Podstawy automatyki I Wykład 5 - 2015/2016 - studia stacjonarne Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 5 - 2015/2016 Transmitancja operatorowa obiektu dynamicznego

Rozważaliśmy w dziedzinie czasu zachowanie się obiektu dynamicznego w przedziale czasu od t0 do t opisywanego równaniem różniczkowym (1a) (1b) Obiekt u(t) y(t) Dla dowolnego wejścia u(t) określonego w przedziale [t0,t] uzyskaliśmy opis pełnej odpowiedzi obiektu

Dokonamy przejścia do dziedziny zmiennej zespolonej s Załóżmy, że zarówno funkcja (reprezentacja matematyczna sygnału) u(t) – wejście, jak i y(t) – wyjście, spełnia warunki pozwalające poddać je przekształceniu Laplace’a Poddając transformacji Laplace’a obydwie strony (1a) i uwzględniając znajomość (1b) otrzymamy (2)

Składowa swobodna odpowiedzi Składowa wymuszona odpowiedzi Rozwiązując (2) ze względu na Y(s) Składowa swobodna odpowiedzi Składowa wymuszona odpowiedzi Składowa swobodna: Składowa wymuszona:

- transmitancja obiektu dynamicznego Transformata Laplace’a składowej wymuszonej: gdzie, - transmitancja obiektu dynamicznego I definicja transmitancji obiektu dynamicznego Transmitancją obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego) nazywamy stosunek transformaty Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi tego obiektu na wymuszenie do transformaty Laplace’a tego wymuszenia lub inaczej: Transmitancją obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego) nazywamy stosunek transformaty Laplace’a odpowiedzi tego obiektu na wymuszenie uzyskanej przy zerowym warunku początkowym, do transformaty Laplace’a tego wymuszenia

Transmitancja obiektu dynamicznego – na przykładzie obiektu rzędu pierwszego, np. czwórnika RC, dwójnika RL (iii) G(s) – nie zależy od sygnału wejściowego – jest zatem charakterystyką obiektu (i) G(s) – wzmocnienie dynamiczne obiektu w dziedzinie s Właściwości: (ii) G(s) – nie ma stałej wartości, lecz jest funkcją zmiennej s

 Transmitancja obiektu opisuje dynamikę obiektu w dziedzinie zmiennej zespolonej s  Odpowiedź impulsowa obiektu opisuje dynamikę obiektu w dziedzinie czasu t Związek pomiędzy nimi? Transformata Laplace’a impulsu jednostkowego:

II definicja transmitancji obiektu dynamicznego Otrzymaliśmy: lub Składowa wymuszona odpowiedzi na impuls jednostkowy Transmitancja obiektu dynamicznego II definicja transmitancji obiektu dynamicznego Transmitancją obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego) nazywamy transformatę Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi tego obiektu na wymuszenie impulsem jednostkowym

Terminologia: - wielomiany zmiennej zespolonej s Rozwiązania (pierwiastki) równania: nazywane są zerami transmitancji Rozwiązania (pierwiastki) równania: nazywane są zerami transmitancji

W rozważanym przykładzie – obiekt pierwszego rzędu - odpowiedź dla i intensywności S Dla t0 = 0 i S = 1: Otrzymamy: (porównać z wynikami z poprzednich slajdów)

Przykład 1 – czwórnik RC

Przykład 2 – dwójnik RL

Odpowiedź wymuszona na sygnał skokowy o amplitudzie dla t0 =0: Odpowiedź wymuszona w dziedzinie s:

Odpowiedź wymuszona w dziedzinie t: Zastosujemy dla znalezienia L-1 metodę rozkładu na ułamki proste:

Stąd:

Parametry transmitancji obiektu rzędu pierwszego inercyjnego dla rozważanego przykładu Wielkość nazywamy statycznym współczynnikiem wzmocnienia

Przykład 1 – czwórnik RC Przykład 2 – dwójnik RL

Określanie wzmocnienia statycznego – wykorzystanie transmitancji - wzmocnienie statyczne

Transmitancja pozwala łatwo wyznaczyć K Odpowiedź operatorowa obiektu Dla wymuszenia skokowego o amplitudzie A: Skorzystamy z twierdzenia o wartości granicznej w dziedzinie czasu Zatem:

oraz Przykład 3 Wyznaczyć wzmocnienie statyczne obiektu o transmitancji W dziedzinie czasu opis równaniem różniczkowym:

W dziedzinie czasu należałoby teraz rozwiązać równanie różniczkowe dla wymuszenia Mając y(t) należałoby obliczyć i ostatecznie wyznaczyć K Korzystając z transmitancji: Dla np. A = 3 odpowiedź ustalona:

Przedstawmy odpowiedź wymuszoną: dla rozważanego przykładu Wielkość - nazywamy stałą czasową bezwładności (inercji) Policzmy:

Podsumowanie: W automatyce wyróżniamy pewne tzw. człony elementarne liniowe i stacjonarne, stanowiące części obiektu sterowanego lub układu sterującego charakteryzujące się określoną transmitancją operatorową Poznaliśmy już jeden z takich członów: Przykład 1 – czwórnik RC Przykład 2 – dwójnik RL

Standardowa postać transmitancji tych układów: Parametry: - współczynnik wzmocnienia statycznego - stała czasowa bezwładności Nazwa członu: Człon inercyjny pierwszego rzędu Inne człony poznamy w dalszej części wykładu i podczas ćwiczeń !

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu