Metody optymalizacji Materiał wykładowy 3 - 2016/2017 Energetyka - studia stacjonarne I stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż., prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Materiał wykładowy 3 - 2016/2017 Metody programowania liniowego

Metody programowania liniowego – postać zagadnienia optymalizacyjnego, podstawowe pojęcia, rozwiązania graficzne Postać matematyczna zagadnień programowania liniowego I. Postać mieszana (1) Funkcja celu (2) Warunki ograniczające (3) Warunki nieujemności

Warunki nieujemności nie muszą dotyczyć wszystkich zmiennych Warunki nieujemności nie muszą dotyczyć wszystkich zmiennych. Jeżeli , to warunki nieujemności nazywamy pełnymi Przy rozwiązywaniu zadań programowania liniowego (PL) metodą simpleks, najpopularniejszą metodą rozwiązywania zadań PL, należy je zapisać w postaci standardowej II. Postać standardowa (1) zasadnicze warunki ograniczające są dane w postaci równań (2) elementy prawej strony ograniczeń są nieujemne (3) warunki nieujemności są pełne dodamy ponadto (4) funkcja celu jest minimalizowana

Postać standardowa – Zapis I

Twierdzenie 1: Zadanie programowania liniowego z funkcją celu: jest równoważne zadaniu programowania liniowego z funkcją celu: Spełniona jest przy tym zależność: Twierdzenie 2: Jeżeli w zadaniu programowania liniowego zastąpimy funkcję celu postaci: funkcją celu postaci: to rozwiązanie optymalne, o ile ono istnieje, dla obu zadań będzie identyczne

Nieujemność elementów prawej strony: Zasada 1: Jeżeli , to i-te ograniczenie należy pomnożyć przez -1 Nieujemność zmiennych: Zasada 2: Jeżeli zmienna ma być ujemna, to dokonujemy podstawienia: Zasada 3: Jeżeli zmienna nie ma ograniczenia na znak, to dokonujemy podstawienia

Równościowe warunki ograniczające: Zasada 4: Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: Zasada 5 Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: - zmienne swobodne lub uzupełniające

Postać standardowa – Zapis II Postać standardowa – Zapis III gdzie:

Postać standardowa – Zapis IV gdzie:

Przykład 1: Sformułowano zadanie optymalizacyjne w postaci (1) (2) (3) (4) (5) Sprowadź podane sformułowanie do postaci standardowej

Dla uzyskania postaci standardowej należy: (1) funkcję celu (1) sprowadzić do formy minimalizacji (2) podstawić (3) przemnożyć ograniczenie (4) przez -1 (4) wprowadzić zmienną swobodną do ograniczenia (2) (5) wprowadzić zmienną swobodną do ograniczenia (3) Wykonamy to kolejno: (1)

(2) (1) (2) (3) (4) (5) (3) (1) (2) (3) (4) (5)

(4) (1) (2) (3) (4) (5) (5) (1) (2) (3) (4) (5)

Geometria i algebra programowania liniowego Rozwiązania zagadnienia programowania liniowego są wektorami, kolumny macierzy współczynników ograniczeń są wektorami, współczynniki funkcji celu tworzą wektor, prawa strona ograniczeń tworzy wektor ……

Geometria i algebra programowania liniowego Przestrzeń liniowa Definicja 1.

Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 1. – c.d.

Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 2. Definicja 3.

Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 4.

Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 1.

Geometria i algebra programowania liniowego Zbiory wypukłe Definicja 5. Definicja 6

Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 7

Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 2. Definicja 8.

Geometria i algebra programowania liniowego Rozwiązywanie układu równań liniowych algebraicznych

Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 9.

Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 10.

Geometria i algebra programowania liniowego Właściwości rozwiązań zadania programowwania liniowego (a) (b) (c)

Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 11. (a) – (c) (b) – (c) Definicja 12. (b) Definicja 13. (c)

Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 14. Definicja 15.

Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 3.

Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 4. (a) maksymalną

Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 4. - c.d.

Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 5. Wnioski

Zużycie surowca w tonach na tonę farby Rozwiązywanie graficzne zadań programowania liniowego - studium przypadku Przykład 2: Pewna firma produkuje dwa rodzaje farb: dla prac wewnętrznych (I) i zewnętrznych (E). Wyprodukowane farby kierowane są do sprzedaży hurtowej. Do produkcji farb stosuje się dwa surowce A i B. Maksymalne dostępne dziennie ilości tych surowców wynoszą odpowiednio 6 i 8 t. Zużycie surowców A i B na jedną tonę odpowiedniej farby podaje tabela. Zużycie surowca w tonach na tonę farby Maksymalna dostępna dziennie ilość surowca Surowiec Farba E Farba I A 1 2 6 B 2 1 8 Badanie rynku pokazało, że dzienny popyt na farbę I nigdy nie przewyższa popytu na farbę E o więcej niż 1 tonę. Poza tym ustalono, że popyt na farbę I nigdy nie przekracza 2 ton na dobę. Ceny hurtowe jednej tony farb są równe: 3j.p. dla farby E, i 2j.p. dla farby I. Jakie ilości farby E i I powinna produkować firma, aby dochód z produkcji był maksymalny?

Opcje decyzyjne: - dzienna produkcja farby E w tonach - dzienna produkcja farby I w tonach Funkcja celu: zmaksymalizować: Ograniczenia: Zasoby dzienne surowca A: 1 Zasoby dzienne surowca B: 2 Różnica popytu na farbę I i E: 3 Popyt na farbę I: 4 Warunki nieujemności: 5 6

Rozwiązywanie graficzne dla zadania maksymalizacji i malenia dla minimalizacji

Obszar rozwiązań dopuszczalnych i linia stałej wartości funkcji celu: 6 1 2 3 4 5

Znajdowanie rozwiązania optymalnego: 6 .

Rozwiązanie optymalne:

Rozwiązanie optymalne jest punktem wierzchołkowym; punkt wierzchołkowy jest rozwiązaniem bazowym Punkt optymalny: 6 oraz: Ponadto (nietrudno policzyć):

Inne przypadki Przykład 3: 2 5 3

Przykład 4: 3 2 4

Przykład 5: 1 2 4 3 5

Przykład 6: 1 2 3

Przykład 7: 2 3 1 4

Przykład 8:

Elementy algorytmu simpleksowego Postać standardowa przykładu Początkowa tablica simpleksowa

Rozpoczęcie obliczeń

Elementy jednego kroku algorytmu simpleksowego

Drugie rozwiązanie

Tablica optymalnego rozwiązania

Podsumowanie rozwiązywania - Tablice kolejnych kroków

Podsumowanie rozwiązywania - Interpretacja geometryczna kolejnych kroków 1 2 3 4 5 6

Rozwiązanie optymalne

Analizy postoptymalizacyjne Pierwsze zadanie analizy wrażliwości Wpływ zmiany ilości poszczególnych zasobów na aktualne rozwiązanie optymalne Formalna nazwa: analiza wrażliwości na zmiany prawej strony ograniczeń Ograniczenia: aktywne i nieaktywne Ograniczenie jest aktywne dla aktualnego rozwiązania optymalnego jeżeli  przechodzi przez punkt tego rozwiązania  spełnione jest równościowo w punkcie tego rozwiązania W przeciwnym przypadku ograniczenie jest nieaktywne

Analizy postoptymalizacyjne Składnik: deficytowe i niedeficytowe Składnik jest deficytowy dla aktualnego rozwiązania optymalnego jeżeli odpowiadające mu ograniczenie jest aktywne W przeciwnym przypadku składnik jest niedeficytowy Dwa aspekty analizy wrażliwości na zmiany prawej strony ograniczeń  graniczne dopuszczalne zwiększenie zasobu składnika deficytowego pozwalające poprawić aktualne rozwiązanie optymalne (nie zmieniające aktualnych zmiennych bazowych rozwiązania bazowego)  granicznie dopuszczalne zmniejszenie zasobu składnika niedeficytowego nie zmieniające aktualnych zmiennych bazowych rozwiązania optymalnego

Analizy postoptymalizacyjne Zwiększanie zasobów deficytowych 1 2 3 4 5 6

Analizy postoptymalizacyjne Zmniejszanie zasobów niedeficytowych 4 3 1 5 2 6

Analizy postoptymalizacyjne Podsumowanie Składnik Rodzaj składnika Maksymalna zmiana zasobu składnika Wartość zmieniona – wartość aktualna Deficytowy 7 – 6 = 1 12 – 8 = 4 13 – 12 2 3 = +1 3 1 2 3 4 Niedeficytowy Maksymalna zmiana dochodu 18 – 12 2 3 = +5 1 3 - 2 – 1 = -3 1 1 3 - 2 = - 2 3 12 2 3 - 12 2 3 = 0

Cenność dodatkowej jednostki zasobu składnika Analizy postoptymalizacyjne Drugie zadanie analizy wrażliwości Zasoby którego ze składników deficytowych należałoby powiększać w pierwszej kolejności Charakterystyka cenności dodatkowej jednostki zasobu składnika deficytowego Cenność dodatkowej jednostki zasobu składnika Rodzaj składnika Składnik 1 Deficytowy 1 = 1 3 ÷ 1 = 1 3 2 Deficytowy 2 = 5 1 3 ÷ 4 = 4 3 3 Niedeficytowy 3 = 0 4 Niedeficytowy 4 = 0

Analizy postoptymalizacyjne Trzecie zadanie analizy wrażliwości Wpływ wartości współczynników f.c. na rozwiązanie optymalne Dwa aspekty analizy wrażliwości na zmiany współczynników funkcji celu  przedział zmian (zmniejszenia lub zwiększenia) danego współczynnika funkcji celu, dla którego nie dochodzi do zmiany rozwiązania optymalnego?  o ile należy zmienić dany współczynnik funkcji celu, aby uczynić określony składnik niedeficytowy deficytowym i na odwrót?

Analizy postoptymalizacyjne Pierwszy aspekt – c1 = var, c2 = const = 2; c1 = const = 3, c2 = var 4 1 3 5 2 6

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu