POLA POWIERZCHNI FIGUR PŁASKICH OPRACOWAŁA: BARBARA BIEDROŃ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

SPOSÓB PORUSZANIA SIĘ PO PROGRAMIE Znaczenie poszczególnych przycisków: SPIS TREŚCI Wróć do spisu treści Przejdź do następnego slajdu Wróć do poprzedniego slajdu Wróć do ostatnio wyświetlanego slajdu OSTATNIO WYŚWIETLANY Przejdź do testu Otwiera dodatkowe informacje o figurach Ciekawostki Koniec

SPIS TREŚCI Wstęp Wiadomości - wzory Wiadomości - jednostki Sprawdzian – projekt ogrodu Figury w układzie współrzędnych Test – zamiana jednostek Koniec PROGRAM FIGURY PROGRAM BLOCKCAD OSTATNIO WYŚWIETLANY

WSTĘP Prezentacja „Pola powierzchni figur płaskich” została przygotowana jako pomoc dydaktyczna do lekcji matematyki w gimnazjum (klasa I). Można ją wykorzystać w celu utrwalenia wiadomości uczniów na lekcjach powtórzeniowych. SPIS TREŚCI

I OBWODY FIGUR PŁASKICH POLA POWIERZCHNI I OBWODY FIGUR PŁASKICH - wzory SPIS TREŚCI

Wybierz figurę, a dowiesz się jak obliczamy jej pole i obwód ! WIELOKĄTY Wielokąt - jest to część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną. Długość tej łamanej to obwód wielokąta. Przykłady wielokątów: Trójkąt Deltoid Wybierz figurę, a dowiesz się jak obliczamy jej pole i obwód ! Koło Wielokąt Prostokąt Równoległobok Romb Trapez SPIS TREŚCI

PRZYKŁAD WIELOKĄTY PROSTOKĄT Pole i obwód prostokąta: Pole i obwód kwadratu: a WIELOKĄTY a OSTATNIO WYŚWIETLANY

DOWÓD WIELOKĄTY RÓWNOLEGŁOBOK Pole równoległoboku: h b a Obwód równoległoboku: WIELOKĄTY OSTATNIO WYŚWIETLANY

DOWÓD WIELOKĄTY ROMB Pole rombu: Obwód rombu: e f a a OSTATNIO WYŚWIETLANY

DOWÓD WIELOKĄTY TRAPEZ Pole trapezu: Obwód trapezu: b c d h a OSTATNIO WYŚWIETLANY

DOWÓD WIELOKĄTY TRÓJKĄT Pole trójkąta: Obwód trójkąta: c b h a OSTATNIO WYŚWIETLANY

DOWÓD WIELOKĄTY DELTOID Pole deltoidu: Obwód deltoidu: e f b a OSTATNIO WYŚWIETLANY

DOWÓD WIELOKĄTY KOŁO Pole koła: Długość okręgu: π ≈ 3,14 r . O OSTATNIO WYŚWIETLANY SPIS TREŚCI

Przykład POWRÓT DO WZORU PROSTOKĄT POWRÓT DO WZORU a a Aby określić, jaką powierzchnię ma figura, możemy podzielić ją na jednakowe kwadraty. Narysowany prostokąt został podzielony na 18 jednakowych kwadratów. Mówimy, że jego pole powierzchni, wyrażone za pomocą tych kwadratów, wynosi 18 jednostek.

DOWÓD POWRÓT DO WZORU a h RÓWNOLEGŁOBOK POWRÓT DO WZORU h a Przecinając równoległobok o podstawie a i wysokości h wzdłuż wysokości, otrzymujemy dwie części, z których można złożyć prostokąt o bokach długości a i h. Pole równoległoboku jest równe polu otrzymanego prostokąta.

DOWÓD ROMB POWRÓT DO WZORU e e f f Z dwóch jednakowych rombów o przekątnych długości e i f można ułożyć prostokąt o bokach długości e i f. Prostokąt ten ma pole 2 razy większe niż pole każdego z tych rombów.

DOWÓD POWRÓT DO WZORU a a TRAPEZ POWRÓT DO WZORU a a h b b Z dwóch jednakowych trapezów o podstawach długości a i b oraz wysokości h można ułożyć równoległobok. Równoległobok ten ma wysokość h, a odpowiadająca tej wysokości podstawa ma długość a+b. Pole trapezu jest 2 razy mniejsze niż pole równoległoboku.

