Wytrzymałość materiałów (WM I - 6)

prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Poniedziałki: 14.00-15.15, Czwartki: 14.00-15.15 W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Wykład W6: Odkształcenia belki zginanej: - Równanie osi ugiętej belki - Warunki brzegowe równania osi ugiętej belki - Procedura wyznaczania kątów ugięcia i osi ugiętej belki - Strzałka ugięcia, sztywność i warunek sztywności belki - Przykłady praktyczne odkształceń belek zginanych Przykład obliczeniowy:Analiza odkształceń dla wybranych przypadków belek zginanych. Ścinanie pręta (pręt ścinany): - Równanie równowagi - Rozkład naprężeń stycznych - Naprężenia dopuszczalne na ścinanie - Warunek wytrzymałości dla napręzęń dopuszczalnych na ścinanie Przykłady praktyczne prętów ścinanych Przykład obliczeniowy: Analiza wytrzymałości wybranego pręta na ścinanie. Autorstwo poniższego wykładu: © Prof. Krzysztof Kaliński http://pg.edu.pl/288cd25679_miroslaw.gerigk/wizytowka

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Równanie osi ugiętej belki Prosta oś belki po odkształceniu staje się krzywą płaską, którą opisuje równanie . x Mg y x Przy uwzględnieniu tylko małych przemieszczeń punktów osi w kierunku osi y, obowiązują następujące związki: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej czyli gdzie: – ugięcie, – kąt ugięcia zwany inaczej kątem nachylenia stycznej do osi krzywej w mierze łukowej (równy kątowi obrotu przekroju belki); Jeśli uwzględni się wyrażenia na krzywiznę osi belki: – wynikające ze związków fizycznych: Krzywizna „ujemna” © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej – krzywizna osi belki; gdzie: – sztywność belki (pręta) na zginanie; – wynikające z warunków geometrycznych: to otrzyma się zależność: co ostatecznie prowadzi do równania różniczkowego drugiego rzędu osi ugiętej belki: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Rozwiązania różniczkowego równania osi ugiętej belki mają postać: gdzie: C i D – stałe całkowania, zależne od warunków brzegowych. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Uwaga! Rozwiązanie różniczkowego równania osi ugiętej belki jest możliwe tylko wówczas, gdy moment gnący jest funkcją ciągłą dwukrotnie całkowalną. Dla belek obciążonych kilkoma siłami skupionymi i momentami równanie różniczkowe całkuje się przedziałami tzn. dla każdego z przedziałów układa się odrębne równanie momentów gnących , a tym samym różniczkowe równanie osi ugiętej. Różniczkowych równań osi ugiętej jest tyle, ile przedziałów, a stałych całkowania jest więcej. Aby wyznaczyć stałe całkowania należy uwzględnić warunki brzegowe na końcach belki oraz równania ciągłości belki, czyli nierozdzielności przemieszczeń i kątów ugięć na końcach przedziałów. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Rodzaj podparcia lub granicy przedziału Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Warunki brzegowe równania osi ugiętej: Indeks l lub p określa, że przemieszczenia wyznaczono z równania obowiązującego w przedziale po lewej lub prawej granicy przedziału. Lp. Rodzaj podparcia lub granicy przedziału Warunki brzegowe 1 Koniec utwierdzony , 2 Przegubowa podpora końcowa 3 Przegubowa podpora środkowa 4 Połączenie przegubowe 5 Siła lub moment skupiony, granica obciążenia ciągłego © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej W praktyce inżynierskiej bardzo często moduł Younga E oraz geometryczny moment bezwładności Iz nie zależą od współrzędnej x, a wtedy różniczkowe równanie osi ugięcia upraszcza się do postaci: oraz odpowiednio: Równanie różniczkowe osi ugięcia belki, może zależeć również tylko od sił zewnętrznych. Jest to wówczas równanie różniczkowe czwartego rzędu o postaci: 0 < x < l © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej , , , Rozwiązanie tego równania wymaga znajomości czterech warunków brzegowych dotyczących: - ugięć - kątów ugięcia - oraz wyrażone poprzez ugięcia momenty gnące - i siły tnące na końcach belki (dla x = 0 i x = l ). Momenty gnące w funkcji ugięć opisuje zależność: można przedstawić jako: Natomiast siły tnące w funkcji ugięć © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej q M=0,5ql2 MA x RA x F=ql l y Patrz tabela pozycja 1 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Patrz wykresy momentów gnących i sił tnących Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Patrz wykresy momentów gnących i sił tnących © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Przykład. Belka o długości l i sztywności EI utwierdzona jednym końcem, jest obciążona siłą skupioną F. Sformułować równanie kątów ugięcia i osi ugiętej oraz wyznaczyć kąt ugięcia i ugięcie w punkcie B. RA MA x A B x F l y © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej 1. Reakcje więzów – płaski układ sił równoległych Po przekształceniu 2. Równanie momentu gnącego 3. Różniczkowe równanie osi ugięcia © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej 4. Dwukrotne całkowanie równania osi ugięcia 5. Określenie stałych całkowania z warunków brzegowych Patrz tabela pozycja 1 6. Równanie kąta ugięcia belki © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej 7. Równanie osi ugięcia belki 8. Kąt ugięcia oraz ugięcie w punkcie B © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Uwaga! Znak minus kąta ugięcia wynika stąd, że jest on odmierzany od osi y do x. wynika stąd, że przemieszczenie Znak minus przy ugięciu ma zwrot przeciwny do osi y. Największa wartość bezwzględna ugięcia belki nosi nazwę strzałka ugięcia i oznaczana jest literą f. Dla analizowanej belki: Strzałka ugięcia świadczy o sztywności belki. W praktyce inżynierskiej, strzałkę ugięcia wyznacza się dla danego fragmentu konstrukcji (np. wału), a następnie porównuje się ją z wartością dopuszczalną. W zależności od rodzaju i przeznaczenia konstrukcji przyjmuje się dopuszczalną strzałkę ugięcia : © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Warunek sztywności gdzie: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Przykład. Belka o długości 2l i sztywności EI, podparta przegubowo na końcach, jest obciążona równomiernie rozłożonym obciążeniem q i działającym na długości l. Sformułować równanie kątów ugięcia i ugięcie w punkcie B. osi ugiętej oraz wyznaczyć kąt ugięcia x x q RA RC B C A x l l y © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58

Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-22 20:57:58