Przemysław Socha Marcel Niedźwiecki Bryły Przemysław Socha Marcel Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryła Bryła to w matematyce, dowolny jednospójny obszar przestrzeni wraz z ograniczającą ją powierzchnią. Większość regularnych brył to bryły wypukłe, tj. takie, dla których każdy odcinek łączący dowolne dwa punkty bryły zawiera się całkowicie w tej bryle. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Rodzaje brył Ze względu na różne cechy bryły możemy zaliczyć do różnych zbiorów: Bryły platońskie Bryły archimedesowe Graniastosłupy Ostrosłupy Bryły Catalana Bryły Johnsona Deltościany Dwupiramidy i deltoidościany Wielościany Keplera - Poinsota 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły platońskie Istnieje dokładnie 5 wypukłych wielościanów foremnych, tzn. takich, których wszystkie ściany są wielokątami foremnymi jednego rodzaju i których wszystkie wierzchołki są identyczne. Noszą one wspólną nazwę brył platońskich, chociaż nie Platon był ich odkrywcą - znane były one na wiele lat przed nim. W dialogu "Timaios" Platon opisuje całą piątkę i wiąże je z żywiołami i Wszechświatem - czworościan-ogień, sześcian-ziemia, ośmiościan-powietrze, dwudziestościan-woda i wreszcie dwunastościan-Wszechświat. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły platońskie Platon znał więc wszystkie pięć wielościanów foremnych, ale chyba ani on, ani jego współpracownicy nie potrafili udowodnić faktu, że jest ich dokładnie tyle. Taki dowód można znaleźć dopiero w słynnych "Elementach" Euklidesa. Jest coś zadziwiającego w fakcie, iż wielokątów foremnych (przypomnijmy: o równych bokach i równych kątach przy wierzchołkach) jest nieskończenie wiele, a wielościanów foremnych tylko pięć. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły platońskie Rozróżniamy pięć brył platońskich: Czworościan foremny Sześcian Osmiościan foremny Dwunastościan foremny Dwudziestościan foremny 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły platońskie W tablicach matematycznych można znaleźć podstawowe informacje o polu, objętości brył: 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły archimedesowe Inną, w miarę prostą a efektowną, rodzinę wielościanów stanowią wielościany archimedesowe. Nazwa sugeruje, że znał je Archimedes, ale rozpowszechnił dopiero Pappus z Aleksandrii żyjący 500 lat po nim. Wielościany archimedesowe albo półforemne, podobnie jak platońskie, zbudowane są z wielokątów foremnych. Wielokąty muszą być jednakowe, jednak powinny spełniać następujący warunek w każdym wierzchołku porządek ułożenia wielokątów musi być taki sam (bardziej fachowo mówi się, że wielościan ma przystające naroża). Rodzina takich wielościanów jest bogatsza od kolekcji brył platońskich. Zawiera trzynaście typów oraz dwie nieskończone serie. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły archimedesowe Pierwsza seria jest dość popularna: chodzi o graniastosłupy mające w podstawach wielokąty foremne, ściany boczne muszą być kwadratami. Druga seria - mniej znana - to antygraniastosłupy. Też mają dwie podstawy wielokąty foremne leżące w płaszczyznach równoległych, ale, odpowiednio przekręcone, ściany boczne są za to trójkątami równobocznymi. Najprostszym przykładem jest ośmiościan foremny. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły archimedesowe Inne wielościany archimedesowe otrzymuje się przez odpowiednie ścinanie bądź przycinanie wielościanów foremnych. Chociaż wielościany foremne też pasują do definicji wielościanów archimedesowych, to jednak wydziela się je w osobną rodzinę (stąd liczba 13, a nie 18 lub 17 w zależności od tego, gdzie się umieści wspomniany ośmiościan foremny). 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Graniastosłupy Oprócz brył platońskich i archimedesowych jedynymi wypukłymi wielościanami jednorodnymi są foremnościenne graniastosłupy i graniastosłupy skręcone. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Graniastosłupy Graniastołup to bryła (wielościan) której wierzchołki należą do równoległych dwóch płaszczyzn, tworząc podstawy, a boki zawarte pomiędzy tymi płaszczyznami są do siebie równoległe. Podstawy są wielobokami (wielokątami) .Jeśli kąt między podstawą a każdym z boków niezawartym w podstawie jest prosty, to graniastosłup nazywamy prostym, w przeciwnym wypadku - pochyłym. Graniastosłup o podstawie równoległoboku nazywa się równoległościanem, graniastosłup prosty o podstawie prostokątnej jest prostopadłościanem. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Graniastosłupy 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Ostrosłupy Ostrosłup to taka figura przestrzenna, której jedną ścianą - nazywaną podstawą - jest wielokąt, a pozostałe ściany są trójkątami o podstawach równych bokom wielokąta i wspólnym wierzchołku, który nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. Trójkąty te nazywamy ścianami bocznymi ostrosłupa. Jeśli wielokąt w podstawie ma n boków, to ostrosłup ma n ścian bocznych i nazywamy go n-kątnym, na przykład trójkątnym, czworokątnym. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Ostrosłupy Ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny i wszystkie ściany boczne są przystające (ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość), nazywamy ostrosłupem prawidłowym. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły obrotowe Bryła obrotowa to bryła posiadająca symetrię walcową wokół co najmniej jednej osi (kula, walec prosty, torus, stożek prosty), co oznacza, że figura przekształca się sama w siebie przy obrocie o dowolny kąt wokół tej osi. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Wielościany Znowu możemy skorzystać z tablic matematycznych: 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Kula Kula to sferycznie symetryczna bryła geometryczna, miejsce geometryczne punktów danych równaniem (x-a)2 +(y-b)2+(z-c)2≤ R2, gdzie R nosi nazwę promienia kuli, a punkt (a,b,c) jest środkiem kuli. Pole powierzchni kuli wynosi 4πR2, a jej objętość równa jest 4/3 πR3. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły Catalana Tworzenie nowych obiektów wielościennych można kontynuować na różne sposoby. Przycinanie wielościanów archimedesowych nie prowadzi do specjalnie wyróżnionych rodzin, ale już łączenie środków ścian tak. Jeśli w wielościanie zaznaczymy środki ścian (przez środek możemy rozumieć na przykład środek okręgu opisanego) i każdy z nich połączymy odcinkami ze środkami ścian sąsiednich, otrzymamy wielościan nazywany dualnym lub dwoistym do danego. W ten sposób z wielościanów archimedesowych otrzymamy nową rodzinę brył nazywanych czasem wielościanami Catalana (znakomity matematyk belgijski, żył w latach 1814-1894). 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły Catalana 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły Johnsona Obok brył platońskich, archimedesowych, graniastosłupów i graniastosłupów skręconych, istnieje jedynie skończona ilość foremnościennych wielościanów wypukłych. W 1966 Norman W. Johnson opublikował listę wszystkich 92 wielościanów wraz z ich opisem. Natomiast Victor Zalgaller w 1969 dowiódł, że inne wielościany o tych własnościach nie istnieją. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bryły Johnsona 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Dwupiramidy i deltościany Dwupiramidy to bryły dualne do graniastosłupów, a deltoidościany do graniastosłupów skręconych. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Wielościany Keplera - Poinsota W wielościanach można też przedłużać krawędzie lub przez wybrane wierzchołki prowadzić płaszczyzny. Takie operacje nazywane stellacjami (albo rozgwieżdżeniami) często umożliwiają otrzymanie niezwykle pięknych brył. Prostych, a zarazem efektownych przykładów dostarczają stellacje dwunastościanu foremnego. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Wielościany Keplera - Poinsota Kiedy przedłużymy krawędzie dwunastościanu aż do przecięcia się, dostaniemy dwunastościan gwiaździsty mały zbudowany z dwunastu przenikających się foremnych pięciokątów gwiaździstych; w każdym wierzchołku schodzi się pięć takich pięciokątów. Bryłę tę można również otrzymać, przyklejając do ścian dwunastościanu odpowiednie pięciokątne ostrosłupy. Jeśli teraz w otrzymanym dwunastościanie gwiaździstym w każdej pięciokątnej ścianie połączymy sąsiednie wierzchołki odcinkami i uzupełnimy do wypukłych pięciokątów, dostaniemy dwunastościan wielki. Jest on, podobnie jak zwykły dwunastościan, zbudowany z pięciokątów foremnych, tyle że przenikających się nawzajem (na plakacie). Dwunastościan gwiaździsty mały badany był przez Johannesa Keplera, a powstały z niego dwunastościan wielki został odkryty prawie dwieście lat później przez matematyka i mechanika francuskiego Louisa Poinsota (matematyk i mechanik francuski, 1777-1859). Kepler, znany z praw ruchu planet, studiował z zamiłowaniem własności wielościanów i odkrył jeszcze jeden dwunastościan nazywany gwiaździstym wielkim (na plakacie). 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Wielościany Keplera - Poinsota Trzy opisane wielościany gwiaździste wraz z odkrytym znów przez Poinsota dwudziestościanem gwiaździstym wielkim w zasadzie spełniają warunki definicji wielościanu foremnego, tylko ściany nie zawsze są wypukłe i mogą się przecinać. Dlatego dołącza się je czasem do rodziny wielościanów foremnych. Podobne i jeszcze bardziej wymyślne stellacje można wykonać na dwudziestościanie foremnym i wielościanach archimedesowych. Przy pewnych założeniach istnieje 59 stellacji dwudziestościanu. 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Inne bryły i abstrakcje 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły w życiu codziennym 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły w życiu codziennym To nie jest zdjęcie! To trójwymiarowy obraz składający się z 3330 brył! Fotorealistycz-ność zawdzięcza technice raytracingu (POV-Ray). 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły w życiu codziennym 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły w życiu codziennym 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki Bibliografia „Małe tablice matematyczne” – W.Mizerski Encyklopedia matematyczna WIEM 2004 www.wikipedia.pl www.matematyka.toplista.pl Modele brył, siatki oraz pozostałe grafiki zostały wykonane w programach POV-Ray i Corel Draw 12 2018-12-08 Bryły - P.Socha & M.Niedźwiecki

To koniec prezentacji Dziękujemy za jej obejrzenie Prezentacje przygotowali: Przemysław Socha Marcel Niedźwiecki Klasa 2 A Gimnazjum 31 Wrocław