DOWÓD POWRÓT DO WZORU a a TRÓJKĄT POWRÓT DO WZORU h a a Z dwóch jednakowych trójkątów o podstawie długości a i wysokości h opuszczonej na tę podstawę można złożyć równoległobok o podstawie a i wysokości h. Pole trójkąta jest 2 razy mniejsze od pola równoległoboku.

DOWÓD DELTOID POWRÓT DO WZORU e f e f Z dwóch jednakowych deltoidów o przekątnych długości e i f można ułożyć prostokąt o bokach długości e i f. Prostokąt ten ma pole 2 razy większe niż pole każdego z tych deltoidów.

DOWÓD POWRÓT DO WZORU r πr KOŁO POWRÓT DO WZORU r πr Popatrz jak można podzielić koło i z otrzymanych części ułożyć figurę przypominającą prostokąt. Długość tego odcinka jest równa długości półokręgu. Pole koła jest równe polu prostokąta o bokach πr i r.

Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste. Przekątne w prostokącie są równe i dzielą się na połowy d d Prostokąt ma dwie wysokości, pokrywające się z bokami b = ha Wysokość prostokąta to najkrótsza odległość między przeciwległymi bokami Wysokość opuszczona na bok a a = hb Wysokość opuszczona na bok b OSTATNIO WYŚWIETLANY

Kwadrat to taki prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości. Przekątne w kwadracie przecinają się pod kątem prostym i dzielą kąty wewnętrzne na połowy Znając długość boku kwadratu łatwo obliczysz długość jego przekątnej a d d 450 450 a OSTATNIO WYŚWIETLANY

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. b Przekątne równoległoboku nie są równe, lecz dzielą się na połowy b a ha hb Wysokość równoległoboku to najkrótsza odległość między przeciwległymi bokami d2 d1 Zauważ, że mówiąc o najkrótszej odległości mamy na myśli długość odcinka prostopadłego do boku wielokąta! OSTATNIO WYŚWIETLANY

Romb to taki równoległobok, który ma wszystkie boki równej długości. Przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym i dzielą kąty wewnętrzne na połowy a a UWAGA: W rombie, podobnie jak w każdym równoległoboku, suma kąta ostrego i kąta rozwartego wynosi 1800 OSTATNIO WYŚWIETLANY

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe to podstawy, a dwa pozostałe boki to ramiona trapezu Wysokość trapezu to najkrótsza odległość między jego podstawami podstawa Odcinki d1 i d2 to przekątne trapezu ramię h d1 d2 OSTATNIO WYŚWIETLANY

Wielokątem o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt (ma on trzy boki i trzy kąty wewnętrzne). Własności trójkątów: h1 a b h3 1. WARUNEK TRÓJKĄTA: Suma długości każdych dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku a+b>c i a+c>b i b+c>a h2 c 2. Suma kątów wewnętrznych wynosi 1800 3.Wysokości (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie Wysokość trójkąta to odległość wierzchołka trójkąta od przeciwległego boku OSTATNIO WYŚWIETLANY

Deltoid to czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków równej długości. Przekątne deltoidu są prostopadłe. Punkt przecięcia przekątnych dzieli jedną z nich na połowy. Deltoid nazywamy latawcem. a b d1 d2 OSTATNIO WYŚWIETLANY

Okrąg to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie jednakowo oddalonych od ustalonego punktu zwanego środkiem okręgu. Koło jest to część płaszczyzny ograniczona okręgiem wraz z tym okręgiem. S Punkt należący do koła, lecz nie należący do okręgu R Środek koła (okręgu) - punkt ten należy do koła, lecz nie należy do okręgu Punkt należący do okręgu (należy więc i do koła) P OSTATNIO WYŚWIETLANY

Klasyfikacja czworokątów OSTATNIO WYŚWIETLANY

Obwód wielokąta jest to suma długości wszystkich jego boków Obwód tego wielokąta obliczymy dodając długości wszystkich jego boków d c e b a Obw = a + b + c + d + e OSTATNIO WYŚWIETLANY

Pole dowolnego wielokąta łatwo obliczysz, jeśli podzielisz go na dobrze znane Ci figury tak, jak zrobiono to na poniższych przykładach Pole tego sześciokąta =2 * pole trapezu II I II Pole tego dwunastokąta = =pole prostokąta I + 2* pole prostokąta II OSTATNIO WYŚWIETLANY

