informatyka + 1

TRÓJKĄT I JEGO WŁASNOŚCI Bronisław Pabich Agnieszka Rogalska

WSTĘP Geometria trójkąta jest tematem objętym programem nauczania matematyki w szkole ponadgimnazjalnej. Takie pojęcia, jak środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości mają wiele interesujących własności, które w ostatnich latach zostały odkryte przy użyciu dynamicznych programów geometrycznych, wśród nich również GeoGebry. Seria lekcji poświęconych zagadnieniom trójkąta jest przygotowana tak, by uczeń mógł poczuć się odkrywcą nieznanej Ci wiedzy z planimetrii. Lekcje mają również na celu ukazanie wybranych fragmentów geometrii trójkąta od strony ich zastosowania w innych dziedzinach życia. Posługujemy się programem typu OpenSource – GeoGebra – jego instalacja znajduje się na platformie. Scenariusz „Trójkąt i jego własności” składa się z pięciu jednostek lekcyjnych. Można je realizować w dłuższym czasie w zależności od potrzeb. Wybrano tu kilkanaście problemów geometrii trójkąta, które pomnażają wiedzę o nim na poziomie ucznia pierwszej klasy liceum.

WSTĘP Polecenia zawarte w lekcjach traktujemy tak jak polecenia w arkuszu pracy przy wykonywaniu etapów konstrukcji geometrycznych z GeoGebrą. Przygotowane pliki GeoGebry zawierają pola wyboru (przyciski) wraz z opisem. Wciskając je, uwidaczniamy obiekty geometryczne, na które należy zwrócić szczególną uwagę. Dzięki temu można manipulować nimi, dostrzegać własności trójkątów, odkrywać nowe własności, stawiać hipotezy, dowodzić i formułować twierdzenia. W sytuacjach instrukcji zbyt trudnych korzystamy z gotowych plików programu GeoGebra, które znajdują się na platformie, a które wywołujesz bezpośrednio w tym pokazie. Dowody wybranych twierdzeń można obejrzeć jako dokumenty Worda, klikając w odpowiedni przycisk akcji w pokazie.

W pokazie przyjęto następujące oznaczenia: Link do pliku GeoGebry Link do dowodu DOWÓD Link do filmu Polecenia „Zrób to sam”

ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA I JEGO WŁASNOŚCI LEKCJA 1 ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA I JEGO WŁASNOŚCI

WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA W gimnazjum poznałeś pojęcie wysokości trójkąta. Na ogół mówi się, że wysokość trójkąta to odcinek łączący jego wierzchołek z jego rzutem prostokątnym na przeciwległy mu bok lub jego przedłużenie. W literaturze matematycznej rozważa się często tzw. przedłużenie wysokości trójkąta i wówczas mamy na myśli proste prostopadłe do boku trójkąta przechodzące przez wierzchołek leżący naprzeciw tego boku. Zauważmy, że wysokości trójkąta są równoległe do symetralnych jego boków. Ten fakt ułatwia dowodzenie wielu twierdzeń o wysokościach i symetralnych boków trójkąta.

WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA Każdy trójkąt ma trzy takie wysokości. Ćwiczenie zamieszczone w pliku GeoGebry w kolejnym slajdzie upewni Cię w przekonaniu, że przedłużenia tych wysokości przecinają się w jednym punkcie, zwanym ortocentrum trójkąta (orto [gr] = prostopadły, centrum [gr] = środek).

W dowolnym trójkącie ABC poprowadź prostą prostopadłą do boku BC WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA W dowolnym trójkącie ABC poprowadź prostą prostopadłą do boku BC przechodzącą przez wierzchołek A tego trójkąta. Gdy trójkąt jest ostrokątny, wówczas prosta ta przecina bok BC. Jeśli jednak chwycisz myszą za wierzchołki C lub B i przesuniesz je tak, by trójkąt był rozwartokątny, to prosta ta pozostaje dalej na ekranie. Uaktywnij w tej konstrukcji przyciski:

WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA Niech punkt A’ będzie punktem wspólnym tej prostej i prostej zawierającej bok BC trójkąta. Powtórz opisaną czynność dla pozostałych wierzchołków i boków trójkąta ABC, uzyskując punkty B’ i C’ .

ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA Utwórz odcinki AA’, BB’ i CC’. Są to wysokości trójkąta ABC. Punkty A’, B’ i C’ będziemy nazywać spodkami wysokości. Czy spodki wysokości należą zawsze do boków trójkąta? Zauważ, że niezależnie od położenia wierzchołków trójkąta jego wysokości zawsze przecinają się w pewnym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. Oznacz go literą H. (z j. ang. hight = wysokość).

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH NA BOKACH INNEGO TRÓJKĄTA Obierz na każdym z boków trójkąta po jednym dowolnym punkcie i oznacz je kolejno: K na boku AB, L na boku CB i M na boku AC. Utwórz trójkąt KLM i zmierz jego obwód. Przesuwaj punkty K, L i M po bokach trójkąta ABC i obserwuj, jak zmienia się obwód trójkąta KLM. Kiedy jest on najmniejszy, kiedy największy? Skorzystaj ze wskazówki umieszczonej w pliki GeoGebry. Sformułuj odkrytą własność.

TRÓJKĄT SPODKOWY Uaktywniaj przyciski GeoGebry by obserwować położenie punktów K, L i M oraz obwód trójkąta KLM. Czy zauważyłeś, że trójkąt ostrokątny KLM ma najmniejszy obwód w sytuacji, gdy jego wierzchołki K, L i M są spodkami wysokości tego trójkąta? O trójkącie KLM powiemy, że jest trójkątem spodkowym. Zatem: z wszystkich trójkątów, których wierzchołki znajdują się na bokach trójkąta ABC najmniejszy ma obwód ten, który jest trójkątem spodkowym trójkąta ABC.

WŁASNOŚCI ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA Ortocentrum każdego trójkąta ma niezwykle proste, ale bardzo interesujące własności. Kilka z nich odkrył w latach 50. poprzedniego stulecia węgierski matematyk George Pólya - wielki popularyzator wiedzy matematycznej. Poniższe dynamiczne eksperymenty ułatwią Ci odkrycie tych własności.

WŁASNOŚCI ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA Utwórz dowolny trójkąt ABC. Skonstruuj jego ortocentrum H. Skonstruuj okrąg opisany na trójkącie ABC. Poprowadź proste zawierające boki trójkąta i przekształć ortocentrum H w symetrii względem tych prostych. Otrzymane punkty oznacz: H1 =SAC(H), H2 = SCB(H), H3 = SAB(H). Jakie jest położenie tych punktów względem okręgu opisanego na trójkącie ABC?

H’ =SA’ (H), H ‘’= SB’ (H), H’’’ =S.C.’ B(H) OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W SYMETRIACH Skonstruuj środki A’, B’, C’ boków trójkąta ABC. Przekształć ortocentrum H w symetrii środkowej względem punktów A’, B’, C’ . Otrzymane punkty oznacz: H’ =SA’ (H), H ‘’= SB’ (H), H’’’ =S.C.’ B(H) Jakie jest położenie punktów H’, H’’, H’’’

OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W SYMETRIACH Czy zauważyłeś, że niezależnie od wielkości i kształtu trójkąta ABC obrazy jego ortocentrum H względem boków trójkąta leżą zawsze na okręgu opisanym na nim? Czy to przypadek? Podobnie, niezależnie od wielkości i kształtu trójkąta ABC obrazy jego ortocentrum H względem środków boków trójkąta też leżą zawsze na okręgu na nim opisanym. Można powiedzieć, że na okręgu opisanym na trójkącie znajduje się dziewięć tzw. punktów charakterystycznych trójkąta: trzy jego wierzchołki, trzy obrazy ortocentrum w symetrii względem jego boków i trzy obrazy ortocentrum względem środków jego boków. Jak się później dowiesz, nie są to jedyne punkty charakterystyczne trójkąta, leżące na okręgu opisanym na nim.

OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W SYMETRIACH Odkryte punkty charakterystyczne trójkąta ABC nie są przypadkowymi punktami. Utwórzmy kilka odcinków łaczących niektóre z nich. Rozważ sześciokąt powstały z połączenia wierzchołków trójkąta ABC z H’, H’’, H’’’. Dorysuj odcinki AH, BH i CH i spójrz na całość jak na rysunek przestrzenny. Czy dostrzegasz w nim rzut jakiegoś znanego Ci obiektu przestrzennego?

OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W SYMETRIACH Jak niewątpliwie zauważyłeś, utworzone odcinki zamknęły się w rzut pewnego prostopadłościanu. W rzucie tego prostopadłościanu brakuje jednak ósmego wierzchołka. Gdzie należy go umieścić, by konstrukcja przedstawiała kompletny rzut tego przestrzennego obiektu? Spróbuj tak ustawić położenia wierzchołków trójkąta ABC, by rzut tego prostopadłościanu stał się dokładnie rzutem sześcianu? Jakim trójkątem wówczas jest trójkąt ABC?

OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W SYMETRIACH Aby znaleźć ósmy wierzchołek, powinniśmy wykreślić trzy dodatkowe proste równoległe do wykreślonych już rzutów krawędzi tego prostopadłościanu. Ilustruje oto poniższa konstrukcja GeoGebry.

OBRAZY ORTOCENTRUM JAKO WIERZCHOŁKI RZUTU PROSTOPADŁOŚCIANU Jeżeli masz trudności z odpowiedzią na to pytanie, skonstruuj równoległą do odcinka WB przechodzącą przez punkt H’’ i równoległą do odcinka HA przechodzącą przez punkt H’. Niech punkt U będzie punktem wspólnym tych prostych. Poprowadź odcinki UH’, UH’’ i UH’’’ . Czy teraz dostrzegasz pełny kształt rzutu znanego Ci wielościanu?

OBRAZY ORTOCENTRUM JAKO WIERZCHOŁKI RZUTU PROSTOPADŁOŚCIANU Czy dostrzegasz, jakim szczególnym punktem jest znaleziony ósmy wierzchołek sześcianu, którego rzut utworzył się na ekranie? Jeśli nie, to zaobserwuj relację, w jakiej znajduje się ten punkt, ortocentrum i środek okręgu opisanego. Czy zauważyłeś, że poszukiwany ósmy wierzchołek rzutu sześcianu jest obrazem ortocentrum trójkąta ABC w symetrii względem środka okręgu opisanego na nim?

DOWÓD DOWÓD TWIERDZENIA Obrazy ortocentrum H tego trójkąta w symetrii osiowej względem prostych zawierających jego boki znajdują się na okręgu opisanym na tym trójkącie. DOWÓD Obrazy ortocentrum (punkty odpowiednio H’, H’’, H’’’) w symetrii względem środków boków BC, CA i AB trójkąta znajdują się na okręgu opisanym na nim. DOWÓD

TWIERDZENIA Siedem punktów: trzy wierzchołki trójkąta, trzy obrazy ortocentrum w symetrii względem boków trójkąta oraz ortocentrum H trójkąta po odpowiednim połączeniu odcinkami tworzą rzut pewnego prostopadłościanu. Ósmy wierzchołek w tym rzucie prostopadłościanu jest obrazem ortocentrum w symetrii względem środka okręgu opisanego na tym trójkącie. Gdy trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym, wówczas rzut prostopadłościanu staje się rzutem sześcianu.

ŚRODKOWE TRÓJKĄTA I ŚRODEK CIĘŻKOŚCI TRÓJKĄTA LEKCJA 2 ŚRODKOWE TRÓJKĄTA I ŚRODEK CIĘŻKOŚCI TRÓJKĄTA

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI FIGURY PŁASKIEJ Mechanicy, fizycy, inżynierowie, akrobaci cyrkowi, tancerki, a nawet kominiarze to zawody wymagające dobrej znajomości pojęcia środka ciężkości. Dla figury płaskiej jest to taki jej punkt, który zastępuje masę (ciężar) całej figury. Zajmijmy się poszukiwaniem takiego punktu dla trójkąta.

