(x1, x2) – decyzja (zmienne decyzyjne) Problem decyzyjny Firma AGA produkuje dwa szampony A i B. Litr A sprzedaje po 9zł a litr B sprzedaje po 5zł. Celem firmy jest osiągnięcie jak największej wartości produkcji. f(x1, x2) = 9x1 + 5x2 -> max (funkcja celu) Gdzie x1 – produkcja szamponu A w litrach, x2 – produkcja szamponu B w litrach (x1, x2) – decyzja (zmienne decyzyjne) Szampony produkowane są z trzech składników: Z1, Z2 i Z3. Wyprodukowanie 1 litra szamponu A wymaga zużycia 20 dag składnika Z1, 40 dag składnika Z2 i 30 dag składnika Z3. Natomiast w przypadku szamponu B zużycie składników Z1, Z2 i Z3 wynosi odpowiednio 30, 10 i 20 dag. Na najbliższy miesiąc zasoby tych składników wynoszą odpowiednio 60, 30 i 40 kg. A B Z1: 0,2x1 + 0,3x2 <= 60 Z2: 0,4x1 + 0,1x2 <= 30 warunki ograniczające (zbiór decyzji dopuszczalnych) Z3: 0,3x1 + 0,2x2 <= 40

Problem decyzyjny f(x1, x2) = 9x1 + 5x2 -> max TAK, bo Przykład 1 Czy przy tak sformułowanym problemie, jak powyżej, decyzja (x1, x2) = (50, 20) jest decyzją dopuszczalną? TAK, bo 0,2*50 + 0,3*20 = 16 < 60 (warunek spełniony) 0,4*50 + 0,1*20 = 22 < 30 (warunek spełniony) 0,3*50 + 0,2*20 = 19 < 40 (warunek spełniony) f(x1, x2) = 9x1 + 5x2 -> max 0,2x1 + 0,3x2 <= 60 0,4x1 + 0,1x2 <= 30 0,3x1 + 0,2x2 <= 40 Czy decyzja (x1, x2) = (60, 90) jest decyzją dopuszczalną? NIE, bo 0,2*60 + 0,3*90 = 39 < 60 (warunek spełniony) 0,4*60 + 0,1*90 = 33 > 30 (warunek niespełniony) 0,3*60 + 0,2*90 = 36 < 40 (warunek spełniony)

Problem decyzyjny Decyzja optymalna - najlepsza decyzja dopuszczalna f(x1, x2) = 9x1 + 5x2 -> max Kierunek najszybszego wzrostu wartości funkcji, czyli wektor pochodnych cząstkowych f = [9 5] lub (nachylenie prostej: –9/5) 1. 0,2x1 + 0,3x2 <= 60 2. 0,4x1 + 0,1x2 <= 30 3. 0,3x1 + 0,2x2 <= 40 200 x1 x2 300 75 1 2 133 3 f(x1,x2) Warstwica funkcji f(x1, x2) dla wybranej wartości z np. dla z=450 f (x1, x2): 9x1 + 5x2 = 450 (prosta przecinająca oś 0x1 w pkt. 50, 0x2 w pkt. 90

Problem decyzyjny Decyzja optymalna - najlepsza decyzja dopuszczalna 0,4x1 + 0,1x2 = 30 0,3x1 + 0,2x2 = 40 f(x1, x2) = 9x1 + 5x2 -> max 1. 0,2x1 + 0,3x2 <= 60 2. 0,4x1 + 0,1x2 <= 30 3. 0,3x1 + 0,2x2 <= 40 Decyzja optymalna (40,140) 200 x1 x2 300 75 1 2 133 3

Problem decyzyjny Przykład 2 Czy punkt A jest decyzją dopuszczalną? NIE Które warunki są spełnione w punkcie A? Tylko 1 Czy punkt B jest decyzją dopuszczalną? TAK Czy w punkcie B korzystamy ze wszystkich składników do produkcji szamponu? TAK, bo produkujemy szampon B (x2) do którego potrzebne są wszystkie Trzy składniki 200 x1 x2 300 75 1 2 133 3 A B f(x1, x2) = 9x1 + 5x2 -> max 1. 0,2x1 + 0,3x2 <= 60 2. 0,4x1 + 0,1x2 <= 30 3. 0,3x1 + 0,2x2 <= 40

Problem decyzyjny Warunki 2 i 3 są napięte, warunek 1 jest luźny Brakuje składników 2 i 3 do wyprodukowania większej ilości szamponów, natomiast zapasy składnika 1 są nie w pełni wykorzystane 200 x1 x2 300 75 1 2 133 3 f(x1, x2) = 9x1 + 5x2 -> max 1. 0,2x1 + 0,3x2 <= 60 2. 0,4x1 + 0,1x2 <= 30 3. 0,3x1 + 0,2x2 <= 40

Problem decyzyjny Przykład 3 Które warunki są napięte, a które luźne w punkcie A? 1 jest napięty a 2 i 3 brakuje (żaden nie jest luźny) Które warunki są napięte, a które luźne w punkcie B? Wszystkie trzy luźne Które warunki są napięte, a które luźne w punkcie C? 2 napięty, a 1 i 3 luźne x2 200 x1 300 75 1 2 133 3 A B C f(x1, x2) = 9x1 + 5x2 -> max 1. 0,2x1 + 0,3x2 <= 60 2. 0,4x1 + 0,1x2 <= 30 3. 0,3x1 + 0,2x2 <= 40

Problem decyzyjny Przykład 4 Jaka decyzja jest optymalna jeśli cena szamponu B wynosi 2,25zł? f(x1, x2) = 9x1 + 2,25x2 -> max x2 200 x1 300 75 1 2 133 3 Nachylenie prostej –9/2,25 = -4 Zatem warstwica jest równoległa do prostej wyznaczającej drugi warunek 1. 0,2x1 + 0,3x2 <= 60 2. 0,4x1 + 0,1x2 <= 30 3. 0,3x1 + 0,2x2 <= 40 Rozwiązaniem jest zbiór alternatywnych decyzji optymalnych – odcinek o końcach (75,0) i (40,140). Rozwiązań optymalnych jest nieskończenie wiele.

Problem decyzyjny Przykład 5 Jaka decyzja jest optymalna jeśli nałożymy dodatkowy warunek: firma musi wyprodukować co najmniej 200 litrów szamponu A? f(x1, x2) = 9x1 + 5x2 -> max x2 200 x1 300 75 1 2 133 3 4 1. 0,2x1 + 0,3x2 <= 60 2. 0,4x1 + 0,1x2 <= 30 3. 0,3x1 + 0,2x2 <= 40 4. x1 >= 200 Nie istnieje decyzja optymalna, ponieważ jest to zadanie sprzeczne (zbiór decyzji dopuszczalnych jest pusty).

Problem decyzyjny Funkcja celu nieograniczona: 2x1 + 3x2 -> max

Zadanie programowania liniowego Zadanie PL z n zmiennymi decyzyjnymi: f(x1, x2 , x3 ... xn ) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn -> max/min Współczynniki funkcji celu Przy warunkach a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn <= b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn <= b2 ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <= bm Wyraz wolny warunku