MECHANIKA 2 Dynamika układu punktów materialnych Wykład Nr 9 Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór punktów w sensie geometrycznym, którym przypisane są pewne masy. Układ nazwiemy swobodnym, gdy nie istnieją żadne ograniczenia, które krępowałyby ruchy punktów. Układ nazwiemy nieswobodnym, jeżeli wystąpią jakiekolwiek ograniczenia ruchów.

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układ nieswobodny Więzy ograniczające swobodę ruchów poszczególnych punktów Szczególnym modelem układu nieswobodnego punktów materialnych jest ciało sztywne (bryła materialna), którego więzy polegają na tym, że wzajemne odległości dwu dowolnych punktów bryły nie ulegają zmianie w czasie ruchu.

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Siły działające na układ (rys. 1) dzielimy na: zewnętrzne, wewnętrzne. Siłami wewnętrznymi nazywamy wzajemne oddziaływania poszczególnych punktów układu na siebie. Siłami zewnętrznymi nazywamy siły pochodzące od działania innych ciał, nie wchodzących w skład badanego układu. Uwaga! Jedna konkretna siła może być zewnętrzna dla jednego, wewnętrzna zaś dla drugiego układu. Na przykład siła ciężkości jest dla punktu materialnego siłą zewnętrzną, natomiast będzie ona siłą wewnętrzną dla układu złożonego z Ziemi i danego punktu. Rys. 1

Dynamiczne równanie ruchu i-tego PUNKTU pod działaniem wypadkowej sił zewnętrznych działających na badany punkt oraz sił wewnętrznych układu ma postać: (1) gdzie: – masa punktu – wektor przyspieszenia masy mi – wypadkowa z sił zewnętrznych, działających na punkt – siła wewnętrzna oddziaływania masy mk na masę mi, przy czym k = 1,...,n. Układ równań (1) w postaci wektorowej można przedstawić w równoważnej postaci analitycznej np. we współrzędnych kartezjańskich (2)

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych W przypadku występowania więzów ograniczających ruch układu, obok wzajemnego oddziaływania punktów materialnych na siebie, należałoby wprowadzić po prawej stronie siły reakcji więzów. Równania (1) możemy zapisać w postaci (3) przedstawiającej zasadę bezwładności d'Alemberta w odniesieniu do układu punktów materialnych.

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Zasada d’Alemberta Siły działające na poszczególne punkty materialne poruszającego się układu równoważą się w każdej chwili z „pomyślanymi” siłami bezwładności. Wektory nazywamy siłami bezwładności lub siłami d'Alemberta punktów materialnych o masach

Ruch środka masy układu punktów materialnych Współrzędne środka masy układu punktów materialnych: w postaci wektorowej (4) gdzie – masa całkowita b) w postaci analitycznej (np. w układzie kartezjańskim) (5) gdzie – współrzędne środka masy układu punktów materialnych

Ruch środka masy układu punktów materialnych Różniczkując równanie (4) względem czasu otrzymujemy (6) przedstawia pęd masy punktu gdzie wektor – wektor pędu ogólnego układu punktów materialnych. Twierdzenie: Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi całej masy układu, skupionej w jego środku masy.

Ruch środka masy układu punktów materialnych Różniczkując po raz drugi równanie (4) napiszemy (7) lub (8) Suma sił bezwładności punktów materialnych równa się sile bezwładności masy całkowitej, skupionej w środku masy tego układu. Wstawiając wzór do równania (8) otrzymujemy (9)

Ruch środka masy układu punktów materialnych Zauważmy jednak, że wektor główny sił wewnętrznych układu, występujących tzw. dwójkami zerowymi , jest równy zeru, czyli (10) (11) a więc Zasada ruchu środka masy układu punktów materialnych Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak samo jak punkt, w którym skupiona jest cala masa układu i na który działa suma wszystkich sił zewnętrznych.

Ruch środka masy układu punktów materialnych Zasadę ruchu środka masy układu punktów materialnych, przedstawioną w postaci wektorowej wzorem (11), możemy też opisać analitycznie (12)

Przykład 1 Wskutek sił wewnętrznych pocisk rozrywa się na części. Siły te nie mogą zmienić ruchu środka ciężkości C.

