„Równania są dla mnie ważniejsze, gdyż polityka jest czymś istotnym tylko dzisiaj, a równania są wieczne.” Albert Einstein

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ Z tej lekcji dowiesz się jak rozwiązać równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych. Brzmi strasznie uczenie? Nie martw się, na pewno zrozumiesz o co chodzi. Rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą nie jest trudne, a raz pojęte zasady znajdowania niewiadomej pamięta się całe życie…

ODROBINA TEORII. Równania nazywamy równaniami równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań. PRZYKŁAD: Każde z poniższych równań spełnia liczba 20: 2x + 15 = 3x – 5; 15 + 5 = 3x – 2x; 20 = x Rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych polega na zapisywaniu coraz prostszych równań równoważnych danemu. Niektóre operacje matematyczne nie zmieniają zbioru rozwiązań równania, możemy więc je wykonywać, aby uzyskać równanie równoważne danemu.

OPERACJE KTÓRE NIE ZMIENIAJĄ ZBIORU ROZWIĄZAŃ RÓWNANIA. Przypomnijmy, każde równanie ma dwie strony: prawą i lewą. 3x + 9 = 13 + x Lewa strona równania Prawa strona równania Operacje które nie zmieniają zbioru rozwiązań równania: dodanie do obu stron równania tego samego wyrażenia odjęcie od obu stron równania tego samego wyrażenia pomnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera podzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. 3x – 5 = 16 | +5 (do obu stron równania dodajemy 5 – to oznacza zapis | +5) 3x – 5 + 5 = 16 + 5 3x = 21 PRZYKŁAD 2. 6x + 15 = -45 | -15 (od obu stron równania odejmujemy 15) 6x + 15 – 15 = -45 – 15 6x = -60 PRZYKŁAD 3. (obie strony równania mnożymy przez 2)

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3 – ciąg dalszy. x – 3 = 10 PRZYKŁAD 4. 5(x + 7) = 55 | : 5 (obie strony równania dzielimy przez 5) 5(x + 7) : 5 = 55 : 5 x + 7 = 11 We wszystkich przykładach otrzymaliśmy równania które łatwo rozwiązać w pamięci, jednak przy rozwiązywaniu równania dążymy do otrzymania postaci x = liczba.

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ. Oto przykłady rozwiązywania równań metodą równań równoważnych: PRZYKŁAD 1. 7x – 6 = 3x + 14 | + 6 (do obu stron równania dodajemy 6) 7x = 3x + 20 | - 3x (od obu stron równania odejmujemy 3x) 4x = 20 | : 4 (obie strony równania dzielimy przez 4) x = 5 (rozwiązaniem równania jest liczba 5) Sprawdźmy czy rozwiązanie jest prawidłowe: L = 7 ∙ 5 – 6 = 35 – 6 = 29 P = 3 ∙ 5 + 14 = 15 + 14 = 29 L = P a więc nasze równanie jest prawidłowo rozwiązane.

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ. PRZYKŁAD 2. (mnożymy obie strony równania przez 8 – ogólnie: przez liczbę dzięki której „pozbędziemy się” ułamków) 2(x – 1) = 4x + 3 – 2x (upraszczamy obie strony równania) 2x – 2 = 2x + 3 | - 2x (odejmujemy od obu stron równania 2x) -2 = 3 (oczywiście jest to sprzeczność, co świadczy o tym, że dane równanie nie ma rozwiązania – jest równaniem sprzecznym) Zawsze, kiedy po rozwiązaniu równania otrzymamy sprzeczność, będzie to oznaczało, że dane równanie jest równaniem sprzecznym – nie ma rozwiązań.

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ. PRZYKŁAD 3. (mnożymy obie strony równania przez 2) 12 + 2x + 7 = 2x + 19 (upraszczamy co się da) 2x + 19 = 2x + 19 | - 2x (od obu stron równania odejmujemy 2x) 19 = 19 (otrzymaliśmy tożsamość, a więc nasze równanie spełnia każda liczba – - jest to równanie tożsamościowe) Zawsze, kiedy po rozwiązaniu równania otrzymamy tożsamość, oznaczać to będzie, że dane równanie jest tożsamościowe – spełnia je każda liczba.

PRZENOSZENIE. Dodawanie do obu stron równania i odejmowanie od obu stron równania tych samych wyrażeń można interpretować także jako przenoszenie tych wyrażeń na drugą stronę równania ze znakiem zmienionym na przeciwny (jeśli był +, po drugiej stronie równania będzie -, jeśli był – będzie +). Przy rozwiązywaniu bardziej skomplikowanych równań przenoszenie wyrazów jest o wiele wygodniejsze .

PRZYKŁAD. Sposób I (jak wcześniej) Sposób II (przenoszenie) 4x + 2 = 3x -1 | - 2 4x + 2 – 2 = 3x – 1 – 2 4x = 3x - 3 | - 3x 4x – 3x = 3x – 3 – 3x x = - 3 4x + 2 = 3x – 1 (przenosimy 2) 4x = 3x – 1 – 2 4x = 3x – 3 (przenosimy 3x) 4x – 3x = -3 x = -3 (po zmianie znaku jest – 2) (po zmianie znaku jest – 3x)

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Zapisz i rozwiąż odpowiednie równanie. Średnia arytmetyczna trzech liczb: liczby x, trzykrotności liczby x i liczby o 10 większej od x wynosi 16. Co to za liczby? 5x + 10 = 48 | - 10 5x = 38 | : 5 x = 7,6 Te liczby to 7,6; 22,8 oraz 17,6.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Rozwiąż równanie i sprawdź poprawność rozwiązania. 2x – 3[x – (4x + 1)] = 4 – (x + 1) (upraszczamy co się da) 2x – 3(x – 4x – 1) = 4 – x – 1 2x – 3(-3x – 1) = -x + 3 2x + 9x + 3 = -x +3 11x + 3 = -x + 3 11x + x = 3 – 3 12x = 0 | : 12 (przenosimy niewiadome na jedną stronę równania, a liczby na drugą stronę)

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. x = 0 Sprawdzamy: L = P a więc nasze rozwiązanie jest prawidłowe.