Koła i okręgi – powtórzenie. Opracowanie: Beata Szabat

Pole i obwód koła. P= π·r2 l = 2πr r

Pole wycinka koła i długość łuku. r α

Pole pierścienia. R- promień większego koła. r- promień mniejszego koła.

Przypomnienie Zajrzyj do wcześniejszych prezentacji: Liczba pi. Długość okręgu- Pole koła- Pole pierścienia- Pole wycinka i długość łuku-

Liczba π. Długość okręgu. Opracowanie: Beata Szabat

Liczba π

Liczba π Bardzo wiele rzeczy codziennego użytku ma kształt koła lub do koła zbliżony. Brzeg koła nazywamy okręgiem ( w matematyce mówimy, że okrąg jest zbiorem wszystkich punktów leżących w stałej odległości od wybranego punktu. Jak nazywa się ten wybrany punkt? Jak nazywa się ta stała odległość)

Okrąg jest linią! Liczba π Zapamiętaj! Możemy, więc mówić tylko o długości okręgu. Długość okręgu jest równa długości odcinka, który powstałby po rozcięciu i „wyprostowaniu” okręgu (można to sobie wyobrazić na przykładzie okrągłego oczka wykonanego z drutu- które można rozprostować).

Liczba π Aby omówić sposób obliczania długości okręgu należy przypomnieć podstawowe pojęcia związane z okręgiem.

iloraz długości okręgu Liczba π Oczywiste jest, że im większa średnica , tym większa długość okręgu. Już w starożytności zauważono, że: iloraz długości okręgu (lub obwodu koła) i średnicy jest bliski liczbie 3.

Liczba π Przybliżaniem wartości ilorazu zajmował się w III w p.n.e. grecki uczony Archimedes, który stwierdził, że dla wszystkich kół spełniony jest warunek:

Liczba π Zapamiętać należy: gdzie l jest długością okręgu lub obwodem koła, a d jest jego średnicą.

Liczba π Liczba pi jest niewymierna, dlatego jej wartość można tylko podawać w przybliżeniu.

Długość okręgu. Po obustronnym pomnożeniu przez d otrzymamy wzór na długość okręgu (obwód koła). Ponieważ d=2r, więc ostatecznie:

Długość okręgu Przykład1 Promień koła roweru ma długość około 32 cm, Jaką drogę pokonuje to koło po stu pełnych obrotach? Wynik podaj z dokładnością do 1metra. Rozwiązanie: Jeden obrót: Sto obrotów: Odpowiedź: Po stu obrotach koło roweru przebędzie około 201 m.

Długość okręgu Przykład 2. Czy żeton o obwodzie 7cm zmieści się w okrągłym otworze o średnicy 2cm? Należy obliczyć średnicę żetonu: Odpowiedź: Żeton się nie zmieści, ponieważ średnica otworu jest mniejsza od średnicy żetonu.

Liczba π.Długość okręgu. Bardzo interesująca jest historia liczby π. Zachęcam do poszerzenia wiadomości na jej temat: http://pl.wikipedia.org/wiki/Pi http://www.math.edu.pl/liczba-pi

Opracowanie: Beata Szabat Pole koła. Opracowanie: Beata Szabat

Pomyśl jakiej długości są „bok” i wysokość tego „równoległoboku”. Pole koła Przyjrzyj się uważnie, jak dzieląc koło na coraz większą ilość równych części można otrzymać figurę zbliżoną do równoległoboku. Pomyśl jakiej długości są „bok” i wysokość tego „równoległoboku”. promień r połowa obwodu koła, czyli π∙r Zajrzyj na: http://scholaris.pl/cms/index.php/resources/4056D.html

Pole koła Można zauważyć, że pole koła jest równe polu równoległoboku o podstawie równej πr i wysokości równej r: P=πr ∙ r Stąd pole koła wyraża się wzorem: Pkoła= πr2

Pole koła P = π∙r2 S r

Pole koła. Ciekawostka. W 1858 roku odnaleziono papirus, na którym 1600 lat p.n.e. Egipcjanie spisali 87 zadań matematycznych. Dokument ten nazywany jest papirusem Rhinda od nazwiska pierwszego Europejczyka, do którego rąk on trafił. Z zapisków z tego dokumentu wynika, że starożytni Egipcjanie obliczali pole koła o średnicy d według wzoru: P= (d -1/9 d)2 Zajrzyj również: http://pl.wikipedia.org/wiki/Papirus_Matematyczny_Rhind

Problem ten nazwano kwadraturą koła. Pole koła. Ciekawostka. Przez ponad dwa tysiące lat bezskutecznie próbowano skonstruować za pomocą cyrkla i linijki kwadrat, którego pole byłoby równe polu danego koła. Problem ten nazwano kwadraturą koła. Zajrzyj na: http://pl.wikipedia.org/wiki/Kwadratura_ko%C5%82a http://www.math.edu.pl/kwadratura-kola

Pole koła Przykład 1. Która z figur ma większe pole: koło o promieniu 13mm, czy kwadrat o boku 23mm? Pkwadrat =23mm∙23mm=529mm2 Pkoło ≈ 3,14∙(13mm)2 ≈ 3,14∙169mm2 ≈ 530,66mm2 Odp. Większe pole ma koło.

Pole koła Przykład 2. Ile jest równe pole koła o obwodzie 2m? L=2πr 2πr =2, stąd r = P=πr2 P=

Pole koła Przykład 3. Jaki procent kwadratu zakrywa koło? 4 Pkwadrat =4∙4=16 Pkoło ≈ 3,14∙22 ≈ 12,56 4 Odp. Koło zakrywa około 78,5% kwadratu.

Pole pierścienia kołowego. Opracowanie: Beata Szabat

Pierścienie wokół nas.

Pole pierścienia kołowego. Pierścień jest to figura powstała przez wycięcie z koła o większym promieniu R koła o mniejszym promieniu r. Koła, o których mowa mają wspólny środek. R r

Pole pierścienia kołowego. Jak obliczyć pole pierścienia kołowego? Pole pierścienia obliczamy odejmując od pola większego koła pole koła mniejszego. Zastanów się! Jak obliczyć obwód pierścienia kołowego?

Pole pierścienia kołowego. Oblicz pola pierścieni: 1. 2. . 2 5 6 1,5

Pole pierścienia kołowego. Rozwiązanie: 1. KD – duże koło, KM – małe koło. dM =2, więc r =1 oraz R =1+5 = 6 PP= π( 62 – 12) =35π 2. R =6+1,5 =7,5 oraz r =6 PP= π( 7,52 – 62) = π( 56,25 – 36) =20,25π

Pole pierścienia kołowego. Przykład: Pizza ma średnicę 30cm, ale serem pokryta jest tylko środkowa jej część o promieniu 12cm . Jaka jest powierzchnia pizzy bez sera?

Pole pierścienia kołowego. Rozwiązanie: 12cm 30cm

Opracowanie: Beata Szabat Pole wycinka kołowego i długość łuku. Opracowanie: Beata Szabat

Pole wycinka kołowego to jego pole jest częścią pola koła. Wycinek kołowy, to część koła ograniczona dwoma promieniami. r α r Skoro wycinek kołowy jest częścią koła, to jego pole jest częścią pola koła.

Pole wycinka kołowego Jak obliczyć jaką częścią koła jest dany wycinek kołowy? Wystarczy wiedzieć jaką miarę ma kąt α pomiędzy promieniami wyznaczającymi wycinek. Następnie obliczyć jaką częścią (jakim ułamkiem) kąta pełnego (360º) jest kąt α.

Pole wycinka kołowego: r α r

Pole wycinka kołowego Łuk to jest część okręgu. α r Długość łuku jest częścią długości okręgu.

Przykład 1 Łuk wyznaczony przez kąt 30o stanowi część okręgu. Jaką częścią okręgu jest łuk wyznaczony przez kąt środkowy o mierze 30o? Łuk wyznaczony przez kąt 30o stanowi część okręgu.

Przykład 2 Jakie jest pole białej figury? 2 2

Przykład 3 Promień okręgu jest równy 8. Jaki promień ma okrąg, w którym kąt środkowy o mierze 45º jest oparty na łuku o długości 2π ? Promień okręgu jest równy 8.

Przykład 4 Oblicz pole zamalowanej figury. 2 . 2

Nie zapomnij rozwiązać zadań!! Zajrzyj na strony: http://pl.wikipedia.org/wiki/Wycinek_ko%C5%82owy http://www.math.edu.pl/wycinek-kola