Andrzej Majkowski informatyka + 1

Kwadrat magiczny Paweł Perekietka 2

Kwadrat magiczny Wypełnij pola kwadratowej tablicy o wymiarach 3 × 3 różnymi liczbami od 1 do 9 w taki sposób, aby suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i każdej przekątnej była taka sama (tzw. suma magiczna). 3 3

Kwadrat magiczny Jaką wartość powinna mieć tzw. suma magiczna? 15 Kluczowym elementem rozwiązania zadania jest określenie wartości tzw. sumy magicznej. Musi być ona równa sumie wszystkich liczb (1 + 2 + … + 9) podzielonych przez 3. Jaką wartość powinna mieć tzw. suma magiczna? 15 Dlaczego? 4 4

Kwadrat magiczny Jaką wartość należy wstawić w środkowym polu? 5 Drugim kluczowym pytaniem jest pytanie o liczbę, którą należy wpisać w środkowym polu. Jaką wartość należy wstawić w środkowym polu? 5 Dlaczego? 5 5

Kwadrat magiczny Zapisujemy sumy liczb: w drugim wierszu: (d + e + f) w drugiej kolumnie: (b + e + h) na przekątnych: (a + e + i) + (g + e + c). Ostatnia suma jest równa 3e + 3 × 15 . Każda z sum zapisanych wyżej jest równa tzw. magicznej sumie, czyli 15. Stąd 3e + 3 × 15 = 4 × 15. I ostatecznie e = 5. Po przegrupowaniu liczb otrzymujemy: 3e + (a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) Co z tego wynika? 6 6

Należy skorzystać z tego, że: Kwadrat magiczny Ponieważ „wokół” 5 każdą sumę należy uzupełnić o 10, więc pozostaje sprawdzić ustawienia par liczb (1,9), (2,8), (3,7) i (4,6). Co dalej? Należy skorzystać z tego, że: 10 = 9 +1 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 7 7

Kwadrat magiczny Są dwie możliwości ustawienia 1 i 9: Z dokładnością do symetrii tablicy, są dwie tylko dwie możliwości ustalenia położenia liczb 1 i 9. Pierwszego ustawienia nie da się uzupełnić do magicznego kwadratu: -- jeśli w prawym górnym rogu wstawimy mniej niż 5, w pierwszym wierszu nie da się uzyskać sumy 15; -- jeśli w prawym górnym rogu wstawimy więcej niż 5, to w ostatniej kolumnie nie da się uzyskać sumy 15. Pozostaje przeanalizować drugi przypadek ustawienia (W tym momencie możemy mówić o zastosowaniu idei nawracania.) Pierwszego ustawienia nie da się uzupełnić! Dlaczego? 8 8

Uwzględniając symetrię mamy cztery możliwości. Kwadrat magiczny W wierszu lub kolumnie zawierającej liczbę 1 trzeba wstawić 6 i 8. Można to zrobić na dwa sposoby. Uwzględniając symetrię mamy cztery możliwości. Co dalej? 9 9

W każdym przypadku można zbudować dwa kwadraty. Kwadrat magiczny W wierszu lub kolumnie zawierającej liczbę 1 trzeba wstawić 6 i 8. Można to zrobić na dwa sposoby. Pozostałe liczby można wstawić już tylko w jeden sposób. W każdym przypadku można zbudować dwa kwadraty. 10 10

Osiem magicznych kwadratów (rozwiązania zadania). Kwadrat magiczny Otrzymamy więc w sumie osiem rozwiązań (każde z nich można uzyskać z każdego innego przez obrót i symetrię). Osiem magicznych kwadratów (rozwiązania zadania). 11 11