ŚRODKOWE TRÓJKĄTA W dowolnym trójkącie ABC wyznacz środki jego boków. Oznacz odpowiednio: środek boku BC jako A’, boku CA jako B’ i wreszcie boku AB jako C’. Utwórz odcinki AA’, BB’. Znajdź punkt przecięcia S tych odcinków. Poprowadź odcinek CC’. Czy odcinek CC’ przechodzi przez punkt S? Sprawdź to po zmianie położenia wierzchołków trójkąta.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI TRÓJKĄTA Odcinki AA’, BB’ i CC’ nazywamy środkowymi trójkąta a punkt przecięcia tych odcinków - jego środkiem ciężkości. Aby zrozumieć jego znaczenie, wykonaj pewien prosty eksperyment. Wytnij z grubszej sklejki lub pilśni dowolny trójkąt i skonstruuj jego środek ciężkości. Obróć ten trójkąt „do góry nogami” i podłuż w wyznaczonym punkcie środka jego ciężkości zaostrzony przedmiot (długopis, gwóźdź, cyrkiel itp.). Czy trójkąt ten utrzymuje się stale w równowadze? Film prezentuje to doświadczenie. Utworzone przez Ciebie odcinki dzielą trójkąt ABC na sześć trójkątów. Utwórz je w GeoGebrze, a następnie odczytaj ich pola obliczone przez program. Co zauważasz interesującego?

WŁASNOŚĆ ŚRODKA CIĘŻKOŚCI TRÓJKĄTA Poruszając wierzchołkami trójkąta ABC możesz zaobserwować, że położenie środka ciężkości na każdej ze środkowych nie jest przypadkowe. Zmierz dla przykładu długości odcinków AS i SA’. Wykorzystując kalkulator oblicz iloraz AS/SA’. Czy jest on przypadkową liczbą? Poruszaj wierzchołkami trójkąta i obserwuj, czy ta liczba się zmienia. Oblicz ilorazy długości pozostałych par odcinków: BS/SB’ i CS/SC’. Sformułuj odkryte własności trójkąta, jego środkowych i środka ciężkości.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI CZWOROKĄTA Zauważ, że niezależnie od rodzaju trójkąta środek ciężkości zawsze znajduje się w jego wnętrzu. Czy tę własność posiadają jednak inne wielokąty? Sprawdźmy to na przykładzie czworokąta. Ale jak znaleźć geometrycznie jego środek ciężkości? Oto film ilustrujący kolejne kroki konstrukcji środka ciężkości czworokąta.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI CZWOROKĄTA Zauważmy, że jeśli czworokąt będzie wklęsły, to jego środek ciężkości znika, gdyż skonstruowane odcinki S1S2 i S3S4 nie przecinają się.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI CZWOROKĄTA WKLĘSŁEGO Czy to oznacza, że mimo tego ten czworokąt nie posiada środka ciężkości? Nie, on znajduje się poza tym czworokątem. Można się o tym przekonać, wykonując proste doświadczenie: Dwa widelce umieszczamy jeden w drugim, a następnie zawieszamy je w równowadze za pomocą prętu. Mimo że widelce te stanowią figurę wklęsłą, to utrzymują się w równowadze, a położenie palca podtrzymującego tę konstrukcję wskazuje środek ciężkości tego wklęsłego układu widelców. Leży on zdecydowanie poza układem.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI DOWOLNEGO WIELOKĄTA Środek ciężkości trójkąta, czworokąta lub innego wielokąta można odnaleźć również w programie GeoGebra za pomocą jednego polecenia: ŚrodekCiężkości[nazwa wielokąta]

WSPÓŁRZĘDNE ŚRODKA CIĘŻKOŚCI TRÓJKĄTA Jeśli znamy współrzędne wierzchołków trójka, wówczas współrzędne jego środka ciężkości są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego wierzchołków. Sprawdźmy to na przykładzie. Odcięta i rzędna punktu S Przyjmują wartości: co zgadza się z obliczeniami GeoGebry.

TWIERDZENIA Środkowe dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości trójkąta. Punkt ten dzieli każdą środkową na dwa odcinki, których stosunek dłuższego do krótszego wynosi zawsze 2.