Zasada pędu układu punktów materialnych Uwzględniając wzory oraz możemy napisać: (13) (14) lub też zgodnie z oznaczeniem pędu: Pęd układu punktów materialnych wynosi: (15)

Zasada pędu układu punktów materialnych Pochodna względem czasu wektora ogólnego pędu układu punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych, działających na dany układ. Zauważmy, że w przypadku gdy wektor główny sił zewnętrznych będzie równy zeru, wówczas pęd układu będzie wektorem stałym (co do modułu i co do kierunku). Jest to tzw. zasada zachowania pędu układu punktów materialnych. Wzór możemy przedstawić za pomocą równoważnych trzech równań analitycznych (16)

Zasada pędu układu punktów materialnych Wniosek Jeżeli część układu punktów materialnych zmienia w pewnej chwili swój pęd pod wpływem tylko sił wewnętrznych, wówczas pęd pozostałej części układu ulega odpowiedniej zmianie, zgodnie z warunkami gdyż

Przykład 2 Ciało o masie m spada na Ziemię z wysokości h. Brak sił zewnętrznych. Siły wewnętrzne – siły wzajemnego przyciągania – nie mogą zmienić położenia środka masy. Znaleźć przesunięcie s Ziemi w kierunku ciała.

Z zasady zachowania pędu, w chwili zderzenia: gdzie v1 – prędkość ciała; v2 – prędkość Ziemi. W dowolnej chwili t, w ruchu jednostajnie przyspieszonym: Z zasady zachowania pędu, w chwili zderzenia t0: Zatem: Ponieważ h = h0 + s, to

Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych Całkując równanie w przedziale czasu od do , otrzymamy (17) lub (18) Jak już wiemy z dynamiki punktu, wektor przedstawia elementarny impuls siły w czasie a więc równanie (19)

Zasada pędu i impulsu układu punktów materialnych Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych możemy przedstawić również w postaci: (20) Zasada pędu i impulsu układu punktów materialnych Przyrost wektora pędu układu punktów materialnych w określonym przedziale czasu jest równy sumie impulsów sił zewnętrznych, działających na ten układ.

Przykład 3 Wózek o masie m1 jechał po prowadnicy z prędkością v1. W pewnej chwili pasażer o masie m2 wskoczył do wózka pod kątem α z szybkością u względem wózka. Wyznaczyć: prędkość końcową v2 wózka wraz z pasażerem popęd siły normalnej do szyn.

Zgodnie z zasadą zachowania pędu: Pęd początkowy układu (w chwili wskoku pasażera na wózek): Pęd końcowy układu: Zgodnie z zasadą zachowania pędu: Prędkość końcowa układu (w kierunku szyn): W kierunku prostopadłym do szyn:

Ruch układu o zmiennej masie dm m b) m + dm

Ruch układu o zmiennej masie b) dm m – dm

Ruch układu o zmiennej masie Zakładając, że od układu odrywa się z prędkością bezwzględną masa , określimy elementarną zmianę wektora pędu układu przy czym – wektor pędu układu przed oderwaniem się masy – pęd układu po oderwaniu się masy

Ruch układu o zmiennej masie Zatem: czyli: gdzie nazywamy siłą reakcji cząstki oddzielającej się.

Ruch układu o zmiennej masie W przypadku gdy równocześnie oddziela się lub przyczepia więcej mas równanie napiszemy w ogólniejszej postaci (30) gdzie zaś – wektor prędkości względnej oddzielającej się lub dołączającej się masy Wzór (30) przedstawia tzw. równanie Mieszczerskiego, charakteryzujące ruch układu o zmiennej masie.

Przykład 4 Początkowa masa rakiety wraz z materiałem pędnym jest równa m0, a masa korpusu wynosi m. Znaleźć prędkość końco-wą rakiety przy założeniu, że na rakietę nie działa żadna siła zewnętrzna i jej prędkość początkowa jest równa v0. Prędkość bezwzględna wyrzucanych gazów wynosi vb. Dane: m0, m, v0, vb. Szukane: v = ?

Rozwiązanie Wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zeru, działa tylko siła reakcji cząstki oddzielającej się – siła odrzutu. Zatem, zgodnie z równaniem Mieszczerskiego: gdzie: u – prędkość względna oddzielającej się masy; R – siła odrzutu. Zatem

Rozwiązanie – wzór Ciołkowskiego Całkujemy powyższe równanie: i otrzymujemy: Stąd prędkość końcowa rakiety wynosi: – wzór Ciołkowskiego