Rozkładanie wielomianów na czynniki Opracowała Iwona Głowacka

Definicja Wielomianem rozkładalnym nazywamy wielomian różny od wielomianu zerowego wtedy, gdy można go przedstawić w postaci iloczynu wielomianów, mających stopień różny od zera. W przeciwnym wypadku wielomian nazywamy wielomianem nierozkładalnym.

Przykłady: Wielomiany rozkładalne: Takie rozkłady jednego wielomianu, w których czynniki różnią się tylko czynnikiem stałym, uważamy za jednakowe.

Przykłady: Wielomiany nierozkładalne: Zauważmy, że w obu przypadkach są to wielomiany stopnia drugiego, których . Uwaga! Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu tego wielomianu w postaci iloczynu przynajmniej dwóch wielomianów, z których każdy ma stopień większy od zera.

Twierdzenie 1 Każdy wielomian stopnia co najmniej trzeciego można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Rozkład ten jest jednoznaczny (z dokładnością do kolejności czynników i do stałej). Metody rozkładania wielomianów na czynniki: wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias stosowanie wzorów skróconego mnożenia grupowanie wyrazów wielomianu

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias Czynnik jest nierozkładalny, bo .

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia Czynnik jest nierozkładalny

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia Czynnik jest nierozkładalny Podobnie wykorzystujemy wzór

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia Czynnik jest nierozkładalny Podobnie wykorzystujemy wzór

Grupowanie wyrazów

Twierdzenie 2 Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu. Przykład Rozłóż na czynniki wielomian Na podstawie tw. 2 całkowitym pierwiastkiem wielomianu może być liczba: -1, 1, -7, 7.

Sprawdźmy, które z nich to pierwiastki Zatem jedynym całkowitym pierwiastkiem wielomianu W(x) jest liczba –1. Zatem wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x+1. Wykonaj to dzielenie.

Sprawdź, czy otrzymałeś ten sam wynik Otrzymany iloraz to Mamy zatem Ponieważ Czynnik jest nierozkładalny Po rozłożeniu na czynniki wielomian W(x) ma postać

Rozłóż wielomiany na czynniki samodzielnie Powodzenia!