Wytrzymałość materiałów (WM II – wykład 7)

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Wtorek: 14.00-15.00 (13.00-15.00) Piątek: 8.00-9.00

TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy) Zginanie płyt cienkich - Założenia teorii zginania płyt cienkich - Siły wewnętrzne i naprężenia w płycie - Równania równowagi elementu płyty - Równania różniczkowe powierzchni ugiętej płyty - Zagadnienia brzegowe dla płyt – etapy rozwiązywania   - Przykłady obliczeniowe - Przykłady praktyczne W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

ZGINANIE PŁYT CIENKICH (17) Założenia teorii zginania płyt cienkich Płyta cienka o równomiernej grubości – ciało materialne - ograniczone dwoma równoległymi płaszczyznami, między którymi odległość (grubość) jest znacznie mniejsza niż dwa pozostałe wymiary, - przenoszące obciążenia prostopadłe do tych płaszczyzn. Przyjmiemy, że obie osie współrzędnych x i y leżą w poziomej, środkowej płaszczyźnie płyty, przechodzącej przez środek jej grubości h, a oś z jest zwrócona w dół. Obciążenie przypadające na jednostkę powierzchni płyty określa funkcja q(x, y) [N/m2]. x y h z q(x,y)

ZGINANIE PŁYT CIENKICH (17) Założenia: 1) Płytę cienką można traktować jako zbiór oddzielonych płaszczyznami prostopadłymi do osi z warstw, które nie oddziałują na siebie mechanicznie. Naprężenie normalne σz w dowolnym punkcie płyty równe jest zeru. 2) Każdy punkt środkowej płaszczyzny płyty doznaje wyłącznie przemieszczenia w kierunku osi z, zwanego ugięciem w, które jest znacznie mniejsze od grubości h. Składowe przemieszczeń w kierunku osi x i y są pomijalnie małe. Oznacza to, że płaszczyzna środkowa nie odkształca się względem osi x, y, a po odkształceniu płyty tworzy się powierzchnia ugięta. 3) Odcinek prostopadły do płaszczyzny środkowej pozostaje po odkształceniu płyty prosty i normalny do powierzchni ugiętej. 4) Płyta jest wykonana z materiału liniowo-sprężystego. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

warstwa środkowa płyty ZGINANIE PŁYT CIENKICH (18) Siły wewnętrzne i naprężenia w płycie Ty Mx Tx warstwa środkowa płyty σx dz z 0.5h x y dx dy σy τyz τyx τxy τxz Mxy Myx My Wyodrębnimy z płyty płaszczyznami prostopadłymi do osi x oraz y element o wymiarach dx, dy. Działają na niego momenty gnące Mx, My i skręcające Mxy = Myx, odnoszące się do jednostki długości linii środkowej odpowiedniego przekroju [Nm/m]. Indeksy przy momentach są identyczne z indeksami … © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

ZGINANIE PŁYT CIENKICH … przy wywołanych przez nie naprężeniach normalnych σx, σy od zginania i stycznych τxy = τyx od skręcania w warstwie płyty o grubości dz, odległej o z od warstwy środkowej. Ponadto na element płyty działają siły poprzeczne Tx i Ty odnoszące się do jednostki długości linii środkowej odpowiedniego przekroju, które wywołują naprężenia styczne τxz i τyz. Założenie 1: Pomijamy τxz i τyz, a więc Tx i Ty można pominąć w rozważaniach (teoria płyt cienkich). Wówczas dla płaskiego stanu naprężenia w dowolnej warstwie płyty. σx, σy, τxy = τyx Następnie τxz oraz τyz w zależności od Tx oraz Ty, ze wzoru Żurawskiego. Rezultat: rozwiązanie przybliżone (z uwagi na sprzeczność założeń). © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Związki geometryczne dla dowolnej warstwy płyty: oraz Następnie otrzymamy: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Wyrazimy przemieszczenia u i  przez funkcję w(x, y) opisującą powierzchnię ugiętą płyty po jej odkształceniu.  a a' b' b u z x w Pionowy odcinek ab przemieszcza się o w w dół i obraca się o kąt ugięcia , zajmując położenie a’b’ normalne do powierzchni ugiętej płyty, przy czym Przemieszczenie punktu odległego o z od warstwy środkowej płyty w kierunku osi x można obliczyć następująco: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

ZGINANIE PŁYT CIENKICH jako że przy dodatnich z i  jest ono zwrócone przeciwnie w stosunku do osi x. Analogicznie znajdziemy przemieszczenie  w kierunku osi y: Po uwzględnieniu powyższych zależności otrzymamy: Momenty Mx, My, Mxy równoważą układ elementarnych sił wewnętrznych, działających na jedną ścianę elementu płyty i określonych przez naprężenia σx, σy, τxy. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Warunki równowagi: Całka występująca w powyższych wyrażeniach jest momentem bezwładności prostokąta o podstawie 1 i wysokości h: [m3] [Nm] Sztywność zginania płyty D: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Stąd, otrzymujemy momenty Mx, My, Mxy wyrażone przez w(x, y): [Nm/m] [Nm/m] [Nm/m] (19) Równania równowagi elementu płyty Przy przejściu z punktu o współrzędnych x, y do punktu o współrzędnych x + dx, y + dy płyty funkcje Mx(x, y), My(x, y), Mxy(x, y) = Myx(x, y) doznają określonych przyrostów. Element płyty o wymiarach dx, dy – siły zewnętrzne q(x, y) i wewnętrzne utrzymują go w równowadze. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Przestrzenny układ sił równoległych do osi z – trzy równania równowagi. q(x,y) Myx y x Ty z Tx My Mx h Mxy dy dx Suma rzutów wszystkich sił na oś z jest równa zeru, czyli: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Po uproszczeniu: Suma momentów wszystkich sił względem prostej równoległej do osi y, pokrywającej się z dolną krawędzią widocznej ściany elementu płyty jest równa zeru: Po uproszczeniu i pominięciu małych wyższego rzędu: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Z analogicznego równania momentów względem prostej równoległej do osi x: (19) Równania różniczkowe powierzchni ugiętej płyty Po wprowadzeniu wyznaczonych zależności, wyrażeniu momentów Mx, My, Mxy przez funkcje w(x, y) po podzieleniu przez D i ostatecznie, po uproszczeniu i zmianie znaków równanie różniczkowe powierzchni ugiętej płyty – równanie Zofii Germain Marie-Sophie Germain (1776-1831), publikująca pod nazwiskiem Le Blanc © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