DWUSIECZNE I SYMETRALNE TRÓJKĄTA A OKRĄG DWUNASTU PUNKTÓW TRÓJKĄTA LEKCJA 3 DWUSIECZNE I SYMETRALNE TRÓJKĄTA A OKRĄG DWUNASTU PUNKTÓW TRÓJKĄTA

DWUSIECZNE I SYMETRALNE W TRÓJKĄCIE W gimnazjum nauczyłeś się konstruować symetralne boków trójkąta i dwusieczne jego kątów. Przypomnijmy, że punkt przecięcia się symetralnych wyznacza środek okręgu opisanego na trójkącie, zaś punkt przecięcia się dwusiecznych wyznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt. Okazuje się, że pomiędzy symetralnymi i dwusiecznymi zachodzi interesująca relacja, odkryta w Polsce w 1995 roku, którą teraz Ty będziesz mógł odkryć.

DWUSIECZNE I SYMETRALNE W TRÓJKĄCIE Rozważ dowolny trójkąt ABC i okrąg opisany na nim. Możesz zmieniać dowolnie położenie wierzchołków trójkąta ABC. Zaobserwuj, jak położone są względem siebie: symetralna boku BC i dwusieczna kąta BAC. Czy mogą być do siebie równoległe? Czy przecinają się? Jeśli tak, to gdzie? Czy uważasz to położenie za przypadkowe? Sprawdź czy tę własność spełniają inne symetralne i dwusieczne tego trójkąta.

PUNKTY PRZECIĘCIA DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA

PUNKTY PRZECIĘCIA DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA Skonstruuj trójkąt, którego wierzchołkami są punkty przecięcia się symetralnych i dwusiecznych trójkąta ABC. Niech to będzie trójkąt A’B’C’’. Czym są dwusieczne kątów trójkąta ABC dla trójkąta A’B’C’?

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH PRZECIĘCIA DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA Rozważ trójkąt A’’B’’C’’, którego wierzchołki są punktami przecięcia dwusiecznych trójkąta ABC z bokami trójkąta A’B’C’. Trójkąt ten jest dla trójkąta A’B’C’ trójkątem spodkowym.

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH PRZECIĘCIA DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA Jakie jest jego położenie względem trójkąta ABC? Zmierz boki obu trójkątów. W jakim przekształceniu trójkąt A’’B’’C’’ jest obrazem trójkąta ABC? Opisz na trójkącie A’’B’’C’’ okrąg i zastanów się, w jakiej relacji pozostają promienie tego okręgu i okręgu opisanego na trójkącie A’B’C’. Znajdź środek W jednokładności trójkątów A’’B’’C’’ i ABC. W trakcie konstruowania prostych AA’’, BB’’ i CC’’, zaobserwuj, czym są te proste dla trójkąta A’B’C’?

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH PRZECIĘCIA DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH PRZECIĘCIA DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA Utwórz okrąg o(A’,A’B). Które jeszcze punkty należą do tego okręgu? Dlaczego? Zmierz kąty CA’C’’ i C’’AW, a następnie kąty WA’B’’ i B’’A’B. Co dostrzegasz? Czy ma to jakiś związek z okręgiem o(A’, A’B)? Sformułuj treść odkrytego przez Ciebie twierdzenia. Spróbuj je udowodnić? Zbadaj relacje między dwusiecznymi a bokami trójkąta A’B’C’.

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH PRZECIĘCIA DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA

OKRĄG DWUNASTU PUNKTÓW TRÓJKĄTA A teraz spróbujemy dostrzec zależność pomiędzy punktami przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi jego boków w kontekście poznanych już wcześniej sześciu obrazów ortocentrum trójkąta w symetriach jego boków i w symetriach względem środków tych boków. Łącznie z wierzchołkami trójkąta jest 12 takich punktów. Wszystkie leżą na okręgu opisanym na trójkącie. Sprawdź to, poruszając wierzchołkami trójkąta. Spróbujmy dopatrzeć się zależności położeń tych punktów i punktów przecięcia się symetralnych z dwusiecznymi.

