Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2

Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów Metody wyznaczania rozwiązań początkowych Metoda północno-zachodniego narożnika Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda Vogla (VAM) Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Interpretacja rozwiązania

Przykład Firma produkująca nawozy sztuczne ma trzy zakłady produkcyjne zlokalizowane w Kluczborku, Białymstoku i Pile. Kwartalna produkcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5000 kg, 6000 kg, i 2500 kg. Firma ma cztery centra dystrybucji, zlokalizowane w Lublinie, Elblągu, Łodzi i Opolu. Przewidywany popyt na nawozy w poszczególnych centrach dystrybucji wynosi odpowiednio: 6000 kg, 4000 kg, 2000 kg oraz 1500 kg. Jednostkowe koszty transportu (w zł/kg) z każdego zakładu do poszczególnych centrów dystrybucji podano w tablicy. Tablica 1. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg] Lublin Elbląg Łódź Opole Kluczbork 3 2 7 6 Białystok 5 Piła 4 Znaleźć plan transportu minimalizujący koszty.

Przykład DECYZJA? 3 Lublin 6000 5000 Kluczbork 2 7 6 Elbląg 4000 7 5 Opole Kluczbork 3 2 7 6 Białystok 5 Piła 4 Przykład 3 Lublin 6000 5000 Kluczbork 2 7 6 Elbląg 4000 7 5 6000 Białystok 2 3 Łódź 2000 5 2 4 5 2500 Piła Opole 1500 DECYZJA? DOSTAWCY ODBIORCY

Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i, i = 1,…,3, do odbiorcy j, j = 1,…,4. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu

Koszty transportu 3x11 Lublin 6000 5000 Kluczbork 2x12 7x13 6x14 Elbląg 4000 7x21 5x22 6000 Białystok 2x23 3x24 5x32 Łódź 2000 4x33 2x31 5x34 2500 Piła Opole 1500

Sformułowanie problemu zminimalizować: z = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14 + 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24 + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34

Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i do odbiorcy j, i = 1,…,3; j = 1,…,4. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Ograniczenia Dostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas

Koszty transportu x11 Lublin 6000 5000 Kluczbork x12 x13 x14 Elbląg 4000 x21 x22 6000 Białystok x23 x24 x32 Łódź 2000 x33 x31 x34 2500 Piła Opole 1500

Sformułowanie problemu zminimalizować: z = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14 + 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24 + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34 przy ograniczeniach: x11+x12+x13+x14  5000 x21+x22+x23+x24  6000 x31+x32+x33+x34  2500

Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i do odbiorcy j, i = 1,…,3; j = 1,…,4. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Ograniczenia Dostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas Odbiorcy: trzeba dostarczyć co najmniej tyle ile wynosi zapotrzebowanie

Koszty transportu x11 Lublin 6000 5000 Kluczbork x12 x13 x14 Elbląg 4000 x21 x22 6000 Białystok x23 x24 x32 Łódź 2000 x33 x31 x34 2500 Piła Opole 1500

Sformułowanie problemu zminimalizować: z = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14 + 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24 + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34 przy ograniczeniach: x11+x12+x13+x14  5000 x21+x22+x23+x24  6000 x31+x32+x33+x34  2500 x11 +x21 +x31 = 6000 x12 +x22 +x32 = 4000 x13 +x23 +x33 = 2000 x14 +x24 +x34 = 1500 xij  0, i=1,2,3; j=1,2,3,4

Sformułowanie problemu c = [3 2 7 6 7 5 2 3 2 5 4 5]

Ogólny model zagadnienia transportowego zminimalizować   przy ograniczeniach xij  0, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n gdzie: i - indeks dostawcy, i = 1, …, n j - indeks odbiorcy, j = 1, …, m xij - liczba jednostek przesłanych od dostawcy i do odbiorcy j cij - koszt jednostkowy transportu od dostawcy i do odbiorcy j ai - zapas dostawcy i bi - zapotrzebowanie odbiorcy j całkowity koszt zapotrzebowanie zapas nieujemny przesył

Warianty zagadnienia transportowego całkowita podaż nie jest równa całkowitemu popytowi (zadanie niezbilansowane) maksymalizacja funkcji celu minimalne i maksymalne pojemności dróg niedopuszczalne połączenia Dodajemy „sztucznego” dostawcę lub odbiorcę. Mnożymy przez (-1). Dodajemy ograniczenia. Obciążamy bardzo dużymi kosztami.

Własności zagadnienia transportowego Zadanie transportowe jest sformułowane jako zadanie programowania liniowego zatem można je rozwiązać stosując np. metodę simplex. Ze względu na szczególne własności zadania transportowego istnieją inne algorytmy, o mniejszej złożoności obliczeniowej, które można zastosować do rozwiązania tego zadania.