Można zapisać to wzorem: Zobacz w jaki sposób można obliczyć pole dowolnego wielokąta Pole tego pięciokąta = = pole trójkąta + pole trapezu h2 a b h1 Ptrójkąta Można zapisać to wzorem: Ptrapezu OSTATNIO WYŚWIETLANY

Wielokąt, który ma cztery boki to czworokąt Suma kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi 3600 Każdy czworokąt ma dwie przekątne d1 d2 OSTATNIO WYŚWIETLANY

ZAMIANA JEDNOSTEK SPIS TREŚCI

ZALEŻNOŚCI MIĘDZY JEDNOSTKAMI POLA: 1km2 = 10000000000cm2 1km2 = 100000000dm2 1km2 = 1000000m2 1dm2 = 100cm2 1dm2 = 10000mm2 1a = 100m2 1dm2 = 0,01m2 1 ha = 100 a = 10000m2 1m2 = 0,01a = 0,0001 ha OSTATNIO WYŚWIETLANY

1 mm2 - jest to kwadrat o boku 1mm Jednostki, w których mierzymy pole figury to kwadraty: 1 mm2 - jest to kwadrat o boku 1mm 1 cm2 - jest to kwadrat o boku 1cm 1dm2 - jest to kwadrat o boku 1dm (10cm) 1 m2 - jest to kwadrat o boku 1m 1 km2 -jest to kwadrat o boku 1km 1 a (ar) - jest to kwadrat o boku 10m 1 ha (hektar) - jest to kwadrat o boku 100m 1cm2 OSTATNIO WYŚWIETLANY

Zamiana jednostek pola Przykłady: 1cm2 = (10mm)2 = 100mm2 1dm2 = (10cm) 2 = 100cm2 1m2 = (100cm) 2 = 10 000cm2 1m2 = (10dm) 2 = 100dm2 1km2 = (1000m) 2 = 1 000 000m2 1a = (10m) 2 = 100m2 1ha = (100m) 2= 10 000m2 1a = 100m2 10m 1ha = 10000m2 100m OSTATNIO WYŚWIETLANY

JEDNOSTKAMI DŁUGOŚCI: ZALEŻNOŚCI MIĘDZY JEDNOSTKAMI DŁUGOŚCI: 1km = 1000m 1m = 100cm 1m = 10dm 1dm = 10cm 1cm = 10mm OSTATNIO WYŚWIETLANY SPIS TREŚCI

SPRAWDZIAN WIADOMOŚCI - PROJEKT OGRODU OTWÓRZ SPIS TREŚCI

OTO PROJEKT DZIAŁKI Przyjrzyj się rysunkowi, a następnie wykonaj ćwiczenia. 11 12 3 10 1 2 4 13 Powrót 4 9 Powrót 3 8 5 6 Powrót 2 7 Powrót 1 OBJAŚNIENIA DO RYSUNKU OBLICZENIA OSTATNIO WYŚWIETLANY ĆWICZWNIE 1

Działka ma powierzchnię: Ćwiczenie 1 Działka ma powierzchnię: 80m2 8a 0,8ha OBLICZENIA

Jaką powierzchnię ma budynek? Ćwiczenie 2 Jaką powierzchnię ma budynek? 98m2 9,8m2 0,098a OBLICZENIA

Jaką powierzchnię zajmuje basen i oczko wodne? Ćwiczenie 3 Jaką powierzchnię zajmuje basen i oczko wodne? ok.0,2a ok.2000m2 ok. 20m2 OBLICZENIA

Jaką powierzchnię zajmuje altana? Ćwiczenie 4 Jaką powierzchnię zajmuje altana? 20,25m2 202,5cm2 20,25dm2 OBLICZENIA

Jaką powierzchnię zajmują wszystkie ogródki i rabaty? Ćwiczenie 5 Jaką powierzchnię zajmują wszystkie ogródki i rabaty? 370m2 3,7a 0,37a OBLICZENIA

Na jakiej powierzchni trawnika leży latawiec? Ćwiczenie 6 Na jakiej powierzchni trawnika leży latawiec? 20dm2 20000cm2 2m2 OBLICZENIA

Ćwiczenie 7 Jaką powierzchnię zajmuje ścieżka? 4m2 40m2 400dm2 OBLICZENIA

Ćwiczenie 8 Jaką powierzchnię zajmują dwa wjazdy i podjazd? 250m2 0,025ha OBLICZENIA

UKŁADAMY KOSTKĘ BRUKOWĄ ĆWICZENIE 10

Ile metrów kwadratowych mają razem: wjazd1 i wjazd2? Ćwiczenie 9 Ile metrów kwadratowych mają razem: wjazd1 i wjazd2? 230 32 23 OBLICZENIA

Jaką powierzchnię działki należy zasiać trawą? Ćwiczenie 11 Jaką powierzchnię działki należy zasiać trawą? ok.60m2 ok.600a ok.0,06ha OBLICZENIA

Ćwiczenie 10 Oblicz koszt zakupu jednej kostki brukowej każdego koloru. Wymiary: 10cm x 20 cm Cena za 1m2 29 zł. Wymiary: 10cm x 20 cm Cena za 1m2 27 zł. ! 1m2 chodnika składamy z 50 kostek. Pamiętaj, że cena 1m2 chodnika zależy od ilości kostek każdego koloru. OSTATNIO WYŚWIETLANY

CZERWONA KOSTKA 1 szt. kosztuje: Wymiary: 10cm x 20 cm Cena za 1m2 29 zł. 1 szt. kosztuje: 0,58zł 5,80zł 0,85zł

SZARA KOSTKA 1 szt. kosztuje: Wymiary: 10cm x 20 cm Cena za 1m2 27 zł.

WZÓR 1 WZÓR 3 WZÓR 2 WZÓR 4 1m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 1m Wybierz wzór chodnika! 1m 1m 1m 1m

WZÓR 1 Wybierając wzór 1, koszt zakupu kostki brukowej na wjazd 1 i wjazd 2 wynosi: 644zł 310,50zł 333,50zł

WZÓR 2 Wybierając wzór 2 koszt zakupu kostki brukowej na wjazd 1 i wjazd 2 wynosi: 694,42zł 644,92zł 346,84zł

WZÓR 3 Wybierając wzór 3 koszt zakupu kostki brukowej na wjazd1 i wjazd2 wynosi: 673,56zł 637,56zł 397,44zł

WZÓR 4 Wybierając wzór 4, koszt zakupu kostki brukowej na wjazd1 i wjazd2 wynosi: 652,28zł 453,56zł 283,60zł

KOSZT ZAKUPU KOSTKI BRUKOWEJ ZOBACZ EFEKT WZÓR 1 TWOJE OBLICZENIA DZIAŁKA: 8a BUDYNEK: 98m2 BASEN: ok.16m2 OCZKO WODNE: ok.4m2 ALTANA: 20,25m2 OGRÓDKI I RABATY: 0,37a LATAWIEC: 20dm2 ŚCIEŻKA: 40m2 WJAZD1 I WJAZD2: 23m2 PODJAZD: 2m2 TRAWNIK: ok. 0,06ha CIEKAWOSTKI 1 2 KOSZT ZAKUPU KOSTKI BRUKOWEJ SPIS TREŚCI 1m2 chodnika (wzór1) obejmuje: 25 kostek czerwonych (1 szt. 0,58zł) i 25 kostek szarych (1szt. 0,54zł). Koszt zakup kostki brukowej na 23m2 wynosi 644zł.

KOSZT ZAKUPU KOSTKI BRUKOWEJ ZOBACZ EFEKT WZÓR 2 TWOJE OBLICZENIA DZIAŁKA: 8a BUDYNEK: 98m2 BASEN: ok.16m2 OCZKO WODNE: ok.4m2 ALTANA: 20,25m2 OGRÓDKI I RABATY: 0,37a LATAWIEC: 20dm2 ŚCIEŻKA: 40m2 WJAZD1 I WJAZD2: 23m2 PODJAZD: 2m2 TRAWNIK: ok. 0,06ha CIEKAWOSTKI 1 2 KOSZT ZAKUPU KOSTKI BRUKOWEJ SPIS TREŚCI 1m2 chodnika (wzór2) obejmuje: 26 kostek czerwonych (1 szt. 0,58zł) i 24 kostek szarych (1szt. 0,54zł). Koszt zakup kostki brukowej na 23m2 wynosi 644,92zł.

KOSZT ZAKUPU KOSTKI BRUKOWEJ ZOBACZ EFEKT WZÓR 3 TWOJE OBLICZENIA DZIAŁKA: 8a BUDYNEK: 98m2 BASEN: ok.16m2 OCZKO WODNE: ok.4m2 ALTANA: 20,25m2 OGRÓDKI I RABATY: 0,37a LATAWIEC: 20dm2 ŚCIEŻKA: 40m2 WJAZD1 I WJAZD2: 23m2 PODJAZD: 2m2 TRAWNIK: ok. 0,06ha CIEKAWOSTKI 1 2 KOSZT ZAKUPU KOSTKI BRUKOWEJ SPIS TREŚCI 1m2 chodnika (wzór3) obejmuje: 18 kostek czerwonych (1 szt. 0,58zł) i 32 kostek szarych (1szt. 0,54zł). Koszt zakup kostki brukowej na 23m2 wynosi 637,56zł.