ZGINANIE PŁYT CIENKICH (20) Zagadnienia brzegowe dla płyt – etapy rozwiązywania 1) Znalezienie funkcji w(x, y), która spełnia równanie Zofii Germain oraz warunki brzegowe x y Płyta podparta swobodnie wzdłuż osi y – dla x = 0, w = 0 i Mx = 0. Moment skręcający Mxy = 0 można zastąpić statycznie równoważną dodatkową rozłożoną siłą poprzeczną działającą w podporze. x y . Płyta utwierdzona wzdłuż osi y – dla x = 0, w = 0 i © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:15

ZGINANIE PŁYT CIENKICH 2) Określenie Mx, My, Mxy = Myx przez wstawienie w(x, y). Siły poprzeczne w płycie Tx i Ty uzależniamy od w(x, y) otrzymując: 3) Wyznaczenie naprężeń w zależności od sił wewnętrznych. Na podstawie przedstawionych zależności – wzory na naprężenia od zginania i skręcania w płycie: Naprężenia σx, σy, τxy = τyx są liniowymi funkcjami współrzędnej z i osiągają wartości maksymalne w warstwach skrajnych płyty. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:16

płaszczyzna środkowa płyty ZGINANIE PŁYT CIENKICH τyz σy τyx τxy σx y płaszczyzna środkowa płyty τxz z x Składowe pionowe naprężeń stycznych, a także równe im naprężenia styczne w płaszczyznach prostopadłych do osi z wyznaczamy ze wzoru Żurawskiego, tak jak dla belki o przekroju prostokątnym: S – moment statyczny odciętej części przekroju prostokątnego o podstawie 1 i wysokości h względem osi x lub y. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:16

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Naprężenia τxz, τyz są kwadratowymi funkcjami współrzędnej z i osiągają wartości maksymalne w warstwie środkowej płyty. 4) Ocena wytrzymałości płyty na podstawie wartości maksymalnych naprężeń, które wynoszą: gdzie: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:16

ZGINANIE PŁYT CIENKICH (21) Przykład 1. Płyta eliptyczna o grubości h i konturze określonym równaniem: b a y x utwierdzona na brzegu przenosi równomiernie rozłożone obciążenie q. Określić moment gnący Mx w płycie, jeśli stałe materiałowe wynoszą E, v. Rozwiązanie. Funkcji w(x, y) będziemy poszukiwać w następującej postaci: gdzie C – nieznana wartość stała. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:16

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Obliczamy odpowiednie pochodne w(x, y), wstawiamy do równania Zofii Germain i wyznaczamy C: Funkcja opisująca powierzchnię ugiętą płyty przybiera następującą ostateczną formę: a jej pochodne wynoszą: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:16

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Warunki brzegowe – dla punktów leżących na konturze: są spełnione. Moment gnący Mx wyliczamy następująco: czyli po wstawieniu w(x, y): © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:16

ZGINANIE PŁYT CIENKICH (22) Przykład 2. Płyta prostokątna o wymiarach a, b i grubości h podparta swobodnie na obwodzie przenosi równomiernie rozłożone obciążenie q. Znaleźć równanie powierzchni ugiętej w(x, y), jeśli stałe materiałowe wynoszą E, v. b a y x Rozwiązanie. Funkcja w(x, y) w formie nieskończonego szeregu. W przypadku naszego zadania musi być w = 0 na konturze. Ponadto muszą się zerować na konturze momenty gnące. Stąd dla x = 0 i x = a, a także dla y = 0 i y = b. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:16

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Czyli, dla spełnienia warunków brzegowych – podwójny nieskończony szereg trygonometryczny: gdzie Amn – stałe współczynniki Do znalezienia stałych Amn – równanie Zofii Germain, które po wstawieniu pochodnych w(x, y) i uproszczeniu przyjmie postać: Dla argumentu  szereg trygonometryczny jest zbieżny, tzn.: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:16

ZGINANIE PŁYT CIENKICH W naszym przypadku: Po podstawieniu i przekształceniach (m, n – nieparzyste): Warunkiem koniecznym i dostatecznym tego, aby suma niezależnych od siebie składników była równa zeru jest to, aby każdy składnik był równy zeru: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:16

ZGINANIE PŁYT CIENKICH Wstawiamy Amn do poszukiwanego w(x, y). Ostatecznie: Uwaga: Amn=0 dla m,n parzystych © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:16

Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-06-04 02:41:16