Pszczoły a matematyka FENOMEN PSZCZELI

Pszczołę zalicza się do rodzaju Apis, który w Polsce reprezentowany jest przez gatunek pszczoły miodnej (Apis mellifera ) W Polsce możemy spotkać trzy podgatunki pszczoły miodnej: środkowoeuropejską, kaukaską, kraińską, oraz ich krzyżówki Rasy różnią się różnymi cechami takimi jak: łagodność, pracowitość, czy skłonność do rojenia się. Dzięki pszczołom możliwe jest zapylanie roślin, a więc stabilizacja i rozwój ekosystemu na naszej planecie.

Pszczoła miodna …zbierają nektar i pyłek kwiatów, który jest ich pożywieniem i w ten sposób zapylają rośliny owadopylne. Żywią się także spadzią. Do produktów pszczół miodnych należą głównie: miód i wosk. Pszczoła miodna występuje w rodzinach zwanych rojami, które składają się z robotnic, samców zwanych trutniami oraz matki pszczelej, zwanej królową. Łącznie rój może liczyć od 10 000 do 80 000 owadów, które zależnie od pełnionych funkcji różnią się między sobą budową i ubarwieniem.

Hierarchia pszczelej rodziny matka robotnica truteń

KRÓLOWA- matka pszczela jest największa, przebywa ona niemal stale w ulu, nie przejawia troski o swoje potomstwo, nie wykonuje żadnych prac związanych z budową gniazda i gromadzeniem zapasu pokarmu, królowa ma za zadanie składanie jaj. Jest jedyną samicą zdolną do rozrodu, wabi trutnie specjalnym zapachem, który posiadają wydzielane przez nią feromony (wyczuwalne dla trutni z odległości ok. 100 m.)

TRUTEŃ …nieco mniejszy od matki, ma krępą budowę ciała, bardzo duże oczy złożone silnie rozwinięte skrzydła. Jest pozbawiony żądła, w które wyposażone są żeńskie postacie pszczół. Tak jak matka nie wykonuje on żadnych prac w ulu ani poza nim. Trutnie pojawiają się w ulu tylko na wiosnę. Średnio w ulu jest ich ok. 2,5 tys. Do czasu lotu godowego pozostają zupełnie bezczynne, nie zbierają pyłku, nie pełnią żadnych funkcji społecznych. Ich jedyną funkcją jest dostarczenie królowej nasienia. Gdy zaczynają się chłody, są przepędzane i w krótkim czasie giną z głodu i zimna.

ROBOTNICA Robotnica zostaje zbieraczką mniej więcej w 21 dniu życia. Jest to ostatni etap jej "kariery społecznej". Każda pszczoła zbieraczka obiera sobie tylko jeden rodzaj kwiatów i do gniazda znosi tylko jeden rodzaj pożytku Robotnice, podobnie jak królowa, są stałymi mieszkańcami ula Zwykle jest ich ok. 50 tysięcy Robotnice żyją ok. 38 dni latem i 6 miesięcy zimą Przez całe życie są posłuszne sygnałom chemicznym (feromonom), które wydziela królowa.

RÓJKA Zjawisko naturalne, będące konsekwencją powstawania nastroju rojowego: brak miejsca w ulu przegrzanie ula duża ilość młodych pszczół kończą się główne pożytki brak miejsca na składanie jaj przez królową Podstawowy cel  ZACHOWANIE GATUNKU !!! Rój pszczeli na powalonym drzewie

Pszczeli rój jest symbolem przedsiębiorczości wytrwałości, pracowitości i obowiązkowości. Rójka…

Tańczące pszczoły wykonywany w gnieździe przez pszczołę zbieraczkę po znalezieniu nowego źródła pożytku pszczoła podczas tańca może: poruszać się po linii tworzącej półksiężyce zataczać koło zataczać ósemki Dwie fenomenalne umiejętności pszczół robią szczególne wrażenie, a są one związane z orientacją w przestrzeni i budowaniem plastrów. Te dwie umiejętności wymagają nadzwyczajnych zdolności matematycznych i geometrycznych, których pszczoły nie uczą się przecież w szkole

Trochę matematyki… Pszczoły - poza tym, że są bardzo pracowite – mają też ogromną wiedzę matematyczną. Niezwykłe umiejętności geometryczne i budowlane są także niezbędne do tworzenia plastrów, składających się z sześciobocznych komórek. Użyte materiały, kształty, rozmiary i kąty cienkich jak papier ścianek zapewniają maksymalną wytrzymałość, lekkość, funkcjonalność i trwałość przy najmniejszym zużyciu materiału i najlepszym wykorzystaniu przestrzeni w ulu.

Okazało się, że pszczoły potrafią rozwiązywać zadania matematyczne... Od lat stosuje się dokarmianie pszczół cukrem, który podaje się w roztworze w naczyniach ustawianych w pobliżu ula.

Wywiadowczynie pszczele natychmiast poznają się na rzeczy, przynoszą wiadomość do ula i robotnice wybierają się po zbiór zgodnie z otrzymanymi informacjami. Uczeni apidolodzy postanowili skomplikować nieco sprawę. Ustawiali koło ula spodeczki z pokarmem, ale codziennie zmieniali ich odległość w postępie arytmetycznym, np. 4, 6, 8, 10 .. itd metrów od ula. Za każdym razem wywiadowczynie przynosiły informację i robotnice zabierały się do roboty.

Ale po kilku dniach robotnice nie czekały na informację o miejscu ustawienia spodeczków. Od razu wybierały się tam, gdzie spodeczki miały się znaleźć danego dnia wedle zamysłu badaczy zanim jeszcze spodeczki tam ustawiono.

Doskonały matematyk………. Wystarczy jej tylko jedno spojrzenie, by bezbłędnie odróżnić trzy kropki od czterech Owady te bez problemu potrafią liczyć do czterech Na końcu drogi oznaczonej dwoma kropkami znajdowała się nagroda Pszczoły za każdym razem bezbłędnie wybierały tę odnogę labiryntu, na końcu której znajdowała się nagroda "Nie ma wątpliwości, że pszczoły widzą różnicę pomiędzy jednym, dwoma, trzema i czterema elementami"

Woskowe plastry … taki plaster miodu to jednocześnie spiżarnia gdzie magazynuje się zarówno sam miód jak i pyłek kwiatowy, zmieszany z miodem czyli tzw. pierzgę oraz wylęgarnia dla coraz to nowych pokoleń pszczół Plaster pszczeli arcydzieło architektury…

Jak zbudowany jest woskowy plaster miodu?? Składa się on z szeregu komórek woskowych sześciograniastych, ułożonych w dwu warstwach stykających się wspólnymi denkami. Jednak te dna nie są płaskie. Są to naroża uformowane z trzech równych rombów Należało ciasne wnętrze ula uzyskać w sposób najbardziej ekonomiczny, a więc wybrać taki wielokąt, który zwielokrotniony pokrywałby płaszczyznę, bez żadnych szpar i szczelin Plastry te usytuowane są w ulu w pozycji pionowej i równolegle do siebie. Ich przestrzeń jest podniesiona nieznacznie ku górze. Ta specyficzna budowa ma swoje głębokie uzasadnienie, zarówno dla wytrzymałości pszczelego plastra, przechowywania pokarmu, jak i podczas rozwoju larwy a potem poczwarki.

Budowa plastra miodu głębokość komórki wynosi 11, 3 mm szerokość grani to 2,71 mm pszczeli plaster jest konstrukcją niezwykle wytrzymałą pusty, który sam waży ok. 260 gramów potrafi unieść blisko 3 kilogramy miodu!

 pojedyncza komórka plastra miodu Elementy składowe SZEŚCIOKĄT TRAPEZ ROMB

Sześciokąt to sześciokąt foremny, który jest sześciokątem wypukłym o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych Pole powierzchni: Obwód: l=6a

Romb To równoległobok, którego wszystkie boki są równe, przekątne są wzajemnie prostopadłe i dzielą kąty na połowy Pole rombu:  a - długość jednego boku rombu; h - wysokość rombu (czyli długość odcinka łączącego dwa równoległe do siebie boki, prostopadłego do obydwu); d1, d2 – długość przekątnych

