Elementy Kombinatoryki Wykład 11 Elementy Kombinatoryki 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Problem ? Na ile sposobów można rozmieścić pewne obiekty w pewnej liczbie pudełek, tak by spełnione były zadane ograniczenia? ? 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Funkcje Problem Dane są dwa zbiory X i Y skończone, X= {x1,...,xn}, Y={y1,...,ym}. Ile jest funkcji całkowitych f : X  Y? Pudełko nr. 1 Pudełko nr. 2 Pudełko nr. 3 Pudełko nr. 4 Pudełko nr. 5 n=7, m= 5 X: a, b, c, d, e, f, g Y: d e g a b c f Jeśli |X|=n i |Y|=m, to |{f: X Y}| = m n. Twierdzenie 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Przykład 1 Na ile sposobów można wylosować pięć kart (ze zwracaniem) z talii zawierającej 52 karty ? ? Inaczej mówiąc : ile jest 5elementowych ciągów, w których każdy element to jedna 52 kart? lub Ile jest funkcji ze zbioru {1,2,3,4,5} w zbiór 52 elementowy? Odp.: 52 5 lub Na ile sposobów można włożyć liczby 1,2,3,4,5 do 52 pudełek? 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Przykład 2 Na ile sposobów można pokolorować graf o n wierzchołkach, jeśli dysponujemy k kolorami? Inaczej: Ile jest różnych funkcji całkowitych postaci Kolor : Wierzchołki  Zbiór_kolorów ? ODP.: k n Wierzchołki pomalowane na żółto Wierzchołki pomalowane na czerwono Wierzchołki pomalowane na niebiesko 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Przykład 3 ? Ile różnych liczb można zapisać w n elementowym rejestrze bitowym? Ile jest n elementowych ciągów, których wyrazami jest zero lub jeden? Ile jest różnych funkcji ze zbioru n elementowego i o wartościach w zbiorze{0,1}? Odpowiedź : 2 n 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Funkcje różnowartościowe A co, jeśli wymagamy aby każde pudełko zawierało co najwyżej jeden obiekt? Odpowiedź: m*(m-1) * (m-2) ... * (m-n+1) ? Pytanie Ile jest funkcji całkowitych różnowartościowych f : X  Y ? Oczywiście pierwszy element możemy włożyć do dowolnego pudełka. m możliwości Jeśli x1 włożyliśmy do pudełka y1, to nie możemy tam włożyć już innych elementów! Czyli x2 możemy włożyć tylko do jednego z pozostałych pudełek. m-1 możliwości x1 Y: 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Wariacje 1 2 3 ... n yi1 yi2 yi3 ... yin Różne elementy zbioru Y 1-1 f : X  Y < yi1 , yi2 , yi3 , ... , yin > Definicja Ciąg n różnych elementów ze zbioru m elementowego nazywa się wariacją n wyrazową ze zbioru m-elementowego bez powtórzeń. Wniosek Liczba tych wariacji wynosi m(m-1)...(m-n+1). Przykład Niech A={1,2,3,4}. Wszystkie trzy-wyrazowe wariacje ze zbioru A to: 1,2,3 1,2,4 1,3,2 1,3,4 1,4,2 1,4,3 2,1,3 2,1,4 2,3,1 2,3,4 2,4,1 2,4,3 3,1,2 3,1,4 3,2,1 3,2,4 3,4,1 3,4,2 4,1,2 4,1,3 4,2,1 4,2,3 4,3,1 4,3,2 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Przykład Jaka jest liczba możliwych słów 5cio literowych, jeśli litery w słowie nie mogą się powtarzać i dysponujemy alfabetem 24 literowym? ? Ile można utworzyć ciągów 5 elementowych, bez powtórzeń, jeśli elementami ciągu są litery z 24elementowego zbioru? Ile jest różnowartościowych funkcji odwzorowujących zbiór {1,2,3,4,5} w 24-ro literowy alfabet? Ile jest wariacji 5-wyrazowych ze zbioru 24elementowego? ODP.: 24* 23*22*21*20 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Rozmieszczenia uporządkowane Rozważmy sytuację, w której rozmieszczamy n obiektów w m pudełkach, ale pudełka zawierają teraz ciągi, a nie zbiory elementów. Odp.: m(m+1)...(m+n-1) Ile jest różnych możliwych rozmieszczeń uporządkowanych n obiektów w m pudełkach? 