TWIERDZENIA Dwusieczne kątów i symetralne przeciwległych im boków przecinają się w punktach na okręgu opisanym na tym trójkącie. Punkty te są wierzchołkami nowo utworzonego trójkąta, którego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi poprzedniego trójkąta. Trójkąt spodkowy nowo utworzonego trójkąta jest jednokładny z trójkątem bazowym w skali 1/2. Punkty przecięcia się symetralnych boków trójkąta z dwusiecznymi jego kątów są środkami łuków o końcach będących obrazami ortocentrum w symetrii względem boków trójkąta i środków tych boków.

TRÓJKĄTY RÓWNOBOCZNE ZBUDOWANE NA BOKACH DOWOLNEGO TRÓJKĄTA LEKCJA 4 TRÓJKĄTY RÓWNOBOCZNE ZBUDOWANE NA BOKACH DOWOLNEGO TRÓJKĄTA

TWIERDZENIE NAPOLEONA BARLOTTIEGO Historia matematyki zna takie sytuacje, w których kilku matematyków, zajmując się niemal tym samym problemem, odkryło niezależnie od siebie wiele znaczących równych twierdzeń dotyczących trójkąta. Tak się stało w wieku XVII i XVIII, kiedy któryś z matematyków utworzył na bokach dowolnego trójkąta trójkąty równoboczne. Okazało się wówczas, że w takiej konfiguracji można było dość szybko dostrzec kilka interesujących własności. Odkrycie innych wymagało już dokładniejszego przyjrzenia się trójkątowi. W kolejnych slajdach będziesz miał możliwość poznania tych bardzo popularnych własności trójkąta.

TWIERDZENIE NAPOLEONA BARLOTTIEGO Na bokach dowolnego trójkąta ABC skonstruowane są trójkąty równoboczne. Chwyć myszą za jeden z wierzchołków trójkąta ABC, by się o tym przekonać. Jakim trójkątem jest trójkąt PQR? Odpowiedz na to pytanie poruszając wierzchołkami A, B, C w poniższej konstrukcji GeoGeobry.

TWIERDZENIE NAPOLEONA BARLOTTIEGO Czy możesz tak ustalić położenie punktów A, B i C, aby cztery z pięciu trójkątów widocznych na ekranie pokryły się? Co dzieje się wówczas z piątym trójkątem?

TWIERDZENIE NAPOLEONA BARLOTTIEGO Czy dostrzeżona przez Ciebie własność pozostaje prawdziwa, gdy trójkąty BCL, ABK i ACM będą skonstruowane „do wnętrza” trójkąta bazowego ABC? Dla zbadania tego problemu wykonaj własną konstrukcję. W tworzeniu jej użyj makrokonstrukcję trójkąta równobocznego oraz makrokonstrukcję ortocentrum trójkąta. Poniżej znajduje się link do filmu opisującego sposób tworzenia tych makrokonstrukcji w GeoGebrze.

TWIERDZENIE NAPOLEONA BARLOTTIEGO Twierdzenie to odkrył znany z historii wódź francuski Napoleon Bonaparte. Przez dorysowanie trójkątów równobocznych na bokach dowolnego trójkąta można jeszcze odkryć kilka innych własności. Na kolejnym slajdzie zobaczysz przygodę matematyczną zwaną problemem Torricellego  Fermata. W tym celu na bokach dowolnego trójkąta ABC, w którym żaden z kątów wewnętrznych nie przekracza miary 120º skonstruuj trójkąty równoboczne.

TWIERDZENIE TORRICELLEGO Chwyć myszą za jeden z wierzchołków trójkąta ABC by się o tym przekonać. Utwórz trzy odcinki, z których każdy łączy jeden z wierzchołków trójkąta ABC z wierzchołkiem trójkąta skonstruowanego na boku przeciwległym temu wierzchołkowi. Poruszaj dowolnym z wierzchołków trójkąta ABC i obserwuj zachowanie się utworzonych odcinków. Czy odcinki te przecinają się? Czy zawsze? Który z nich jest najdłuższy? Czy proste zawierające te odcinki przecinają się ze sobą?