Własności zagadnienia transportowego Każde zbilansowane zadanie transportowe posiada skończone rozwiązanie optymalne. 1n 0n 0n ... 0n 0n 1n 0n ... 0n A = ... ... ... ... ... 0n 0n 0n 1n En En En ... En Rozwiązanie bazowe zadania transportowego składa się dokładnie z (m + n – 1) zmiennych bazowych. Jeżeli wszystkie ai i bj są liczbami całkowitymi, to każde rozwiązanie bazowe (a więc również optymalne) jest utworzone z liczb całkowitych. En =

Własności zagadnienia transportowego Każdemu rozwiązaniu zadania transportowego można przyporządkować pewien graf rozwiązania zbudowany w sposób następujący: wierzchołkami są węzły (i, j), dla których xij > 0 każda para wierzchołków sąsiednich jest połączona krawędzią, przy czym parą wierzchołków sąsiednich są takie dwa wierzchołki (i1, j1) (i2, j2), że albo i1 = i2 albo j1 = j2 oraz pomiędzy nimi nie ma innych wierzchołków i \ j 1 2 3 4 5

Własności zagadnienia transportowego Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków. i \ j 1 2 3 4 5

Własności zagadnienia transportowego Niech xB będzie dowolnym dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym. Jeżeli przez B oznaczymy zbiór par (i,j), takich że xij jest zmienną bazową, to spełniony jest następujący układ równań: cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B gdzie zmienne ui i vj noszą nazwę potencjałów. Macierz C0 = [(cij – zij)] = [cij + ui +vj], i=1,..m, j=1,..,n, nazywamy równoważną macierzą zerową rozwiązania bazowego xB. Na to, aby rozwiązanie bazowe xB zadania transportowego było optymalne potrzeba i wystarcza, aby jego równoważna macierz zerowa była nieujemna.

Własności zagadnienia transportowego Układ równań: cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale wszystkie one wyznaczają tę samą równoważną macierz zerową. Jeżeli macierz C0 zawiera elementy ujemne, to odpowiadające jej rozwiązanie nie jest rozwiązaniem optymalnym. Każde zbilansowane zadanie transportowe ma rozwiązanie dopuszczalne.

Własności zagadnienia transportowego Przez cykl g(k,l) oznaczamy cykl w grafie rozwiązania, który powstaje po dołączeniu zmiennej (k,l) do rozwiązania bazowego. Wierzchołki grafu numerujemy kolejno, zaczynając od wierzchołka (k,l). Przez gp(k,l) oznaczamy zbiór wierzchołków o numerach parzystych, a przez gn(k,l) o numerach nieparzytych. i \ j 1 2 3 4 5 3 2 4 1 Niech (k,l) = (3,5) gn((3,5) = {(3,5), (2,2)} gp((3,5) = {(3,2), (2,5)}

Metoda potencjałów cij + ui + vj = 0 dla (i,j)  B Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla (i,j)  B Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. Zbadać, czy C00. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k,l) oraz gp(k,l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: Wrócić do kroku 2.

Wyznaczanie rozwiązań bazowych Metoda kąta północno-zachodniego Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM (Vogel’s Approximation Method) ri, i = 1, 2, ..., m - różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, dj, j = 1, 2, ..., n - różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, max(ri, dj) ckl = min {ckj} albo ckl = min {cil}

Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 7 6 5000 2. Białystok 5 6000 3. Piła 2500 4000 2000 1500 1000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 5000 7 6 2. Białystok 5 6000 3. Piła 2500 1000 4000 2000 1500 5000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 5000 7 6 2. Białystok 1000 5 3. Piła 2500 4000 2000 1500 1000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 5000 7 6 2. Białystok 1000 4000 3. Piła 5 2500 2000 1500 1000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 5000 7 6 2. Białystok 1000 4000 3. Piła 5 2500 1500 1500 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 5000 7 6 2. Białystok 1000 4000 3. Piła 5 1500 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ai 1.Kluczbork 5000 2. Białystok 1000 4000 6000 3. Piła 1500 2500 bj 2000 Czy jest to rozwiązanie bazowe? Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków.

Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła vj cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B u1 = 0

Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła vj cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B 3 + 0 + v1 = 0

Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła vj – 3 cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B 3 + 0 + v1 = 0

Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła vj – 3 cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B 7 + u2 + (–3) = 0

Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 – 4 3. Piła vj – 3 cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B 5 + (–4) + v2 = 0

Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 – 4 3. Piła vj – 3 – 1 cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B 2 + (–4) + v3 = 0

Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 – 4 3. Piła vj – 3 – 1 cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B 4 + u3 + 2 = 0

Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 – 4 3. Piła – 6 vj – 3 – 1 cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B 5 + (– 6) + v4 = 0

Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 – 4 3. Piła – 6 vj – 3 – 1 c0ij = cij + ui +vj c0ij = 0 dla (i, j)  B

Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 – 4 3. Piła – 6 vj – 3 – 1 c0ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 2. Białystok – 4 3. Piła – 6 vj – 3 – 1

Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 – 4 3. Piła – 6 vj – 3 – 1 c0ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 2. Białystok – 4 3. Piła – 6 vj – 3 – 1

Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 – 4 3. Piła – 6 vj – 3 – 1 c0ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 2. Białystok – 4 3. Piła – 7 – 6 vj – 3 – 1

Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 – 4 3. Piła – 6 vj – 3 – 1 c0ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 2. Białystok – 4 3. Piła – 7 – 6 vj – 3 – 1

Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 – 4 3. Piła – 6 vj – 3 – 1 c0ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 2. Białystok – 4 3. Piła – 7 – 6 vj – 3 – 1

Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 – 4 3. Piła – 6 vj – 3 – 1 c0ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 9 7 2. Białystok – 4 3. Piła – 7 – 2 – 6 vj – 3 – 1

Sprawdzanie czy rozwiązanie jest optymalne Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 9 7 2. Białystok – 4 3. Piła – 7 – 2 – 6 vj – 3 – 1 Zbadać, czy C00. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ

Metoda potencjałów cij + ui + vj = 0 dla i,j  B Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla i,j  B Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. Zbadać, czy C00. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k,l) oraz gp(k,l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: Wrócić do kroku 2.

Zmiana bazy Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że Lublin 1 Elbląg 2 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 9 7 2. Białystok – 4 3. Piła – 7 – 2 – 6 vj – 3 – 1 Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że

Metoda potencjałów cij + ui + vj = 0 dla i,j  B Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla i,j  B Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. Zbadać, czy C00. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k,l) oraz gp(k,l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: Wrócić do kroku 2.

Wyznaczanie cyklu Wyznaczyć cykl gp(k,l), gn(k,l). Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 9 7 2. Białystok – 4 3. Piła – 7 – 2 – 6 vj – 3 – 1 4 3 1 2 Wyznaczyć cykl gp(k,l), gn(k,l).

Metoda potencjałów cij + ui + vj = 0 dla i,j  B Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla i,j  B Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. Zbadać, czy C00. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k,l) oraz gp(k,l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: Wrócić do kroku 2.

Usunąć z bazy zmienną xrs, taką, że Zmiana bazy Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 9 7 2. Białystok – 4 3. Piła – 7 – 2 – 6 vj – 3 – 1 Usunąć z bazy zmienną xrs, taką, że Lublin Elbląg Łódź Opole 1.Kluczbork 5000 2. Białystok 1000 4000 3. Piła 1500 q = 1000

Metoda potencjałów cij + ui + vj = 0 dla i,j  B Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla i,j  B Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. Zbadać, czy C00. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k,l) oraz gp(k,l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: Wrócić do kroku 2.

Zmiana bazy q = 1000 Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 5000 2. Białystok 1000 4000 3. Piła 1500 q = 1000 Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 5000 2. Białystok 4000 2000 3. Piła 1000 1500

Rozwiązanie zdegenerowane Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 5000 2. Białystok 4000 2000 3. Piła 1000 1500 Czy jest to rozwiązanie bazowe? Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków.

Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Jeżeli graf rozwiązania zawiera mniej niż (n + m – 1) wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem zdegenerowanym, w którym co najmniej jedna zmienna bazowa jest równa zero. Postępowanie w takim przypadku polega na dołączeniu brakującej liczby zmiennych bazowych z wartościami zerowymi. Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie grafu spójnego i bez cykli.

Rozwiązanie zdegenerowane Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 5000 2. Białystok 4000 2000 3. Piła 1000 1500

Metoda potencjałów cij + ui + vj = 0 dla i,j  B Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla i,j  B Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. Zbadać, czy C00. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k,l) oraz gp(k,l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: Wrócić do kroku 2.

Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła vj –3 –8 –5 –6 cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B u1 = 0

Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła vj –3 –8 –5 –6 cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B u1 = 0

Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła vj –3 –8 –5 –6 c0ij = cij + ui +vj Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork –6 2. Białystok 7 3. Piła –2 vj –3 –8 –5

Zmiana bazy Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że Lublin 1 Elbląg 2 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork –6 2. Białystok 7 3. Piła –2 vj –3 –8 –5 Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że

Wyznaczanie cyklu Wyznaczyć cykl gp(k,l), gn(k,l). Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork –6 2. Białystok 7 3. Piła –2 vj –3 –8 –5 6 1 2 3 5 4 Wyznaczyć cykl gp(k,l), gn(k,l).