1szy element na m sposobów, 2gi elememet na (m+1) sposobów. i-ty element można umieścić w pudełku k o ik-elementach na ik+1- sposobów. Czyli razem, ity element wkładamy na m+i-1 sposobów. d i1 im i2 i3 a, b c Pudełko 1 Pudełko 2 Pudełko 3 .... Pudełko m 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Przykład Przypuśćmy, że zajmujemy się układaniem rozkładu zajęć. Jedno z zadań z tym związanych to przypisanie zajęć(grup) do sal. Oczywiście o tej samej godzinie nie możemy umieścić w tej samej sali różnych zajęć. Przypuśćmy, że dysponujemy 7 salami i mamy 40 rożnych zajęć. Ile różnych rozkładów zajęć można utworzyć? ? sala lista grup Odp.: 7* 8 * 9 *... * (7+40-1) Czyli: Ile jest różnych rozmieszczeń uporządkowanych 40 obiektów w siedmiu pudełkach? 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Permutacje Twierdzenie Definicja n wyrazowe wariacje ze zbioru n elementowego nazywamy permutacjami. Inaczej: permutacje to funkcje całkowite, różnowartościowe ze zbioru X w zbiór X. Liczba permutacji P(n) zbioru n elementowego wynosi n*(n-1)...*2 *1, tzn. n! Dowód tw. przez indukcje ze względu na n. Krok 1. Liczba permutacji w zb. 1-elementowym wynosi 1. P(1)=1!=1 Założenie Ind.: P(k)=k! dla pewnego k >0. Teza: P(k+1)= (k+1)! Dowód. Element (k+1)szy umieszczamy na wszystkich możliwych pozycjach (tzn. k+1 pozycjach ) we wszystkich k-elementowych permutacjach. Zatem P(k+1)= P(k) * (k+1)= (k+1)! 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Oszacowanie ? Co to za liczba n! 1. n!  nn Dzięki wzorowi Stirlinga mamy : n! = (2Pn) (n/e)n (1+ (1/n)) 2. n! = O(nn) 3. lg n! = (n lg n) 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Przykład Rozważmy permutacje zbioru {1,2,3,4}. 1,2,3,4 1,2,4,3 1,3,2,4 1,3,4,2 1,4,2,3 1,4,3,2 2,1,3,4 2,1,4,3 2,3,1,4 2,3,4,1 itd 1,2,3,4 2,1,3,4 1,3,2,4 3,1,2,4 2,3,1,4 3,2,1,4 1,2,4,3 2,1,4,3 1,4,2,3 4,1,2,3itd* 1,2,3,4 2,1,3,4 2,3,1,4 2,3,4,1 3,2,4,1 3,2,1,4 3,1,2,4 1,3,2,4 1,3,4,2 3,1,4,2itd* 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Interpretacja 4312 4321 3421 4132 4231 3412 3241 2431 4213 2341 4123 3214 3142 1432 2413 3124 1342 2314 1423 1324 1243 2143 2134 1234 Ten ciąg permutacji odpowiada drodze Hamiltona w grafie. 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Generowanie permutacji Generowanie wszystkich permutacji przez minimalną liczbę transpozycji sąsiednich elementów. Procedure ANTYLEX(m) begin if m=1 then wypisz_permutację P(1:n) else for i :=1 to m do ANTYLEX(m-1); if i<m then zamień(P(i), P(m)); odwróć(m-1); fi; od; fi end; Początkowo P(i)=i dla i=1...n 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Symbol dwumianowy Dowód (x+y)n = S(n nad i) xi y n-i Kombinacje bez powtórzeń Jeśli X ma n elementów, to liczba wszystkich podzbiorów zbioru X wynosi 2n. Liczbę wszystkich podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego oznaczamy przez (n nad k) i nazywamy symbolem dwumianowym Newtona. (x+y)n = S(n nad i) xi y n-i Lemat (n nad k)=0 gdy k>n (n nad k)= n!/ (k! (n-k)!) Ciągów różnowartościowych długości k w zbiorze n elem. jest n (n-1)... (n-k+1) Ale ciągów o różniących się kolejnością elementów jest k! Stąd Dowód (n nad k)= n (n-1)... (n-k+1)/k! 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Trójkąt Pascala S{(n nad i) : i=0...n} = 2 n (n nad k) = (n nad n-k) (n nad k) = (n-1 nad k ) + (n-1 nad k-1) 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK Przykłady 1. Ile jest ciągów zero-jedynkowych o długości n, w których 1 występuje dokładnie k razy? Uwaga Ciąg ( 0 1 0 1 1 1 0 0 0) można traktowć jako funkcję charakterystyczną zbioru. Zatem odpowiedź : (n nad k) 2. Niech będzie graf pełny G (bez pętli) o n wierzchołkach. Ile taki graf ma krawędzi m? Uwaga Każda krawędź wyznacza 2 elementowy podzbiór i każdy 2 elementowy podzbiór zbioru wierzchołków wyznacza krawędź. Zatem odpowiedź : (n nad 2) 12 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK