkość kątowa talerza, prędkość liniową i przyspieszenie dośrodkowe punktu na brzegu talerza. Ile obrotów/min powinien wykonywać talerz, aby przyspieszenie dośrodkowe punktu na jego brzegu było równe przyspieszeniu ziemskiemu? Jaki byłby jego okres obrotu? Gdy adapter wyłączono talerz zatrzymał się po upływie 10 s. Zakładając, że siła oporu była stała obliczyć przyspieszenie kątowe talerza podczas hamowania oraz ilość obrotów, które wykonał talerz od momentu wyłączenia do zatrzymania. Oblicz przyspieszenie liniowe punktu na brzegu talerza w chwili rozpoczęcia hamowania. Narysuj wektory prędkości i przyspieszenia kątowego talerza oraz prędkości liniowej, przyspieszenia dośrodkowego, stycznego i całkowitego punktu na brzegu talerza tuż po wyłączeniu adaptera.