PROGRAM WYKŁADU Analiza obwodów liniowych pobudzanych okresowymi przebiegami niesinusoidalnymi. Szereg Fouriera w postaci trygonometrycznej i wykładniczej współczynniki charakteryzujące przebiegi odkształcone, moce: czynna, bierna i odkształcenia,

Analiza obwodów liniowych pobudzanych okresowymi przebiegami niesinusoidalnymi 1. Szereg Fouriera

Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o częstotliwościach kf, jeżeli funkcja ta spełnia warunki Dirichleta: w każdym przedziale o długości T funkcja f(t) jest bezwględnie całkowalna, czyli

  w każdym przedziale o długości T funkcja f(t) ma co najwyżej skończoną liczbę maksimów i minimów, funkcja f(t) może mieć w przedziale o długości T co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice – lewostronna i prawostronna.

Szereg Fouriera funkcji f(t) zbiega się do f(t)   Szereg Fouriera funkcji f(t) zbiega się do f(t) we wszystkich punktach gdzie jest ona ciągła natomiast w punktach nieciągłości ti zbiega się do wartości Uwaga:

Składowa stała (harmoniczna zerowa): gdzie Składowa stała (harmoniczna zerowa): k-ta harmoniczna: Np. 1-sza harmoniczna :

Funkcje przemienne  Wartość średnia za okres jest zerowa

Funkcje parzyste   . .

Funkcje nieparzyste   . .

Funkcje antysymetryczne Warunek ten narusza składowa stała oraz wyrazy parzystego rzędu   . Czyli:

Funkcja antysymetryczna Przykład   . .

Obliczanie współczynników Składowa stała   . .

Obliczanie współczynników Wzory pomocnicze A

B C

Wyprowadzenie dla Ck. Rozpatrujemy wyrażenie: C,B

Wzór ostateczny na współczynnik Ck (współczynnik przy funkcji cos)

Wyprowadzenie dla Bk. Rozpatrujemy wyrażenie: A,C

Wzór ostateczny na współczynnik Bk (współczynnik przy funkcji sin)

Funkcje parzyste dla   .

Funkcje nieparzyste dla   .

Funkcje antysymetryczne   .

Dla k nieparzystego: k=1,3,5,...   .

Funkcje antysymetryczne i parzyste.

Podstawienie: k=1,3,5,....

Funkcje antysymetryczne i nieparzyste (cd)   .

Podstawienie:

Funkcja antysymetryczna i nieparzysta Przykład

Dla przebiegu trójkątnego:

Dla przebiegu prostokątnego:

Postać wykładnicza szeregu Fouriera   . .

Stosując oznaczenia:

oraz uwzględniając właściwości współczynników:

OTRZYMAMY WYKŁADNICZĄ POSTAĆ SZEREGU FOURIERA

gdzie

jak?

Jak wyznaczyć zespolone współczynniki Vk? Do wzoru podstawiamy

Przykład 1 Wyznaczyć wykładniczą postać szeregu Fouriera   Wyznaczyć wykładniczą postać szeregu Fouriera sygnału przedstawionego na rysunku oraz narysować widmo amplitudowe i fazowe.

Rozwiązanie Analityczny opis funkcji f(t): Poszukujemy szeregu o postaci:

gdzie: uwzględniając całkę:

całkowanie przez części:

czyli:

Ostatecznie:

otrzymamy dla

dla

skąd ostatecznie: widmo amplitudowe jest postaci:

widmo fazowe

Widmo sygnału okresowego Widmem zespolonym sygnału okresowego nazywamy ciąg współczynników rozwinięcia funkcji okresowej f(t) w zespolony szereg Fouriera.

Widmo sygnału okresowego (cd) Widmem amplitudowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych : Widmem fazowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych :

Widmo sygnału okresowego (cd) Z zależności Wynika, że widmo amplitudowe jest funkcją parzystą, a fazowe nieparzystą

Aproksymacja sygnału  reprezentacja sygnału okresowego skończoną liczbą wyrazów szeregu Fouriera (sumą częściową) Stąd definiuje się pojęcie błędu aproksymacji:

Za miarę tego błędu przyjmuje się wartość skuteczną sygnału błędu: Można wykazać, że

Kryterium dokładności aproksymacji sygnału okresowego f(t) jego sumą częściową jest zazwyczaj błąd względny Na jego podstawie można wyliczyć liczbę wyrazów sumy częściowej zapewniającą aproksymację sygnału f(t) o założonej dokładności.

