Struktury i algorytmy wspomagania decyzji Materiał wykładowy 6: Zagadnienie wielocelowe liniowe II Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Przedmiot: specjalnościowy Specjalność: Systemy sterowania i wspomagania decyzji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Data rozpoczęcia prezentacji materiału: 2016.10.17

Metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych 1. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez wybór jednego celu i usuniecie innych Przejaw zwyciężania podejścia ,,tradycyjnego" - niezależnie od wymagań formułowanych przez decydenta, sugerowanie, że powinno być zastosowane podejście z jedną funkcją celu Jeden ze sposobów osiągnięcia tego - wybór jednego z celów użycie go jako pojedynczego celu oraz zignorowanie pozostałych celów lub traktowanie ich jako (twardych) ograniczeń

Przykład Przyjmiemy całkowity zysk jako pojedynczy cel i będziemy traktować powiększenie udziału na rynku jako ograniczenie. To ostatnie przekształcenie możemy zrealizować przez przyjęcie pewnego akceptowalnego lub pożądanego powiększenia udziału na rynku. Przykładowo przyjmijmy, że takim pożądanym powiększeniem udziału na rynku jest 100. Model naszego przykładowego problemu będzie miał wówczas postać Znaleźć wartości i taki, które: maksymalizują (czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu) spełniając: (pożądane powiększenie udziału na rynku) (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności)

Graficzne rozwiązanie Punkty wierzchołkowe Rozwiązanie optymalne

Zalety  Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu. Musimy jednak pamiętać (a często zapomina się o tym), że otrzymane rozwiązanie jest właściwe dla modelu po transformacji ale niekoniecznie dla oryginalnego modelu (a w szczególności dla rozważanego problemu) Wady  Jeżeli nie jesteśmy ostrożni (i/lub szczęśliwi), konwersja celu w (twarde) ograniczenie może prowadzić do modelu, który jest matematycznie niedopuszczalny (np. w naszym przykładzie, jeżeli użylibyśmy wartości 120 zamiast 100 dla PS ograniczenia powiększenia udziałów na rynku, nasz model byłby matematycznie niedopuszczalny)

Wady  Przetworzony cel, lub cele, są traktowane jako twarde ograniczenia przez algorytmy PL. Zatem jeżeli nawet bylibyśmy skłonni pogodzić się z udziałem mniejszym niż 100 w rozważanym okresie, rozwiązanie takie nie zostanie wygenerowane przez algorytmy PL  Ma miejsce duża subiektywność w wyborze pojedynczego celu, który będzie wykorzystany w przetransformowanym modelu - wynik może różnić się istotnie w zależności od wyboru

Czy ten wynik ma cechy ogólności? Pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez transformację części funkcji celu lub ich usunięcie prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych Czy ten wynik ma cechy ogólności? Będziemy rozważaną metodę skalaryzacji nazywali metodą ograniczenia (MO) (ang. constraint method)

Sformułowanie oryginalne (WCPL) Sformułowanie metody ograniczenia Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ograniczenia

Twierdzenie MO1 Jeżeli jest unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MO, dla pewnych wartości to jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL Jeżeli unikatowość rozwiązania zagadnienia MO nie jest gwarantowana, wówczas jedynie słabe rozwiązanie Pareto optymalne jest gwarantowane

Twierdzenie MO2 Jeżeli jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to jest optymalnym rozwiązaniem zagadniena MO, dla pewnych wartości

Przykład:

2. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez agregację wielu funkcji celu w jedną - metoda agregacji, metoda ważenia Będziemy rozważaną metodę skalaryzacji nazywali metodą ważenia (ang. weighting method) Przykład Jeden cel mierzony jest w dolarach (zysk) a drugi w uzyskiwanym udziale na rynku (np. pewna miara ,,lojalności" kupujących dany produkt przejawiająca się w większym prawdopodobieństwie powtórzenia zakupu danego towaru). Jeżeli można przetworzyć jeden z nich, powiedzmy pozyskane udziały na rynku, w dolary zysku (lub alternatywnie, dolary zysku w jednostki udziału na rynku), to będziemy mogli złożyć obydwa cele w jeden, który będzie mierzony w jednakowych jednostkach. Faktycznie, jeżeli taka kombinacja wydaje się rozsądna i może być zrealizowana, to na pewno powinna być wykorzystana w modelach wielocelowych

(zagregowane funkcje celu w wybranych jednostkach użyteczności) Załóżmy, że jesteśmy w stanie, dla naszego przykładu, znaleźć funkcję użyteczności, i że ma ona formę sumy z wagami: dla pierwszego celu 0.6, a dla drugiego, 0.4. Uzyskamy wówczas następujący model naszego zagadnienia: Znaleźć wartości i takie, które: maksymalizują (zagregowane funkcje celu w wybranych jednostkach użyteczności) spełniając: (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności)

Graficzne rozwiązanie Punkty wierzchołkowe Rozwiązanie optymalne

Zalety  Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu. Wady  Istotny czas i ostrożność są potrzebne dla określenia odpowiedniej funkcji użyteczności  Różne zastosowane założenia i leżąca u podstaw teoria użyteczności mogą nie najlepiej odpowiadać sytuacji

Czy ten wynik ma cechy ogólności? Podobnie jak poprzednio, pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zaproponowanie zagregowanej – ważonej funkcji celu prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych Czy ten wynik ma cechy ogólności?

Sformułowanie oryginalne (WCPL) Sformułowanie metody ważenia (MW) gdzie Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ważenia

Twierdzenie MW1 Jeżeli jest rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości to jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL Warunek twierdzenia może być zamieniony innym brzmiącym: unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości

Twierdzenie MW2 Jeżeli jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to jest optymalnym rozwiązaniem zagadnienia MW, dla pewnych wartości Geometrycznie dla przypadku ogólnego k funkcji celu, czyli w przestrzeni celów jest hiperpłaszczyzną z normalnym do niej wektorem

Rozwiązując zagadnienie MW dla danych wartości uzyskujemy najmniejszą wartość dla której hiperpłaszczyzna wartości funkcji celu staje się hiperpłaszczyzna podpierającą zbioru rozwiązań dopuszczalnych

Można sformułować zagadnienie badania wrażliwości zagadnienia MW na zmiany wartości współczynników wagowych

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu