REALIZOWALNOŚĆ REGULACJI STAŁOWARTOŚCIOWEJ I CZĘŚCIOWE ODSPRZĘGANIE OBIEKTÓW WIELOWYMIAROWYCH Ryszard Gessing Instytut Automatyki, Politechnika Śląska Plan wystąpienia Wprowadzenie Układ wielowymiarowy Realizowalność regulacji stałowartościowej Odsprzęganie stanów ustalonych Odsprzęganie szybkich przebiegów przejściowych Uwzględnienie nasyceń sterowania Wnioski

Wprowadzenie Warunek realizowalności regulacji dla obiektów MIMO: liczba wejść obiektu  liczby wyjść obiektu ( Davison, IEEE Trans. on AC, August 1976, steady state invertibility Falb and Wolovich 1967; Goodwin i inni 2001, static decoupling) Odsprzęganie:  statyczne (Falb and Wolovich 1967)  dynamiczne (pełne) (Goodwin i inni, 2001) Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Układ wielowymiarowy - stopnie wielomianów Obiekt: Rys. Schemat blokowy układu wielowymiarowego Obiekt: G(s) = macierz transmitancji - stopnie wielomianów Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Regulator: ki – wzmocnienie Qi(s) - dynamika Element Gij(s) bez całkowania Element Gij(s) z całkowaniem Założenie: Układ zamknięty jest stabilny

Realizowalność regulacji stałowartościowej Definicja: regulacja stałowartościowa obiektu G(s) jest realizowalna jeżeli dla dowolnych stałych wyjść yi i=1,2,...,p można wybrać takie stałe wejścia uj , (lub w przypadku elementów z całkowaniem takie funkcje dla których wyjścia yi i=1,2,...,p przyjmują w stanie ustalonym dowolne założone stałe wartości. Lemat 1. Obiekt bez elementów z całkowaniem Warunek konieczny regulacji stałowartościowej Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

A. Obiekt z elementami całkującymi Dla elementów Gij(s) bez całkowania oznaczmy zaś dla Gij(s) z całkowaniem Oznaczmy przez G0 i GI macierze p x p zawierające w odpowiednich pozycjach ij odpowiednio wzmocnienie kij0 lub kijI a dla pozostałych ij – zera; przez G0I p x p wymiarową macierz wzmocnień (6), (7). Wtedy Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

W stanie ustalonym mamy co wynika z zależności gdzie i są i-tymi wierszami odpowiednio macierzy i Wykorzystując (9) można udowodnić poniższy Lemat 2. Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Załóżmy, że elementy z całkowaniem występują w l pierwszych wierszach macierzy G(s). Oznaczmy przez GlI l x p wymiarową macierz utworzoną z l pierwszych wierszy macierzy GI . Niechaj gdzie GllI i GlI(p-l) odpowiednio l x l i l x (p-l) wymiarowe macierze; – macierz nieosobliwa Lemat 2. Przy powyższych założeniach koniecznym warunkiem realizowalności regulacji stałowartościowej jest Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Przypadki szczególne Lemat 3. Załóżmy, że elementy całkujące występują tylko w l kolumnach macierzy G(s) i rząd GI = l, l  p Oznaczmy gdzie i w j – tej kolumnie występuje element całkujący i w j – tej kolumnie nie występuje element całkujący Wtedy warunkiem koniecznym realizowalności regulacji stałowartościowej jest Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Lemat 4. Załóżmy, że jeżeli pewien wiersz macierzy G(s) zawiera element z całkowaniem to wszystkie elementy tego wiersza zawierają całkowanie. Oznaczmy gdzie Wtedy warunkiem koniecznym realizowalności realizacji stałowartościowej jest Multvar10c.mdl Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Wskaźniki dla obiektów G(s) bez całkowania Mamy Oznaczmy Wprowadzamy pojęcia - łączne wzmocnienie - stopień niezależności Można udowodnić, że  =0 – liniowo zależne wyjścia obiektu w stanie ustalonym  =1 – obiekt statycznie odsprzężony Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Graficzna interpretacja wyznacznika

4. Odsprzęganie stanów ustalonych Obiekt bez elementów z całkowaniem Element D jest opisany przez stałą macierz Dla obiektu odsprzężonego mamy czyli łączne wzmocnienie  pozostaje bez zmiany. Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

5. Odsprzęganie szybkich przebiegów przejściowych Bazuje na spostrzeżeniu, że odpowiedź skokowa elementu Gij(s) o mniejszym rzędzie względnym jest na początku szybsza niż odpowiedź elementu o większym rzędzie względnym. Oznaczmy lij rząd względny elementu Gij(s) - minimalny w i – tym wierszu gdzie gdy Gf jest macierzą nieosobliwą obliczamy Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Falb and Wolovich, IEEE Trans on AC 12, No. 6 1967 Obiekt:

Lemat 5. Dla każdego wiersza macierzy Oznaczmy - obiekt odsprzężony dla przebiegów szybkich Lemat 5. Dla każdego wiersza macierzy element mający rząd względny mniejszy co najmniej 1 od innych elementów tego wiersza leży na przekątnej (różne elementy przekątnej mogą mieć różne względne rzędy). Dodatkowo mamy czyli łączne wzmocnienie odsprzężonego obiektu nie zmienia się Wniosek. Można przypuszczać, ze za pomocą macierzy Df można zazwyczaj uzyskać odsprzężenie przebiegów szybkich. Potwierdzają to przeprowadzone symulacje Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

6. Uwzględnienie nasyceń sygnału sterującego Opis elementu z nasyceniem gdzie uimin i uimx i=1,2,...,p oznaczają wartości nasyceń i-tego sygnału wi odpowiednio dolnych i górnych Występowanie nasyceń zazwyczaj rozstraja odsprzęganie przebiegów szybkich. Jednak za pomocą odpowiednio dobranych wartości nasyceń odsprzężenie przebiegów szybkich może być częściowo zachowane. Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

i-ty wiersz i j-tą kolumnę odpowiednio macierzy Gf i Df Załóżmy, że chcemy zachować brak wpływu j*- tego sterowania vj* na wielkości yi i=1,2,...,p, i  j* Oznaczmy przez i-ty wiersz i j-tą kolumnę odpowiednio macierzy Gf i Df Ponieważ Gf Df = diag więc dla i  j* mamy Wybierzmy teraz nasycenia, tak że Rozwijając w szereg Gij(s) mamy gdzie li najmniejszy rząd względny dla elementów i-tego wiersza Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

i pierwszy element szeregu opisuje najszybsze zmiany. Zauważmy, że i pierwszy element szeregu opisuje najszybsze zmiany. Dla najszybszych zmian yi mamy zatem Niechaj vj*(t) przyjmuje duże wartości dla 0 < t < s. Wtedy sterowania uj osiągają nasycenia (44) tzn. Uwzględniając (43) i (46) mamy Oznacza to, że otrzymujemy pomijalny wpływ dużych początkowych wartości sygnału vj* na szybkie przebiegi yi i  j*. Potwierdzają to symulacje. Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Wniosek 2. Załóżmy, że w rozważanym układzie blok D jest opisany przez macierz Df; dla wybranego j* wartości nasyceń wybrano zgodnie z (44) Wtedy w układzie występuje częściowe odsprzężenie przebiegów szybkich. Oznacza to, że jest pomijalnie mały wpływ j*-tego sterowania vj* na szybkie przebiegi sygnałów yi, i  j*. Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Przykład Obiekt: Regulator: Wartości zadane: Zakłócenia: Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Przebiegi y1 i y2 bez odsprzęgania i bez nasyceń.

Dla j*=2 wybieramy u1mx = 12.649, u2mx = 15.811 (druga kolumna Df) Mamy Dla j*=2 wybieramy u1mx = 12.649, u2mx = 15.811 (druga kolumna Df) Przebiegi y1 i y2 dla D = Df i dobranych nasyceń Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

Odsprzęganie stanów ustalonych (d=0) Bez odsprzęgania z odsprzęganiem Ds. Twovarsyst5 threevarsyst1 threevarsyst2 threevarsyst3 Politechnika Śląska Ryszard Gessing Instytut Automatyki

7 Wnioski Dla obiektów bez całkowania warunek realizowalnośći RS pokrywa się z warunkiem odsprzęgania statycznego [Falb and Wolovich, 1967, Goodwin i inni, 2001] a także z warunkiem odwracalności w stanie ustalonym [Davison, 1976]. Wprowadzone wskaźniki łącznego wzmocnienia i stopnia niezależności charakteryzują własności obiektu w stanie ustalonym. Dla obiektów z całkowaniem sformułowane warunki realizowalności RS są oryginalne. Zmodyfikowane odsprzęganie stanów ustalonych zachowuje łączne wzmocnienie obiektu. Odsprzęganie szybkich przebiegów przejściowych bazuje na oryginalnym wykorzystaniu rzędu względnego transmitancji. Poprzez odpowiedni dobór nasyceń sterowania można częściowo realizować odsprzęganie szybkich przebiegów przejściowych.