Trapez Pole trapezu: Czworokąt mający parę równoległych boków nazywanych podstawami, pozostałe noszą nazwę ramion. Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa 180° Gdzie: a, b – podstawy trapezu h – wysokość trapezu

Spośród odkrytych, już przez Pitagorasa wielokątów foremnych trójkąta, kwadratu, mądre pszczoły wybrały właśnie sześciokąt . Innych form pszczoły nie brały pod uwagę, gdyż musiałyby swe plastry budować z komórek dwu lub nawet więcej typów, co znacznie utrudniałoby im pracę. Budując sześciokątne komórki również można osiągnąć największą pojemność komórek przy względnie najmniejszym zużyciu wosku.

Od dwóch tysięcy lat rozmaici ludzie twierdza, ze sposób konstrukcji plastra miodu jest optymalny Czy tak jest… ???

Przypuśćmy, że dzielimy płaszczyznę na rozłączne komórki o jednakowym polu równym 1 !!! Komórki mogą być wielokątami, ale wcale nie muszą; mogą mieć powykrzywiane brzegi Nie muszą być identyczne - jednym podziale mogą trafiać się zarówno wielokąty o różnej liczbie boków, jak i obszary ograniczone zawiłymi liniami krzywymi. Jednym słowem, hulaj dusza, byle pola komórek były równe.

Ze wszystkich podziałów tego typu chcemy wybrać optymalny… …tzn. taki, by obwody komórek były możliwie małe ( pomyślmy o pszczołach, oszczędnie gospodarujących woskiem).

Ponieważ obwody różnych komórek mogą być rozmaite, nasze żądanie precyzujemy następująco: chodzi o to, by przeciętny obwód komórki podziału był nie większy od pewnej liczby x. Z uwagi na oszczędność zależy nam, by owa liczba była jak najmniejsza

Gdy dzielimy płaszczyznę na identyczne sześciokąty foremne o jednostkowym polu, to: Jednak okazuje się, że kształt komórek pszczelich nie jest optymalny. W 1964 roku węgierski matematyk L. Fejes Tóth znalazł lepszy wielościan. Od wynalazku pszczół różni się jedną podstawą (tą wspólną dla komórek z różnych warstw plastra). Nie składa się ona z trzech rombów, ale z dwóch czworokątów i dwóch sześciokątów. Gdyby pszczoły budowały komórki w takim kształcie, zaoszczędziłyby około 0,35% wosku.

Wydaje się, że właśnie taki podział jest optymalny, prawda?

W 1943 r. węgierski matematyk L W 1943 r. węgierski matematyk L. Fejes Tóth wykazał, że podział na identyczne sześciokąty jest optymalny, gdy bierzemy pod uwagę tylko te podziały, w których wszystkie komórki są wielokątami wypukłymi

Na tym nie koniec historii ?!?! Prawdziwy plaster miodu, jest tworem trójwymiarowym, a jego komórki to nie wielokąty, ale wielościany Poukładane są warstwami. Dwie warstwy zapełniają przestrzeń między dwiema równoległymi płaszczyznami. Na każdej z tych dwóch płaszczyzn widać znajomy sześciokątny parkietaż, utworzony przez ściany komórek.

A co na to matematycy…? strona prawa  wielościan pszczół strona lewa  wielościan Fejesa Tótha strona prawa  wielościan pszczół

Budując sześciokątne komórki można osiągnąć największą pojemność komórek przy względnie najmniejszym zużyciu wosku, dlatego też, mądre pszczoły wykorzystały właśnie ten kształt.

Bibliografia www.wiw.pl/nowinki/matematyka/asp www.pszczoly.pl www.wikipedia.pl http://www.smzk.vip.interia.pl/pszczoly.htm http://matma.viii-lo.krakow.pl/?id=5,24 www.wiw.pl/nowinki/matematyka/asp http://uczenzklasa.gazeta.pl/gim1mlawa1c/ http://www.antoranz.net/pszczoly.HTM http://pszczoly.rolnicy.com

Dziękuję za uwagę Magdalena Rochowiak 31BSL