Doskonalenie rachunku pamięciowego u uczniów

SPIS TREŚCI Cechy podzielności liczb całkowitych Mnożenie na palcach Algorytm egipski Algorytm Euklidesa Krzyżowy sposób mnożenia liczb Ciekawe tabelki liczbowe

CECHY PODZIELNOŚCI LICZB CAŁKOWITYCH dzielnik cecha 2 ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2, 4, 6, 8. 3 suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3 4 liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 4 5 ostatnią cyfrą jest 0 lub 5 6 jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3 7 suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3 (włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7

dzielnik cecha 8 liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić podzielność przez cztery 9 suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać dla wyniku sumowania. 10 ostatnią cyfrą jest 0 11 po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych, sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy liczbę podzielną przez 11. Przykład: Liczba 854073  (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11 854073 jest podzielna przez 11

dzielnik cecha 12 jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4. 13 różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np. 85527  527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest podzielna przez 13. 14 jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7. 15 podzielna zarówno przez 3 i przez 5. 18 jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9. n Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez k i l, n = k * l oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.

MNOŻENIE NA PALCACH Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5. Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25. Na lewej dłoni wyprostowane są dwa palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na prawej dłoni trzy palce są wyprostowane, a dwa zgięte. 7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń lewa) 8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń prawa) Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, do sumy palców wyprostowanych, pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn palców zgiętych, tzn.: (2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56 7 × 8

Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden palec, a cztery pozostałe są zgięte. Na prawej dłoni trzy palce są wyprostowane, a dwa zgięte. 6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa) 8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa). Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, dodajemy do sumy palców wyprostowanych, pomnożonej przez 10, iloczyn palców zgiętych, tzn.: (1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48 6 × 8

Na lewej dłoni nie jest wyprostowany żaden palec, a pięć jest zgiętych. Na prawej dłoni jeden palec jest wyprostowany, a cztery są zgięte. 6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa) 6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa). Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, dodajemy do sumy palców wyprostowanych, pomnożonej przez 10, iloczyn palców zgiętych, tzn.: 5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30 5 × 6

ALGORYTM EGIPSKI Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie wiedzieli). Algorytm mnożenia przez podwajanie stosowany przez Egipcjan. Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319. Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika, czyli 319. W każdym nowym wierszu i w każdej kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu poprzednim, aż w pierwszej kolumnie uzyskamy 64. 1 319 2 638 4 1276 8 2552 16 5104 32 10208 64 20416

Taki algorytm jest jednak niepełny - umożliwia tylko mnożenie przez potęgi dwójki. Można go jednak udoskonalić. Pomnóżmy 87 przez 93. Tworzymy dwie kolumny podwajanych liczb. Nie rozwijamy kolumn dalej, bo podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87 czyli pierwszy czynnik. Teraz dobieramy liczby z pierwszej kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy czynnik (oznaczamy je gwiazdkami). Wynikiem mnożenia będzie suma liczb z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów: 93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091  1 93 2 186 4 372 8 744 16 1488 32 2976 64 5952 1 93 2 186 4 372 8 744 16 1488 32 2976 64 5952

ALGORYTM EUKLIDESA liczba 1 liczba 2 wspólny dzielnik 12 8 2 Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki pierwsze. I sposób Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc. Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8: liczba 1 liczba 2 wspólny dzielnik 12 8 2 12 : 2 = 6 8 : 2 = 4 6 : 2 = 3 4 : 2 = 2 1 NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4

Przebieg algorytmu obliczania NWD liczb a i b (a > b): II sposób (szybki algorytm Euklidesa) Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę. Przebieg algorytmu obliczania NWD liczb a i b (a > b): Oblicz c jako resztę z dzielenia a przez b. Zastąp a przez b, zaś b przez c. Jeżeli b = 0, to szukane NWD = a, w przeciwnym wypadku przejdź do 1. a b c 1285 275 185 90 5

KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA Przykład 1. 21  13 = 2 7 3 3 2 7

Przykład 2. 123  321 3 3 8 8 + 14

247 × 479 Przykład 3. Kierunek zapisu liczby Kierunek zapisu liczby Kierunek odczytania wyniku

CIEKAWE TABELKI LICZBOWE Mnożenie przez 9. W kolejnych wierszach po lewej stronie znaku równości cyfra bliższa zwiększa się o jeden, zaś po prawej stronie cyfra bliższa znakowi równości rośnie o jeden, a cyfra dalsza maleje o jeden. 9  1 = 9 9  2 18 9  3 27 9  4 36 9  5 45 9  6 54 9  7 63 9  8 72 9  9 81

Kwadrat liczb złożonych z „1”. Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej wydłużają się i za każdym razem pojawia się kolejna cyfra w środku. 12 = 1 112 121 1112 12321 11112 1234321 111112 123454321 1111112 12345654321 11111112 1234567654321

Iloczyny liczb złożonych z samych „1”. Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy 111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna jedynka, a w drugim dwie. 11 · 111 = 1221 111 · 11111 = 1233321 1111 · 1111111 = 1234444321 11111 · 111111111 = 1234555554321 111111 · 11111111111 = 1234566666654321 1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321