Tomasz Gizbert-Studnicki Logika dla prawników Tomasz Gizbert-Studnicki

Teoria relacji

Teoria relacji R(x,y) xRy R – bycie matką R – bycie większym   xRy R – bycie matką R – bycie większym R – bycie szybszym

Teoria relacji suma dziedziny i przwciwdziedziny – pole relacji [czyli wszystkie mamy i dzieci razem] y – następnik relacji x – poprzednik relacji zbiór wszystkich y - przeciwdziedzina relacji zbiór wszystkich x - dziedzina relacji

Konwers relacji xRy x jest matką y yRx y jest dzieckiem x

Zbiór dystrybutywny [1, 9, 13, 8] [9, 13, 1, 8] czyli mnogość obiektów wyróżniona ze względu na pewną wspólną cechę [1, 9, 13, 8] [9, 13, 1, 8]

Zbiory cd. suma, różnica i iloczyn Suma zbiorów   Suma zbiorów [1, 4, 8, 12] + [13, 3] = [1, 4, 8, 12, 13, 3] Różnica zbiorów [1, 4, 7, 9] – [4, 7] = [1, 9] Iloczyn zbiorów [1, 4, 9, 3, 2] * [9, 3, 12]= [9, 3]

Para uporządkowana (a,b) (b,a)

Iloczyn kartezjański zbiorów [a, b, c] x [1,2,3]   (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)

Kwadrat kartezjański zbioru [a, b, c] x [a, b, c] lub [a, b, c]2   (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b.c), (c,a), (c,b), (c.c)

Relacja jako podzbiór kwadratu kartezjańskiego Zbiór: [9, 4, 6] Relacja: >  (czyli „bycie większym”) Kwadrat kartezjański: [9, 4, 6] x [9, 4, 6]   (9,9), (9,4), (9,6), (4,9), (4,4), (4,6), (6,9), (6,4), (6,6) (9,9), (9,4), (9,6), (4,9), (4,4), (4,6), (6,9), (6,4), (6,6)

jeżeli xRy, to nieprawda, że yRx Cechy relacji symetryczność, przeciwsymetryczność, niesymetryczność Relacja R określona w zbiorze Z jest SYMETRYCZNA, gdy dla każdego x i y należących do Z: jeżeli xRy, to yRx Relacja R określona w zbiorze Z jest PRZECIWSYMETRYCZNA gdy dla każdego x i y należących do Z: jeżeli xRy, to nieprawda, że yRx Relacja R określona w zbiorze Z jest NIESYMETRYCZNA gdy nie jest ani symetryczna ani przeciwsymetryczna: istnieją takie x i y należące do Z, że xRy oraz yRx, oraz istnieją takie x i y, że xRy oraz nieprawda, że yRx

istnieją takie x, y i z należące do Z, że xRy i yRz oraz xRz, Cechy relacji przechodniość, przeciwprzechodniość, nieprzechodniość Relacja R określona w zbiorze Z jest PRZECHODNIA, gdy dla każdego x, y i z należących do Z: jeżeli xRy oraz yRz, to xRz Relacja R określona w zbiorze Z jest PRZECIWPRZECHODNIA, gdy dla każdego x, y i z należących do Z: jeżeli xRy oraz yRz, to nieprawda, że xRz Relacja R określona w zbiorze Z jest NIEPRZECHODNIA, gdy nie jest ani przechodnia ani przeciwprzechodnia: istnieją takie x, y i z należące do Z, że xRy i yRz oraz xRz, oraz istnieją takie x, y i z należące do Z, że xRy i yRz oraz nieprawda, że xRz 

istnieją takie x że xRx i istnieją takie ź, że nieprawda, że xRx Cechy relacji zwrotność, przeciwzwrotność, niezwrotność Relacja R określona w zbiorze Z jest ZWROTNA gdy dla każdego x należącego do Z zachodzi: xRx Relacja R określona w zbiorze Z jest PRZECIWZWROTNA gdy dla każdego x należącego do Z zachodzi: nieprawda, że xRx   Relacja R określona w zbiorze Z jest NIEZWROTNA, gdy nie jest ani zwrotna ani przeciwzwrotna: istnieją takie x że xRx i istnieją takie ź, że nieprawda, że xRx

nie jest ani spójna ani przeciwspójna Cechy relacji spójność, przeciwspójność, niespójność Relacja R określona w zbiorze Z jest SPÓJNA, gdy dla każdego x i y należącego do Z zachodzi: xRy lub yRx Relacja R określona w zbiorze Z jest PRZECIWSPÓJNA gdy: nie istnieje taki x i y należące do Z, że xRy lub dla każdego x należącego do Z nieprawda, że xRy lub yRx   Relacja R określona w zbiorze Z jest NIESPÓJNA gdy: nie jest ani spójna ani przeciwspójna

nie jest ani spójna ani przeciwspójna Cechy relacji spójność, przeciwspójność, niespójność Relacja R określona w zbiorze Z jest SPÓJNA, gdy dla każdego x i y należącego do Z zachodzi: xRy lub yRx Relacja R określona w zbiorze Z jest PRZECIWSPÓJNA gdy: nie istnieje taki x i y należące do Z, że xRy lub dla każdego x należącego do Z nieprawda, że xRy lub yRx   Relacja R określona w zbiorze Z jest NIESPÓJNA gdy nie jest ani spójna ani przeciwspójna

Relacja mocno porządkująca zbiór Z Relacja słabo porządkująca zbiór Z Relacje porządkujące mocno i słabo Zbiór: [8, 13, 4, 28, 3] Relacja: > (czyli „bycie większym”)  Uporządkowanie: 28, 13, 8, 4, 3 Relacja mocno porządkująca zbiór Z Relacja słabo porządkująca zbiór Z przeciwsymetryczna przechodnia spójna niespójna

Działania na relacjach suma, różnica, iloczyn sumą relacji R1 i R2 jest relacja R3 zachodząca pomiędzy x a y, jeżeli pomiędzy x a y zachodzi R1 lub R2:  sumą relacji bycia bratem i bycia siostrą jest relacja bycia rodzeństwem różnica relacji: różnicą relacji R1 i R2 jest relacja R3 zachodząca pomiędzy x a y, jeżeli pomiędzy x a y zachodzi R1, natomiast R2 nie zachodzi   różnicą relacji bycia rodzeństwem i bycia bratem jest relacja bycia siostrą iloczyn relacji: iloczynem relacji R1 i R2 jest relacja R3 zachodząca pomiędzy x a y, jeżeli pomiędzy x a y zachodzi zarówno R1, jak i R2  iloczynem relacji bycia starszym i bycia bratem jest relacja bycia starszym bratem

Przyporządkowanie jedno-jednoznaczne dziedzina przeciwdziedzina

Przyporządkowanie jedno-jednoznaczne np. małżeństwo monogamiczne

Przyporządkowanie jedno-wieloznaczne dziedzina przeciwdziedzina

Przyporządkowanie jedno-wieloznaczne np. małżeństwo poligyniczne (relacja bycia mężem w takim małżeństwie)

Przyporządkowanie wielo-jednoznaczne dziedzina przeciwdziedzina

Przyporządkowanie wielo-jednoznaczne np. relacja bycia żoną w haremie

Przyporządkowanie wielo-wieloznaczne dziedzina przeciwdziedzina

Przyporządkowanie wielo-wieloznaczne np. relacja bycia znajomym [królika]

Koniec.