Usunąć z bazy zmienną xrs, taką, że Zmiana bazy Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork –6 2. Białystok 7 3. Piła –2 vj –3 –8 –5 Usunąć z bazy zmienną xrs, taką, że Lublin Elbląg Łódź Opole 1.Kluczbork 5000 2. Białystok 4000 2000 3. Piła 1000 1500 q = 1500

Zmiana bazy q = 1500 Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 5000 2. Białystok 4000 2000 3. Piła 1000 1500 q = 1500 Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 3500 1500 2. Białystok 2500 2000 3. Piła

Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 –3 3. Piła vj –2 cij + ui +vj = 0 dla (i, j)  B u1 = 0

Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 –3 3. Piła vj –2 c0ij = cij + ui +vj Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 8 6 2. Białystok –3 3. Piła vj –2

Rozwiązanie Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1.Kluczbork 8 6 8 6 2. Białystok –3 3. Piła vj –2 Równoważna macierz zerowa jest nieujemna – rozwiązanie jest optymalne. Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 3500 1500 2. Białystok 2500 2000 3. Piła

Koszty transportu X11=3500 Lublin 6000 5000 Kluczbork X12=1500 Elbląg 4000 X22=2500 6000 Białystok X23=2000 Łódź 2000 X31=2500 X24=1500 2500 Piła Opole 1500

Rozwiązanie optymalne Odbiorca Dostawca Zmienna Ilość Koszt jednostkowy Koszt całkowity Kluczbork Lublin x11 3 500 3 10 500 Elbląg x12 1 500 2 3 000 Białystok x22 2 500 5 12 500 Łódź x23 2 000 4 000 Opole x24 4 500 Piła x31 5 000 Razem 39 500

Wyznaczanie rozwiązań bazowych Metoda kąta północno-zachodniego Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM (Vogel’s Approximation Method) ri, i = 1, 2, ..., m - różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, dj, j = 1, 2, ..., n - różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, max(ri, dj) ckl = min {ckj} albo ckl = min {cil}

Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Postępujemy podobnie, jak w metodzie północno-zachodniego narożnika, ale wybieramy, jako kolejny, wierzchołek odpowiadający najmniejszemu nieskreślonemu elementowi macierzy kosztów.

Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 7 6 5000 2. Białystok 5 6000 3. Piła 2500 4000 2000 1500 1000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 4000 7 6 1000 2. Białystok 5 6000 3. Piła 2500 2000 1500 3500 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 4000 7 6 1000 2. Białystok 5 6000 3. Piła 2500 3500 2000 1500 4000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 4000 7 6 1000 2. Białystok 5 2000 3. Piła 2500 3500 1500 2500 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 4000 7 6 1000 2. Białystok 5 2000 1500 2500 3. Piła 3500 2500 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 2. Białystok 5 2000 1500 2500 3. Piła Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 1000 4000 5000 2. Białystok 2500 2000 1500 6000 3. Piła

Metoda Vogla Oznaczmy przez ri (i = 1, …, m) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami i-tego wiersza macierzy kosztów zredukowanej o dostawców, których zapas został już wyczerpany i o odbiorców, których zapotrzebowanie zostało już zaspokojone. Oznaczmy przez dj (i = 1, …, n) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami j-tej kolumny zredukowanej macierzy kosztów. Wybierz a = max{ri, dj}. Jeżeli a = ri, to wybierz element w wierszu k = i oraz kolumnie l, takiej że ckl = min{ckj}. Jeżeli a = dj, to wybierz element w kolumnie l = j oraz wierszu k, takim że ckl = min{cil}.

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj

Metoda Vogla a = max{ri, dj} Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj a = max{ri, dj}

Metoda Vogla a = max{ri, dj} ckl = min{cil} Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj a = max{ri, dj} ckl = min{cil}

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 7 6 5000 2. Białystok 5 6000 3. Piła 2500 4000 2000 1500 1000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj

Metoda Vogla ckl = min{ckj} Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj ckl = min{ckj}

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 4000 7 6 1000 2. Białystok 5 6000 3. Piła 2500 2000 1500 5000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1.Kluczbork 7 6 2. Białystok 5 3. Piła dj

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 2. Białystok 5 6000 3. Piła 2500 5000 2000 1500 2500 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 2. Białystok 5 6000 3. Piła 2500 2000 1500 4000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 2. Białystok 5 2000 3. Piła 2500 1500 2500 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 2. Białystok 5 2000 1500 2500 3. Piła Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 5000 2. Białystok 2500 5 2000 1500 6000 3. Piła