KOSZT ZAKUPU KOSTKI BRUKOWEJ ZOBACZ EFEKT WZÓR 4 TWOJE OBLICZENIA DZIAŁKA: 8a BUDYNEK: 98m2 BASEN: ok.16m2 OCZKO WODNE: ok.4m2 ALTANA: 20,25m2 OGRÓDKI I RABATY: 0,37a LATAWIEC: 20dm2 ŚCIEŻKA: 40m2 WJAZD1 I WJAZD2: 23m2 PODJAZD: 2m2 TRAWNIK: ok. 0,06ha CIEKAWOSTKI 1 2 KOSZT ZAKUPU KOSTKI BRUKOWEJ SPIS TREŚCI 1m2 chodnika (wzór4) obejmuje: 34 kostek czerwonych (1 szt. 0,58zł) i 16 kostek szarych (1szt. 0,54zł). Koszt zakup kostki brukowej na 23m2 wynosi 652,28zł.

BRAWO ROZWIĄZAŁEŚ POPRAWNIE CAŁY TEST WZÓR 1 WZÓR 2 WZÓR 3 WZÓR 4 ZOBACZ WYNIK SWOJEJ PRACY WEDŁUG WYBRANEGO WZORU KOSTKI WZÓR 1 WZÓR 2 WZÓR 3 WZÓR 4 SPIS TREŚCI

Figury w układzie współrzędnych OTWÓRZ SPIS TREŚCI

FIGURY - w układzie współrzędnych MASZ OCHOTĘ JESZCZE POĆWICZYĆ??? ODCZYTAJ WSPÓŁRZĘDNE ZAZNACZONYCH PUNKTÓW I OBLICZ POLA POWIERZCHNI NARYSOWANYCH FIGUR TAK NIE

y H G I D A E F C Ł X K B L x O 1 S R J M P T W Y Z N U SPIS TREŚCI

OBLICZ POLE POWIERZCHNI FIGURY UWAGA! Podziel równoległobok na dwa trójkąty! OBLICZ POLE POWIERZCHNI FIGURY B D A C P=24 B D A C P=26 B D A C P=12

OBLICZ POLE POWIERZCHNI FIGURY

OBLICZ POLE POWIERZCHNI FIGURY J K P = 44 I J K P = 22 I J K P = 11

OBLICZ POLE POWIERZCHNI FIGURY UWAGA! π ≈ 3,14 L P ≈ 28,66 L P ≈ 26,28 L P ≈ 28,26

OBLICZ POLE POWIERZCHNI FIGURY M N R P M N R P P = 18 P =24 M N R P P =36

OBLICZ POLE POWIERZCHNI FIGURY S T W U P =36 S T W U P =80 S T W U P = 40

OBLICZ POLE POWIERZCHNI FIGURY X Y Z Ł P =54 X Y Z Ł P =40 X Y Z Ł P =45

ŚWIETNIE ŚWIETNIE ŚWIETNIE WRÓĆ DO ĆWICZEŃ ŚWIETNIE SPIS TREŚCI

C O y ŹLE! SPRÓBUJ PONOWNIE OSTATNIO WYŚWIETLANY

TEST- zamiana jednostek OTWÓRZ SPIS TREŚCI

ABY ZAKOŃCZYĆ PRZEGLĄDANIE PREZENTACJI KONIEC PREZENTACJI ABY ZAKOŃCZYĆ PRZEGLĄDANIE PREZENTACJI NACIŚNIJ KLAWISZ ESC

CIEKAWOSTKA Długość odcinka możemy zmierzyć za pomocą linijki. Mało kto wie, ze istnieje przyrząd do mierzenia pól różnych figur. Takie urządzenie, planimetr, wynalazł w roku 1814 niemiecki inżynier J. M. Herman. Mierzenie pola figury polega na prowadzeniu specjalnego wodzika wzdłuż linii ograniczającej tę figurę. Planimetr najczęściej używany jest przez geodetów do mierzenia pól obszarów zaznaczonych na mapie. SPIS TREŚCI OSTATNIO WYŚWIETLANY

SPIS TREŚCI OSTATNIO WYŚWIETLANY