FUNKCJE Opracował: Karol Kara

Czego się dowiesz i co poznasz: Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina Zbiór wartości funkcji Sposoby określania funkcji Wykres funkcji Odczytywanie własności funkcji z wykresu Przykłady funkcji >Funkcja liczbowa >Funkcja linowa >Funkcje nieliniowe Jednomian drugiego stopnia Trójmian drugiego stopnia >Funkcja wykładnicza Zastosowanie funkcji

Pojęcie funkcji Spis treści Niech będą dane dwa zbiory A i B. Jeśli każdemu elementowi zbioru A  przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru B, to mówimy, że na zbiorze A została określona funkcja f o wartościach w zbiorze B. Zbiór A nazywamy wtedy dziedziną funkcji (i oznaczamy D f), elementy tego zbioru nazywamy argumentami funkcji, zaś zbiór B nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Spis treści

Zbiór wartości funkcji Funkcje oznaczamy małymi literami (na ogół f, g, h …). Zbiór, do którego należą wszystkie wartości przyjmowane przez funkcję nazywamy zbiorem wartości funkcji. Jeśli  f  jest funkcją z A w B i a  A, to symbol  f(a)  oznacza wartość funkcji f dla argumentu a. Zapis f: x  f(x) czytamy: „f jest funkcją, która argumentowi x przyporządkowuje wartość f(x)”. Spis treści

Sposoby określania funkcji Funkcję można określić za pomocą: grafu przepisu słownego Każdej liczbie całkowitej x większej od -4 i mniejsyej od 4 przyporządkowujemy liczb y o dwa mniejszą od połowy kwadratu liczby x. wykresu wzoru lub kilku wzorów tabelki Spis treści

Wykres funkcji Spis treści Wykresem funkcji nazywamy zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (x, y), dla których x należy do dziedziny funkcji, a y jest wartością funkcji dla argumentu x. Spis treści

Odczytywanie własności funkcji z wykresu Z wykresu funkcji można łatwo odczytać, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie. W tym celu wystarczy znaleźć te argumenty, dla których wykres znajduje się nad osią x. Dla tych argumentów, dla których wykres znajduje się pod osią x, funkcja przyjmuje wartości ujemne. Argumentami tej funkcji są liczby: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; Wartościami tej funkcji są liczby: , 0, , -2; Funkcja ta argumentowi x=1 przyporządkowuje wartość y = ; Funkcja przyjmuje wartość y = dla argumentów x = -3 i x = 3. Spis treści

Przykłady funkcji Spis treści Funkcja liczbowa Funkcję, której argumentami i wartościami są liczby rzeczywiste, nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej lub funkcją liczbową. Spis treści

Funkcja liniowa Spis treści Funkcję określoną wzorem: y = ax + b, gdzie a i b są współczynnikami liczbowymi, nazywamy funkcją liniową. Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Wykresem jest linia prosta. Aby narysować tę prostą, wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty. Współczynnik a jest współczynnikiem kierunkowym prostej. Spis treści

O czym mówią współczynniki funkcji liniowej? Jeżeli a > 0, to funkcja y = ax+ b jest rosnąca: Jeżeli a < 0, to funkcja y = ax+ b jest malejąca: Jeżeli a = 0, to funkcja y = ax+ b jest stała: Spis treści

Funkcje nieliniowe Spis treści Funkcja kwadratowa: Jednomian drugiego stopnia y = ax2 Jednomianem drugiego stopnia nazywamy funkcję daną wzorem: y=ax2, gdzie x jest zmienną niezależną, a jest stałym współczynnikiem różnym od zera. Dziedziną tej funkcji jest zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych. Wykres funkcji y = ax2, dla a > 0 nazywamy parabolą. Ponieważ najmniejszą wartość, y = 0 funkcja przybiera dla x = 0, więc wierzchołkiem tej paraboli jest punkt (0,0). Zmienia się jedynie kształt paraboli: dla 0 < a < 1 parabola jest szersza niż parabola y =x2, dla a > 1 parabola jest węższa. Spis treści

Porównanie funkcji: y = ax2 oraz y = - ax2, a  0. Skoro do wykresu funkcji y = ax2 należy punkt o współrzędnych (x1, y1), to do wykresu funkcji y = - ax2należy punkt o współrzędnych (x1, -y1). Wynika z tego, że wykres funkcji y = - ax2 jest symetryczny względem osi OX do wykresu funkcji y = ax2 . Dla a < 0 funkcja y =ax2 ma następujące własności: Funkcja przybiera wartości niedodatnie: dla x = 0 jest ax2 = 0, dla x  0 jest ax2 < 0 ; Funkcja przybiera wartości ujemne o dowolnie wielkiej wartości bezwzględnej, byleby x była dostatecznie wielka. Mówi się, że gdy x  + lub x  - , to wartość funkcji y  - ; Dla x = 0 funkcja przybiera największą wartość (maksimum absolutne) równą zeru, nie istnieje natomiast najmniejsza wartość funkcji; Dla przeciwnych wartości zmiennej niezależnej funkcja przybiera te same wartości: ax2 = a(-x) 2, czyli f(x) = f (-x); Dla dodatnich wartości zmiennej niezależnej funkcja jest malejąca, dla ujemnych jest rosnąca. Punkt, którego rzędna jest równa maksymalnej wartości funkcji nazywamy wierzchołkiem paraboli. Dla tych wszystkich parabol wierzchołkiem jest punkt (0,0). Spis treści

Trójmian drugiego stopnia Funkcję określoną wzorem y = ax +bx +c nazywamy trójmianem kwadratowym, postać kanoniczna tego wzoru to y = a (x -p) +q, gdzie p, q – współrzędne wierzchołka paraboli. 2 Przykład. Rozpatrzmy dwie funkcje: y = 2x – 3 y = 2x 2 Porównując te funkcje można zauważyć, że tym samym wartościom zmiennej x odpowiadają w funkcji 1) wartości o trzy mniejsze niż w funkcji 2). Znaczy to, że wykres 1) powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji 2) o wektor równoległy do osi OY i takie, że q = -3. Wierzchołek paraboli ma współrzędne (0, -3). Wartość y = -3 jest najmniejszą wartością funkcji. Spis treści

Funkcję: y = a x , gdzie aє R+\{1} nazywamy funkcją wykładniczą. Funkcja wykładnicza Funkcję: y = a x , gdzie aє R+\{1} nazywamy funkcją wykładniczą. Spis treści

Zastosowanie funkcji Spis treści Za pomocą funkcji opisujemy zwykle, w jaki sposób zmienia się jedna wielkość w zależności od drugiej; Za pomocą funkcji można przedstawić matematycznie wiele związków fizycznych i technicznych, np. wyznaczyć, jaki wynik otrzyma się na podstawie wszystkich możliwych wartości początkowych. Spis treści