Efekt Gibbsa N=7

N=11 N=15

N=25

Zjawisko Gibbsa (cd) Zwiększenie liczby wyrazów w sumie częściowej zmniejsza błąd aproksymacji Ale w sygnałach o skokowych zmianach wartości w otoczeniu punktów nieciągłości występują niekorzystne oscylacje funkcji (sygnału)  efekt Gibbsa

Zjawisko Gibbsa (cd) Można wykazać, że w otoczeniu punktu nieciągłości (w którym funkcja okresowa zmienia wartość skokowo) skończony szereg aproksymujący posiada oscylacje, z których największa przyjmuje wartość ~9% wartości skoku w punkcie nieciągłości

9% 100%

ZADANIE 1)            1)   Okresową funkcję przedstawioną na rysunku opisz za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera oraz wykładniczego szeregu Fouriera. Korzystając z otrzymanych zależności narysuj widmo amplitudowe i fazowe tej funkcji.   Am1 Am2 x(t) t T T/2 2018-09-16 PTS 2015/6 PŁ 65

Rozwiązanie: Tabela 1 2018-09-16 PTS 2015/6 PŁ 66 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ak   bk Amk 1.621 -0.18 -0.065 -0.033 0.02 Φk -90 90 2018-09-16 PTS 2015/6 PŁ 66

WIDMO AMPLITUDOWE WIDMO FAZOWE 2018-09-16 PTS 2015/6 PŁ 67

SYNTEZA PRZEBIEGU: DLA N=50 HARMONICZNYCH 2018-09-16 PTS 2015/6 PŁ 68

DLA N=3 DLA N=10 2018-09-16 PTS 2015/6 PŁ 69

PRZYKŁAD 2 1)            Okresową funkcję przedstawioną na rysunku opisz za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera. Korzystając z otrzymanych zależności narysuj widmo amplitudowe i fazowe tej funkcji. 2018-09-16 PTS 2015/6 PŁ 70

Rozwiązanie: 2018-09-16 PTS 2015/6 PŁ 71

2018-09-16 PTS 2015/6 PŁ 72

WIDMO AMPLITUDOWE WIDMO FAZOWE 2018-09-16 PTS 2015/6 PŁ 73

n=10 n=50 Synteza sygnału n=200 Efekt Gibbsa 2018-09-16 PTS 2015/6 PŁ 74

Podsumowanie: Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o częstotliwościach kf (k) Istnieją trzy postacie szeregu Fouriera Suma składowej stałej i harmonicznych o postaci gdzie

Podsumowanie (cd) Istnieją trzy postacie szeregu Fouriera (cd) Suma składowej stałej i funkcji cosinusoidalnych i sinusoidalnych Suma składników zespolonych (zespolony szereg Fouriera)

Podsumowanie (cd) Podstawowe wzory umożliwiaące obliczenie współczynników drugiej postaci:

Podsumowanie (cd) Podstawowe relacje między postaciami szeregu (I i II)

Podsumowanie (cd) Wsp.zespolony Wsp. postaci trygonometrycznych Związki między współczynnikami postaci trygonometrycznej i wykładniczej: Wsp.zespolony Wsp. postaci trygonometrycznych

Rozpatrzmy dwie funkcje okresowe

Dirichleta, to zachodzi zależność TWIERDZENIE PARSEVALA Jeżeli f(t) i g(t) są funkcjami okresowymi o tym samym okresie T spełniającymi warunki Dirichleta, to zachodzi zależność

Dowód. Zależności pomocnicze:

Dowód (cd)

Dowód (cd)

w szczególnym przypadku dla:

Ogólna definicja wartości skutecznej przebiegów okresowych:

średniej za okres funkcji Definicja wartości średniej za okres funkcji Definicja wartości średniej za okres z modułu funkcji

Współczynnik szczytu funkcji okresowej (s) Stosunek wartości maksymalnej funkcji okresowej do jej wartości kutecznej Dla sinusoidy:

Współczynnik kształtu funkcji okresowej (k) Stosunek wartości skutecznej funkcji okresowej do wartości średniej z modułu tej funkcji Dla funkcji sinusoidalnej:

Obliczenie wartości średniej

Współczynnik zawartości harmonicznych h wartość skuteczna i-tej harmonicznej

Współczynnik odkształcenia h1 współczynnik zawartości 1-szej harmonicznej składowa stała (harmoniczna zerowa)

Współczynnik zawartości k-tej harmonicznej

Obwody liniowe pobudzane odkształconymi okresowymi napięciami i prądami źródłowymi

Obwody liniowe pobudzane odkształconymi okresowymi napięciami i prądami źródłowymi

Przykład (z książki) Dane: R = 10 k, 0L = 5 k, .

Obliczenia dla składowej stałej

Obliczenia dla pierwszej harmonicznej

Obliczenia dla trzeciej harmonicznej

Wpływ indukcyjności na wyższe harmoniczne prądu i napięcia L k > 1

Wpływ pojemności na wyższe harmoniczne prądu i napięcia k > 1

Przebieg prądu cewki

Przebieg napięcia cewki

Moc okresowych prądów niesinusoidalnych Moc czynna:

Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (2) skąd? ==>

Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (3)

Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (4)

Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (5)

Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (5)

Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (6) Moc pozorna Definicja mocy odkształcenia

Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (7) PRZYKŁAD Prąd cewki: Napięcie na zaciskach cewki wynosi:

PRZYKŁAD (cd)