Wytrzymałość materiałów Wykład - 3 r.a. 2018/2019

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: środy: 13.00-15.00

Wykład W3: W3: Analiza wytrzymałości dla układów prętowych statycznie niewyznaczalnych: - Metoda (procedura rozwiązania) - Równania równowagi (statycznej) - Warunki geometryczne - Zależności fizyczne - Przykłady praktyczne układow prętowych Przykład obliczeniowy: Analiza wytrzymałości dla wybranych układów prętowych statycznie niewyznaczalnych. © Prof. Krzysztof Kaliński

zmiana temperatury o T Naprężenia termiczne i montażowe Naprężenia termiczne – powstają w wyniku ograniczenia przemieszczenia swobodnego końca pręta, którego temperatura wzrosła o T Prawo rozszerzalności liniowej, czyli zmiana długości o l: więzy zmiana temperatury o T l l Pręt nie zmieni długości, z uwagi na więzy. Uniemożliwia to siła ściskająca N, która powoduje naprężenia termiczne

Naprężenia termiczne i montażowe Naprężenia montażowe – powstają w wyniki korygowania różnic wymiarowych łączonych elementów konstrukcji Przykład. Aby pręt o długości l zamontować pomiędzy dwiema pionowymi ścianami, należy zwiększyć jego długość o . l  W przekroju pręta pojawi się siła rozciągająca N, która powoduje naprężenia montażowe

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne Układ prętowy statycznie niewyznaczalny – nie można wyznaczyć sił niewiadomych (reakcji więzów, sił wewnętrznych) na podstawie równań równowagi statycznej. Liczba sił statycznie niewyznaczalnych (hiperstatycznych) Liczba sił niewiadomych Liczba równań równowagi statycznej = – Procedura rozwiązywania: Równania równowagi statycznej Określenie warunków geometrycznych Zależności fizyczne

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne Przykład. Pręty 1 i 2 umieszczone pomiędzy dwiema sztywnymi płytami, są ściskane siłą F. 1 2 l F N1 N2

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne Warunek równowagi statycznej Tylko jeden, a niewiadomych – dwie. Układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Warunek geometryczny – oba pręty doznają jednakowego okształcenia Należy podać tyle warunków geometrycznych, ile jest reakcji hiperstatycznych

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne Zależności fizyczne Otrzymamy zatem Ostatecznie, siły ściskające pręty 1 i 2 wyniosą

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne Przykład. Układ 3-ch prętów połączonych przegubowo został obciążony siłą skupioną F. Należy wyznaczyć maksymalną wartość tej siły, jeżeli naprężenia dopuszczalne na rozciąganie w każdym pręcie wynoszą kr [Pa]. 3 A, E 2 1 D C B O F  l x y N1 N3 N2

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne Warunki równowagi statycznej Dwa równania, a niewiadomych – trzy. Układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Z równań tych otrzymujemy

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne Warunki geometryczne Rzut wydłużenia pręta środkowego na kierunek pręta bocznego i porównanie z wydłużeniem pręta bocznego Zależności fizyczne Po uwzględnieniu warunków geometrycznych i zależności fizycznych

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne a z warunków równowagi statycznej Ponieważ naprężenia w prętach nie mogą przekroczyć wartości kr , czyli a wówczas

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne Przykład. Podczas montażu trzech prętów okazało się, że długość pręta 2 jest o  mniejsza od wymaganej. Wydłużono zatem pręt 2 o  przykładając zewnętrzną siłę rozciągającą, co umożliwiło połączenie prętów. Jakie będą naprężenia w poszczególnych prętach po zdjęciu obciążenia ? y x D C B 2 1 3 A, E l A, E A, E N2   N3  N1 O

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne Warunki równowagi statycznej Warunki geometryczne Zależności fizyczne

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne Po uwzględnieniu warunków geometrycznych i zależności fizycznych a z warunków równowagi statycznej otrzymamy: Ostatecznie

Pręt rozciągany (ściskany) siłą bezwładności – gęstość pręta  – przyspieszenie a(x) w kierunku osi pręta x N N+dN a(x) x dFb(x) x dx l x dx Warunek równowagi elementu dx Siła bezwładności (d’Alemberta) Siła normalna N a jej różniczka

Pręt rozciągany (ściskany) siłą bezwładności Równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych Warunki brzegowe Przykład. Rozwiązać równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych dla a(x)=2x, 0  x  l (zagadnienie wirującego pręta, np. łopatka turbiny silnika odrzutowego)

Pręt rozciągany (ściskany) siłą bezwładności Przykład. Rozwiązać równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych dla a(x)=2x, 0  x  l (zagadnienie wirującego pręta, np. łopatka turbiny silnika odrzutowego) Rozwiązanie. Po 2-krotnym scałkowaniu i uwzględnieniu warunków brzegowych, otrzymamy kolejno:

Pręt rozciągany (ściskany) siłą bezwładności Warunki brzegowe: dla x=0, u=0  C2=0 dla x=l,  Ostatecznie Przemieszczenie swobodnego końca pręta (x = l) Naprężenia normalne

Pręt rozciągany (ściskany) siłą bezwładności Aby zapobiec skutkom kolizji z obudową silnika, wnętrze obudowy jest wyłożone materiałem o bardzo małej wytrzymałości. Podczas wydłużania łopatki, warstwa ta jest ścierana, gwarantując zachowanie wymaganego luzu między łopatką i obudową.

Wirnik wentylatora silnika lotniczego Pręt rozciągany (ściskany) siłą bezwładności Maksymalne naprężenia normalne w miejscu utwierdzenia pręta (x = 0) Wirnik wentylatora silnika lotniczego + x l Bladed disk = Blisk Maksymalne przemieszczenia

Dziękuję za uwagę !!! 2019-01-18 12:56:58