TWIERDZENIE TORRICELLEGO

TWIERDZENIE TORRICELLEGO Oznacz przez T punkt, w którym przecinają się odcinki AL, BM i CK. Punkt ten nazywamy punktem Torricellego (Jan Evangelista Torricelli 1608-1647).

TWIERDZENIE TORRICELLEGO Zmierz kąty, jakie tworzą te odcinki między sobą. Co dostrzegasz? Na każdym z trzech skonstruowanych trójkątów równobocznych opisz okrąg. Czy tak skonstruowane okręgi przecinają się? Czy zawsze? Jeżeli tak, to gdzie znajduje się ich wspólny punkt?

PUNKT TORRICELLEGO Rozważ odcinek łączący środki dwóch skonstruowanych okręgów opisanych i odcinek łączący wierzchołek nowo powstałego trójkąta równobocznego, na którym jest opisany trzeci okrąg z wierzchołkiem trójkąta ABC, który nie należy do tego trójkąta równobocznego. Jak te odcinki są położone względem siebie? Sprawdź swoje przypuszczenia.

PUNKT TORRICELLEGO Punkt T zwany punktem Torricellego ma jeszcze jedną szczególną własność. Poniższa konstrukcja pozwoli Ci ją odczytać. Porównaj ze sobą wartość sumy odległości punktu T od wierzchołków trójkąta i tę samą sumę dla dowolnego punktu P różnego od T. Poruszaj punktem P i znajdź takie jego położenie, by PA + PB + PC było minimalne.

PUNKT FERMATA  TORRICELLEGO Problem poszukiwania punktu P, dla którego PA + PB + PC jest minimalne postawił francuski matematyk Pierre Fermat. Okazuje się, że punkt Torricellego jest równocześnie punktem Fermata. Pierre Fermat (1601-1665) rozwiązał swój problem w bardzo oryginalny sposób. Potem dostrzeżono, że jego rozwiązanie pokrywa się z punktem Torricellego. Jeśli chcesz poznać rozwiązanie Fermata, obejrzyj film Znajdź w Internecie biografię Pierre’a Fermata. Dowiedz się również, co to są problemy optymalizacyjne. Czy problem Fermata należy do nich?

TWIERDZENIA Jeżeli na bokach dowolnego trójkąta skonstruujemy trójkąty równoboczne, to trójkąt, którego wierzchołkami są ortocentra tych trójkątów jest też równoboczny. Autorem tego twierdzenia jest znany z historii Napoleon Bonaparte oraz włoski matematyk Adriano Barlotti, który w 1955 roku uogólnił to twierdzenie. Spróbuj przenieść analogicznie to twierdzenie na kwadraty i sześciokąty foremne zbudowane na bokach dowolnego trójkąta czworokąta lub sześciokąta. Czy są one prawdziwe? DOWÓD

TWIERDZENIA Jeżeli na bokach dowolnego trójkąta, w którym żaden z kątów nie przekracza miary 120º skonstruujemy trójkąty równoboczne, wówczas odcinki łączące dowolny wierzchołek trójkąta bazowego z wierzchołkiem trójkąta dorysowanego na boku przeciwległym temu wierzchołkowi są równej długości. Proste w których te odcinki zawierają się, przecinają się zawsze w jednym punkcie zwanym punktem Torricellego  Fermata i tworzą między sobą kąt 120º (60º). Okręgi opisane na dorysowanych trójkątach przecinają się również w punkcie Torricellego  Fermata, przy czym odcinek łączący środki dwóch z nich jest prostopadły do odcinka łączącego trzeci wierzchołek trójkąta z punktem Torricellego. DOWÓD

LEKCJA 5 PROSTA I OKRĄG EULERA

LEONARD EULER Wspomniane w poprzednich lekcjach punkty charakterystyczne trójkąta mają jeszcze wiele rozmaitych własności. Kilka z nich zawdzięczamy odkryciom dokonanym przez wybitnego matematyka szwajcarskiego, który część swego życia spędził w ówczesnej Rosji, a następnie w Berlinie. Ciekawostką jest fakt, że matematyk ten od 50. roku stracił całkowicie wzrok. Mimo tego faktu jego niesamowita pamięć i zdolność obliczania w pamięci skomplikowanych obliczeń pozwoliła mu rozwiązać wiele problemów z matematyki, które pieczołowicie spisywali jego synowie. Leonard Euler, bo o nim mowa, dzięki słynnym mostom królewieckim, stworzył podwaliny teorii grafów. W trójkącie odnalazł własności znane pod nazwą prostej i okręgu Eulera.

PROSTA LEONARDA EULERA Rozważmy dowolny trójkąt ABC. Wyznaczmy punkty charakterystyczne trójkąta, do których zaliczamy: ortocentrum (H), środek ciężkości (M), punkt przecięcia się środkowych, środek okręgu opisanego i wpisanego. Chwyć myszą dowolny wierzchołek trójkąta i zaobserwuj, jak w trakcie zmiany jego położenia zmienia się położenie tych punktów względem trójkąta i względem siebie. Czy ortocentrum H może zająć położenie jednego z wierzchołków trójkąta? Gdzie wówczas znajduje się punkt O? Jaki to trójkąt ?

PROSTA LEONARDA EULERA Zwróć szczególną uwagę na punkty H, M i O. Czy może się zdarzyć, by któreś trzy z nich były współliniowe? Jeżeli tak, to jakie jest ich uporządkowanie na tej wspólnej prostej? Który z tej trójki punktów znajduje się pomiędzy pozostałymi?

PROSTA LEONARDA EULERA Utwórz odcinki MH i MO. Zmierz je i zaobserwuj, jaka relacja zachodzi między ich długościami w trakcie zmiany położenia wierzchołków trójkąta ABC.

OKRĄG LEONARDA EULERA Rozważ w dowolnym trójkącie ABC środki A’, B’ i C’ jego boków i skonstruuj okrąg przechodzący przez te punkty. Jakim szczególnym punktem trójkąta jest środek E tego okręgu? Dla ułatwienia skonstruuj odcinek OH, gdzie O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, zaś H jego ortocentrum Poprowadź wysokości AH1, BH2 i CH3, gdzie punkty H1, H2 i H3 są ich spodkami. Gdzie znajdują się te punkty? Czy jest to fakt przypadkowy? Poruszaj dowolnym z wierzchołków trójkąta ABC i zaobserwuj, czy to, co dostrzegłeś jest prawdziwe w przypadku innych trójkątów?

OKRĄG LEONARDA EULERA Skonstruuj środki P, Q i R odcinków HA, HB i HC, gdzie H jest ortocentrum trójkąta ABC. Gdzie znajdują się te trzy nowopowstałe punkty? Czy ten fakt jest przypadkowy? Znowu zmień położenie wierzchołków trójkąta i zaobserwuj, czy własności dostrzeżone przez Ciebie zmieniły się?

OKRĄG LEONARDA EULERA Zmierz promień okręgu opisanego (np. OA) i promień okręgu o środku E (np. EC). Co tym razem dostrzegasz? Zbadaj, czy środek okręgu Eulera leży na prostej Eulera. Sformułuj w postaci twierdzenia odkryte fakty i spróbuj je uzasadnić.

TWIERDZENIA Środek okręgu opisanego na dowolnym trójkącie, środek ciężkości i ortocentrum tego trójkąta leżą na wspólnej prostej zwanej prostą Eulera, przy czym środek ciężkości leży zawsze pomiędzy pozostałymi punktami i jego odległość od ortocentrum jest dwukrotną odległością od środka okręgu opisanego. DOWÓD

TWIERDZENIA Środki boków dowolnego trójkąta i spodki jego wysokości należą do wspólnego okręgu, zwanego okręgiem Eulera - Feuerbacha. Do okręgu tego należą również środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z każdym z jego wierzchołków. Środek tego okręgu znajduje się w środku odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie, a długość jego promienia jest połową długości promienia okręgu opisanego na trójkącie. DOWÓD

ZADANIA ZAMKNIĘTE OTWARTE